К чему применять оператор квантовой наблюдаемой?

[warlock66613]

Кажется опять началась вечная путаница. "Чистым состоянием" называются две совершенно разные вещи.
1. Когда чистые состояния противопоставляются смешанным. В этом случае под чистым состоянием подразумевается любое состояние, описываемое вектором состояния (волновой функцией). То есть и базисные состояния и их суперпозиции — это состояния чистые. Деление на чистые и смешанные состояния не зависит от базиса.
2. Когда чистые состояния противопоставляются суперпозиции. В этом случае под чистым состоянием в некотором базисе подразумевается состояние базисное.

Корректность терминологии 1 безупречна, корректность терминологии несколько менее: она регулярно встречается в обсуждениях квантовой механики, но в учебниках и энциклопедиях её, кажется, нет. Поэтому лично я предпочитаю про состояние, не являющееся суперпозицией нескольких (в некотором базисе), так и говорить — "базисное состояние".

[Muha_]

madschumacher в сообщении #1470862 писал(а):

Не, тут хитрее, понятно это становится из матрицы плотности...

В этом моменте и термином "чистое состояние" разобрался.

madschumacher в сообщении #1470862 писал(а):

Это можно представить как раз через те фазы волновых функций, о которых Вы мне напоминали: в общем случае у нас имеется ансамбль частиц, но их фазы будут произвольными друг относительно друга. В выбранном базисе чистое состояние можно представить как $|\psi\rangle = \sum_n c_n \exp(-i\varphi_n) |n\rangle$, где $c_n,\varphi_n \in \mathbb{R}$ -- амплитуда и фаза соответствующего вклада. Элементы матрицы плотности будут при этом $\rho_{nm} = c_n c_m \exp(i\varphi_n - i\varphi_m)$. И когда мы усредним по всем возможным разностям фаз $\varphi_n - \varphi_m \in [0;2\pi)$, у нас останутся только диагональные элементы, а все недиагональные исчезнут. Это и будет смешанное состояние, которое мы наблюдаем. Если же у нас есть какие-то связанные между собой фазы, то некоторые недиагональные элементы не исчезнут, и в этом случае говорят о когеренции.

Это не смог прочитать. Ансамбль частиц, это понятно. Какие фазы имеются ввиду уже не уверен. В общем случае вектор состояния фотона (в качестве примера), описывающий его поляризацию можно умножить на любую фазу и это будет то же самое состояние. Эта фаза не имеет значения до тех пор, пока речь не идет об одном и том же фотоне, интерферирующем сам с собой после прохождения по разным путям.
Разность фаз амплитуд вероятности оказаться в конкретном базисном состоянии $\varphi_1 - \varphi_2$, напротив, важна в описании чистого состояния фотона. Например, от разности фаз в каком-то базисе может зависеть будет поляризация плоской или эллиптической.

madschumacher в сообщении #1470862 писал(а):

В выбранном базисе чистое состояние можно представить как $|\psi\rangle = \sum_n c_n \exp(-i\varphi_n) |n\rangle$, где $c_n,\varphi_n \in \mathbb{R}$ -- амплитуда и фаза соответствующего вклада.

Здесь мы записали чистое состояние, разложенное по базисным векторам $|n\rangle$.

madschumacher в сообщении #1470862 писал(а):

Элементы матрицы плотности будут при этом $\rho_{nm} = c_n c_m \exp(i\varphi_n - i\varphi_m)$.

Здесь мы описали это же чистое состояние матрицей плотности. Поскольку состояние чистое, матрица плотности здесь не добавляет ничего нового по сравнением с вектором состояния.

madschumacher в сообщении #1470862 писал(а):

И когда мы усредним по всем возможным разностям фаз $\varphi_n - \varphi_m \in [0;2\pi)$, у нас останутся только диагональные элементы, а все недиагональные исчезнут.

Здесь уже совсем ничего непонятно.

[madschumacher]

Muha_ в сообщении #1472253 писал(а):

Здесь уже совсем ничего непонятно.

Извиняюсь за долгий ответ, забыл про Ваше сообщение.

Попробую описать эту простую модель более подробно.
У Вас имеется куча молекул ($N$ штуков), и каждая из них находится в состоянии
$|\psi\rangle = \sum_n c_n \exp(-i\varphi_n) |n\rangle$, где $c_n,\varphi_n \in \mathbb{R}$ -- амплитуда и фаза соответствующего вклада, причём амплитуды ($c_n$) для всех молекул одинаковы, а вот фазы -- могут быть разными. Такое организовать очень просто: например, у Вас много молекул в длинной трубке, Вы светите на молекулы лазером с длиной волны существенно меньше, чем размер трубки, в результате чего молекулы в разных кусках трубы будут "чувствовать" разную фазу электрического поля, что приведёт к разным фазам молекул в разных кусках трубки, при этом молекулы будут продолжать лететь в своих направлениях, в результате чего через некоторое время молекулы с разными фазами окажутся в одних и тех же кусках трубы.

Чтобы посчитать наблюдаемую величину $X$, нам произвести следующую операцию:
$\langle X \rangle = \sum_{i=1}^N \langle \psi_i | \hat{X} | \psi_i \rangle = \sum_{i=1}^N \underbrace{\sum_{n,n'} c_{n} c_{n'} \exp(i (\varphi_{ni} - \varphi_{n'i})) \langle n | \hat{X} | n' \rangle}_{\operatorname{tr}(\hat{X} \hat{\rho}_i)}$,
где $\hat{\rho}_i$ -- это матрица плотности чистого состояния молекулы номер i с элементами $c_{n} c_{n'} \exp(i (\varphi_{ni} - \varphi_{n'i})) $.
То бишь, матрица плотности ансамбля оказывается суммой матриц плотностей чистых состояний индивидуальных молекул.

Если у нас молекул очень много, мы можем заменить суммирование на интегрирование, и в ансамбле у нас найдётся молекула с любой разностью фаз $\varphi_{ni} - \varphi_{n'i} = \delta \varphi$, причём каждая из этих разностей фаз будет равновероятна. В результате мы получаем, что диагональные элементы матрицы плотности будут
$\rho_{nn} = \sum_i \rho_{nn,i} \propto c_n^2$ (заселённости даны амплитудами состояний), а вот недиагональные окажутся
$\rho_{nn'} = \sum_i \rho_{nn',i} \approx c_n c_{n'} \int_0^{2\pi} d \delta \varphi \exp(i \delta \varphi) = 0$.