2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение10.05.2020, 22:39 


03/02/15
35
arseniiv в сообщении #1461702 писал(а):
Ну как-как, в ней сначала строго определяются вещи, а потом не нужно комментировать результат, если он получается не такой. В ней нельзя подействовать оператором сдвига на (не постоянно нулевую) функцию и получить тождественный ноль, потому что оператор сдвига так не работает. Вместо этого надо переопределить вещи уже более корректным образом и получить, в частности, что никакого оператора на состояниях, который давал бы оператор сдвига на соответствующих им волновых функциях, для данного случая не бывает.

А если так:
$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$
$<\psi(x) | \hat T |\psi(x)>  =  <\psi(x) | \psi(x - L)> = 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение10.05.2020, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
kcp в сообщении #1461722 писал(а):
А если так:
$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$


Что такое $\psi(x)$? Какому пространству она принадлежит?

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение10.05.2020, 22:52 


03/02/15
35
g______d в сообщении #1461723 писал(а):
kcp в сообщении #1461722 писал(а):
А если так:
$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$


Что такое $\psi(x)$? Какому пространству она принадлежит?


Волновая функция в координатном представлении, принадлежащая гильбертовому пространству. Так сойдёт?

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение10.05.2020, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
kcp в сообщении #1461727 писал(а):
принадлежащая гильбертовому пространству


Какому именно гильбертову пространству? И с какими дополнительными условиями, учитывая постановку задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение10.05.2020, 23:03 


03/02/15
35
g______d в сообщении #1461728 писал(а):
kcp в сообщении #1461727 писал(а):
принадлежащая гильбертовому пространству

Какому именно гильбертову пространству? И с какими дополнительными условиями, учитывая постановку задачи?

Вот этого я сказать не могу. И я не вижу в постановке задачи каких-либо дополнительных условий, требующих уточнения гильбертовых пространств.

Theoristos в сообщении #1461514 писал(а):
Пусть |\psi_i\rangle$ - некое состояние частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно глубокими стенками, а $\hat T - вполне себе унитарный оператор трансляции на 100 км. Что за состояние $\hat T|\psi_i\rangle$?

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение10.05.2020, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
kcp в сообщении #1461730 писал(а):
Вот этого я сказать не могу.


В любом случае, когда Вы пишете координатное представление, Вы переходите от абстрактного гильбертова пространства ко вполне конкретному. Поэтому есть смысл знать, какое оно, иначе формула не имеет смысла.

kcp в сообщении #1461730 писал(а):
И я не вижу в постановке задачи каких-либо дополнительных условий, требующих уточнения гильбертовых пространств.


Бесконечные стенки.

На самом деле arseniiv всё сказал. Я могу сказать подробнее, просто подумал, что Вы хотите сами дойти до ответа.

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение10.05.2020, 23:38 


03/02/15
35
g______d в сообщении #1461734 писал(а):
На самом деле arseniiv всё сказал. Я могу сказать подробнее, просто подумал, что Вы хотите сами дойти до ответа.


Будьте так добры, пожалуйста. А то я никаких противоречий у себя не вижу, поэтому вряд-ли смогу найти ответ.

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение10.05.2020, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
kcp в сообщении #1461737 писал(а):
Будьте так добры, пожалуйста. А то я никаких противоречий у себя не вижу, поэтому вряд-ли смогу найти ответ.


Ок.

В задаче о потенциальной яме с бесконечными стенками пространство состояний в координатном представлении отождествляется с $L^2(a,b)$, где $a,b$ -- положения стенок. Другими словами, волновые функции обязаны быть равны нулю вне промежутка между стенками.

В этом пространстве формула

kcp в сообщении #1461722 писал(а):
$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$


не задаёт никакого оператора (ну то есть задаёт, но он не будет везде определён, или даже может быть нигде не определён, кроме нулевой функции).

Чтобы она задавала какой-то оператор, можно, например, после сдвига срезать часть функции, вылезшую за пределы интервала. Но такой оператор уже не будет унитарным.

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение11.05.2020, 00:51 


03/02/15
35
g______d в сообщении #1461742 писал(а):
В задаче о потенциальной яме с бесконечными стенками пространство состояний в координатном представлении отождествляется с $L^2(a,b)$, где $a,b$ -- положения стенок. Другими словами, волновые функции обязаны быть равны нулю вне промежутка между стенками.

В этом пространстве формула

kcp в сообщении #1461722 писал(а):
$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$


не задаёт никакого оператора (ну то есть задаёт, но он не будет везде определён, или даже может быть нигде не определён, кроме нулевой функции).

Чтобы она задавала какой-то оператор, можно, например, после сдвига срезать часть функции, вылезшую за пределы интервала. Но такой оператор уже не будет унитарным.


Спасибо, теперь понятно.
Очевидно в моей голове бесконечные стенки потенциальной ямы оказались недостаточно бесконечны.

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение11.05.2020, 14:07 


03/02/15
35
Откровенно говоря, моё непонимание оператора сдвига оказалось глубже чем я думал.

Взял гамильтониан для одномерной цепочки бесспиновых фермионов в простейшем виде:
$H = - \sum \limits_{j = i \pm 1} a^+_i a_j $.
Посчитал собственные вектора и собственные значения гамильтониана и вычислил среднее значение оператора сдвига на постоянную решётки (осредняя значения для вырожденных состояний).

1) Для одночастичного случая получается всё замечательно и как "по учебнику"
Изображение

2) Тоже, как и в учебнике получилось из одночастичного случая вычислить энергии основного и возбуждённых состояний для двух и трёх частиц. Цифры совпали с численным расчётом.

