2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение27.06.2020, 14:54 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
Кажется опять началась вечная путаница. "Чистым состоянием" называются две совершенно разные вещи.
1. Когда чистые состояния противопоставляются смешанным. В этом случае под чистым состоянием подразумевается любое состояние, описываемое вектором состояния (волновой функцией). То есть и базисные состояния и их суперпозиции — это состояния чистые. Деление на чистые и смешанные состояния не зависит от базиса.
2. Когда чистые состояния противопоставляются суперпозиции. В этом случае под чистым состоянием в некотором базисе подразумевается состояние базисное.

Корректность терминологии 1 безупречна, корректность терминологии несколько менее: она регулярно встречается в обсуждениях квантовой механики, но в учебниках и энциклопедиях её, кажется, нет. Поэтому лично я предпочитаю про состояние, не являющееся суперпозицией нескольких (в некотором базисе), так и говорить — "базисное состояние".

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение04.07.2020, 22:29 
Аватара пользователя


17/07/14
280
madschumacher в сообщении #1470862 писал(а):
Не, тут хитрее, понятно это становится из матрицы плотности...
В этом моменте и термином "чистое состояние" разобрался.
madschumacher в сообщении #1470862 писал(а):
Это можно представить как раз через те фазы волновых функций, о которых Вы мне напоминали: в общем случае у нас имеется ансамбль частиц, но их фазы будут произвольными друг относительно друга. В выбранном базисе чистое состояние можно представить как $|\psi\rangle = \sum_n c_n \exp(-i\varphi_n) |n\rangle$, где $c_n,\varphi_n \in \mathbb{R}$ -- амплитуда и фаза соответствующего вклада. Элементы матрицы плотности будут при этом $\rho_{nm} = c_n c_m \exp(i\varphi_n - i\varphi_m)$. И когда мы усредним по всем возможным разностям фаз $\varphi_n - \varphi_m \in [0;2\pi)$, у нас останутся только диагональные элементы, а все недиагональные исчезнут. Это и будет смешанное состояние, которое мы наблюдаем. Если же у нас есть какие-то связанные между собой фазы, то некоторые недиагональные элементы не исчезнут, и в этом случае говорят о когеренции.
Это не смог прочитать. Ансамбль частиц, это понятно. Какие фазы имеются ввиду уже не уверен. В общем случае вектор состояния фотона (в качестве примера), описывающий его поляризацию можно умножить на любую фазу и это будет то же самое состояние. Эта фаза не имеет значения до тех пор, пока речь не идет об одном и том же фотоне, интерферирующем сам с собой после прохождения по разным путям.
Разность фаз амплитуд вероятности оказаться в конкретном базисном состоянии $\varphi_1 - \varphi_2$, напротив, важна в описании чистого состояния фотона. Например, от разности фаз в каком-то базисе может зависеть будет поляризация плоской или эллиптической.
madschumacher в сообщении #1470862 писал(а):
В выбранном базисе чистое состояние можно представить как $|\psi\rangle = \sum_n c_n \exp(-i\varphi_n) |n\rangle$, где $c_n,\varphi_n \in \mathbb{R}$ -- амплитуда и фаза соответствующего вклада.
Здесь мы записали чистое состояние, разложенное по базисным векторам $|n\rangle$.
madschumacher в сообщении #1470862 писал(а):
Элементы матрицы плотности будут при этом $\rho_{nm} = c_n c_m \exp(i\varphi_n - i\varphi_m)$.
Здесь мы описали это же чистое состояние матрицей плотности. Поскольку состояние чистое, матрица плотности здесь не добавляет ничего нового по сравнением с вектором состояния.
madschumacher в сообщении #1470862 писал(а):
И когда мы усредним по всем возможным разностям фаз $\varphi_n - \varphi_m \in [0;2\pi)$, у нас останутся только диагональные элементы, а все недиагональные исчезнут.
Здесь уже совсем ничего непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?
Сообщение11.07.2020, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
2388
Внутри ускорителя
Muha_ в сообщении #1472253 писал(а):
Здесь уже совсем ничего непонятно.

Извиняюсь за долгий ответ, забыл про Ваше сообщение.

Попробую описать эту простую модель более подробно.
У Вас имеется куча молекул ($N$ штуков), и каждая из них находится в состоянии
$|\psi\rangle = \sum_n c_n \exp(-i\varphi_n) |n\rangle$, где $c_n,\varphi_n \in \mathbb{R}$ -- амплитуда и фаза соответствующего вклада, причём амплитуды ($c_n$) для всех молекул одинаковы, а вот фазы -- могут быть разными. Такое организовать очень просто: например, у Вас много молекул в длинной трубке, Вы светите на молекулы лазером с длиной волны существенно меньше, чем размер трубки, в результате чего молекулы в разных кусках трубы будут "чувствовать" разную фазу электрического поля, что приведёт к разным фазам молекул в разных кусках трубки, при этом молекулы будут продолжать лететь в своих направлениях, в результате чего через некоторое время молекулы с разными фазами окажутся в одних и тех же кусках трубы.

Чтобы посчитать наблюдаемую величину $X$, нам произвести следующую операцию:
$\langle X \rangle = \sum_{i=1}^N \langle \psi_i | \hat{X} | \psi_i \rangle = \sum_{i=1}^N \underbrace{\sum_{n,n'} c_{n} c_{n'} \exp(i (\varphi_{ni} - \varphi_{n'i})) \langle n | \hat{X} | n' \rangle}_{\operatorname{tr}(\hat{X} \hat{\rho}_i)}$,
где $\hat{\rho}_i$ -- это матрица плотности чистого состояния молекулы номер i с элементами $c_{n} c_{n'} \exp(i (\varphi_{ni} - \varphi_{n'i})) $.
То бишь, матрица плотности ансамбля оказывается суммой матриц плотностей чистых состояний индивидуальных молекул.

Если у нас молекул очень много, мы можем заменить суммирование на интегрирование, и в ансамбле у нас найдётся молекула с любой разностью фаз $\varphi_{ni} - \varphi_{n'i} = \delta \varphi$, причём каждая из этих разностей фаз будет равновероятна. В результате мы получаем, что диагональные элементы матрицы плотности будут
$\rho_{nn} = \sum_i \rho_{nn,i} \propto c_n^2$ (заселённости даны амплитудами состояний), а вот недиагональные окажутся
$\rho_{nn'} = \sum_i \rho_{nn',i} \approx c_n c_{n'} \int_0^{2\pi} d \delta \varphi \exp(i \delta \varphi) = 0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 78 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group