3) Но попытка вычислить или методом пристального взгляда угадать средние значения оператора сдвига для двух и трёх частичного случая потерпели провал. Я не знаю как получить из первой картинки последующие
Изображение
Изображение

Если кто-то знает способ как понимать (получать) среднее значение оператора сдвига для многочастичного случая или просто укажет на ошибку в расчётах, я бы был весьма благодарен

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение11.05.2020, 19:17 


24/01/09
1304
Украина, Днепр
g______d в сообщении #1461742 писал(а):
В задаче о потенциальной яме с бесконечными стенками пространство состояний в координатном представлении отождествляется с $L^2(a,b)$, где $a,b$ -- положения стенок. Другими словами, волновые функции обязаны быть равны нулю вне промежутка между стенками.

В этом пространстве формула
kcp в сообщении #1461722 писал(а):
$\hat T \psi(x) = \psi(x - L)$

не задаёт никакого оператора (ну то есть задаёт, но он не будет везде определён, или даже может быть нигде не определён, кроме нулевой функции).

Я б сделал чуть иной акцент.
Оператор есть, результат действия в классических квантах даже дает, на первый взгляд, вполне "валидную" волновую функцию. Но оная уже не является состоянием с конечной энергией и не может быть решением/начальным условием уравнения Шредингера. Если мы ограничивает пространство состояний таковыми - она следовательно из него вылетает.


g______d в сообщении #1461742 писал(а):
Чтобы она задавала какой-то оператор, можно, например, после сдвига срезать часть функции, вылезшую за пределы интервала. Но такой оператор уже не будет унитарным.

Ага.

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение11.05.2020, 20:09 


03/02/15
35
Theoristos в сообщении #1461894 писал(а):
Оператор есть, результат действия в классических квантах даже дает, на первый взгляд, вполне "валидную" волновую функцию. Но оная уже не является состоянием с конечной энергией и не может быть решением/начальным условием уравнения Шредингера. Если мы ограничивает пространство состояний таковыми - она следовательно из него вылетает.


Это можно понимать как некоторый произвол, который даёт нам возможность каким-то образом не ограничивать пространство состояний исключительно частицей в яме и включить в него пустое состояние?

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение11.05.2020, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Theoristos в сообщении #1461894 писал(а):
Но оная уже не является состоянием с конечной энергией и не может быть решением/начальным условием уравнения Шредингера.


С этим я бы поспорил (потому что в пространстве состояний $L^2(a,b)$ тоже есть вектора с бесконечной энергией, которые не являются запрещёнными, поэтому на основании этого судить не очень хорошо). Но нет особого желания.

kcp в сообщении #1461848 писал(а):
Если кто-то знает способ как понимать (получать) среднее значение оператора сдвига для многочастичного случая


Я умею только когда явно выписано пространство и гамильтониан.

Если цепочка бесконечная, то оператор сдвига коммутирует с гамильтонианом, поэтому можно их одновременно дигонализовать и всё вычислить явно (в данном случае с помощью преобразования Фурье).

Если цепочка конечная, но краевые условия периодические (другими словами, цепочка замкнута в окружность или тор), то поможет дискретное преобразование Фурье.

Если цепочка конечная и граничные условия какие-то другие -- тогда хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение11.05.2020, 21:18 


03/02/15
35
g______d в сообщении #1461906 писал(а):
Я умею только когда явно выписано пространство и гамильтониан.

Если цепочка бесконечная, то оператор сдвига коммутирует с гамильтонианом, поэтому можно их одновременно дигонализовать и всё вычислить явно (в данном случае с помощью преобразования Фурье).

Если цепочка конечная, но краевые условия периодические (другими словами, цепочка замкнута в окружность или тор), то поможет дискретное преобразование Фурье.

Если цепочка конечная и граничные условия какие-то другие -- тогда хуже.


Цепочка конечным количеством узлов и с циклическими граничными условиями. Наверху у каждой картинки информация о количестве узлов и частиц в цепочке. К примеру [N=25, n=3] -- это 25 узлов и 3 частицы.

Картинки я получил численно вычислив все собственные вектора и собственные значения гамильтониана для бесспиновых фермионов, который давал выше. После чего нашёл квантово-механическое среднее оператора сдвига на один узел для каждого собственного вектора. По вырожденным состояниям проведено осреднение полученного среднего значения. По оси Х отложен arccos среднего значения оператора сдвига, по оси Y энергия соответствующего состояния.

Для одночастичного расчёта я могу связать получившееся дисперсионное соотношение с квазиимпульсом частицы. Я интерпретирую эту кривую в обратном пространстве как набор уровней энергии. Использовать её для расчёта энергии основного и возбуждённых состояний многочастичной системы.

1) Даже если я правильно считаю многочастичный случай, то как интерпретировать то что я получил?

2) Способа вычислить аналог квазиимпульса для многочастичной системы из одночастичной по аналогии с уровнями энергии я не увидел. Не за что зацепиться в интерпретации результата. В нём я не могу увидеть какой-либо физический смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение11.05.2020, 21:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
kcp в сообщении #1461914 писал(а):
Цепочка конечным количеством узлов и с циклическими граничными условиями. Наверху у каждой картинки информация о количестве узлов и частиц в цепочке. К примеру [N=25, n=3] -- это 25 узлов и 3 частицы.


Я смогу это понять только если будет явно выписан гамильтониан и пространство, в котором он задан (я скорее всего его видел, но я не очень доверяю своей памяти в терминологии).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 78 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group