Пространство-время ОТО

[Munin]

Ок. Я ухожу до вечера, а пока вы занимайтесь тут этим товарищем. Если сумеете чего-то добиться, буду рад.

[realeugene]

sergey zhukov

Раз уж зашла речь про символы Кристоффеля, стоит добавить, что именно они связаны с гравитационным полем, "действующим" на тела. Пусть у нас одиночное тело движется равномерно и прямолинейно в пространстве Минковского. Перейдя в нестандартные кривые координаты мы можем увидеть, что тело движется в этих координатах не по прямой. Мы совершенно законно можем решить, что в этих координатах тело движется не по прямой, потому что на тело действует гравитационное поле. Это гравитационное поле будет описываться ненулевыми символами Кристоффеля в кривых координатах.

С другой стороны, в любом гравитационном поле и исходя из любых координат можно перейти в другие подходящие координаты и обнаружить, что свободное тело в рассматриваемый момент времени движется в этих координатах равномерно и прямолинейно. То есть, выбором подходящих координат можно устранить гравитационное поле в любой точке. Таким образом, принцип эквивалентности непосредственно связан с возможностью зануления символов Кристоффеля в произвольной точке. С тензорами такой фокус невозможен: ненулевой тензор остаётся ненулевым в произвольных координатах.

[Munin]

У Фейнмана есть лекция на эту тему:
Фейнман. Дюжина лекций: шесть попроще и шесть посложнее.
Лекция II-6 (последняя).

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

1. Метрический тензор без координат не существует и не является внутренним свойством поверхности, т.к. он является внутренним свойством самих координат;

Метрический тензор - это то, что определяет расстояния между точками, а стало быть к координатам он не имеет отношения.

К координатам имеют отношения компоненты метрического тензора в тех или иных координатах. Впрочем, это всё верно и для любого тензора.

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

3. На криволинейной поверхности можно нарисовать координатную сетку такую, что в ней метрический тензор всюду диагонален

Прямо-таки "всюду"?

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

Поэтому отличие метрического тензора от единичного означает ничто другое, как отклонение координат от равномасштабных и прямоугольных. Это вовсе никак не характеризует кривизну поверхности.

Это точно, никак не характеризует. Потому что её (кривизну) характеризуют некие комбинации из вторых производных метрического тензора.

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

Суммируя, можно сказать, что метрический тензор в каждой точке координат определяет угол между осями и их масштаб безотносительно к тому, на какую поверхность наложены эти координаты.

Это в Римановом пространстве. А в псевдоримановом всё чуть хитрее. Там есть такая штука, как световой конус, связь коего с координатной сеткой тоже имеет значение.

[sergey zhukov]

Geen в сообщении #1392507 писал(а):

sergey zhukov в сообщении #1392142 писал(а):

Скалярное произведение каждой строки самой на себя, равное длине каждого вектора главных напряжений, не меняется;

Докажите это.

Согласен, это я неверно сказал.

Munin в сообщении #1392514 писал(а):

К сожалению, ваше знакомство с тензорами не дало вам даже примера произвольных и антисимметричных тензоров 2-го ранга.

У меня пока скромная задача хорошо понять самый простой из возможных тензоров, который я могу представить.

Munin в сообщении #1392517 писал(а):

Там практически все многообразия имеют кривизну, то есть в принципе не имеют никаких предпочтительных выделенных прямоугольных систем координат. Какую бы систему координат вы ни начали на них наносить, она где-то будет косоугольной.

Да, это я понял. Но прямоугольные равномасштабные координаты, на мой взгляд, все же выделенные, поскольку именно такие координаты нужно использовать локально в каждой точке любого многообразия. Плоские координаты выделенные, потому что локально все многообразия плоские. Может, я мыслю не достаточно относительно, но плоские координаты все же кажутся мне особенными.
На криволинейной поверхности любые косоугольные координаты в точке сводятся к эквивалентным прямоугольным координатам с различными, в общем случае отличными от 1, масштабами по осям. Для наблюдателя в точке любое отличие масштаба от 1 и вообще разномасштабность у этих глобальных координат должно выглядеть странно. С какой стати масштаб длины на касательной плоскости - изотропной и однородной, потому что плоской - должен зависеть от направления измерения, если обычная линейка локального наблюдателя показывает, что это не так? А если я переношу линейку вдоль координатной линии, то почему ее масштаб в общем случае непрерывно меняется в сравнении с моей линейкой? Локально в любой точке поверхности пространство всегда плоское, однородное и изотропное, самыми естественными локальными координатами были-бы ортогональные координаты с масштабом 1 по обеим осям. Вот метрический тензор и показывает, как перейди от глобальных косоугольных координат к локальным прямоугольным.
Я полагаю, что имеет смысл говорить о некоторой конечной области внутри касательной плоскости, в которой выполняются геометрические построения, бесконечно малые по отношению к радиусам кривизны поверхности.

Тензоры деформации и напряжения я тоже представляю эллипсоидами. Теперь я понял, что все тензоры, с которыми я знаком, представляют собой просто матрицу преобразования произвольного пучка векторов в ортогональный, нормированный на единичный масштаб пучок. Например, напряженное состояние тела задается тремя векторами нормальных напряжений, в общем случае даже и не ортогональных. Тензор напряжения показывает, как в каждой точке привести этот пучок трех неортогональных равномасштабных векторов к ортогональному, по всем осям нормированному на 1 пучку.
Я долго не мог понять вопроса направления. Скалярное поле не направлено, векторное направлено, а тензорное - не пойми что. Сначала я думал, что тензор состоит из нескольких векторов и, следовательно, имеет несколько направлений в каждой точке сразу. Например, поле механического напряжения сплошного тела - тензорное поле. Как ориентирован тензор в этом поле? Сначала я думал, что это просто главные нормальные напряжения - оси эллипсоида - которые имеют абсолютное направление относительно напряженного материала. Но потом я понял, что если рассматривать нормальные напряжения в точке в общих косоугольных координатах, то они могут быть направлены куда угодно. Тензор напряжения связывает величину и направление всех трех нормальных напряжений между собой, но никакого абсолютного направления и величины не задает. Зато если задать на тензорном поле направление и величину хотя бы одного нормального напряжения, направление и величина остальных двух автоматически следует из тензора напряжения.

Я бы хотел понять другие виды тензоров. На примере какого тензора лучше всего рассмотреть следующую ступень сложности? Если я все таки приблизительно понял, что такое тензор второго ранга.

realeugene в сообщении #1392535 писал(а):

С тензорами такой фокус невозможен: ненулевой тензор остаётся ненулевым в произвольных координатах.

Я так понял, что символы Кристоффеля отвечают за то, остаются ли косоугольные координаты от точки к точке все время эквивалентными плоским или нет. Если угол между осями и масштабы вдоль осей меняются согласовано, что соответствует в ОТО, видимо, гиперболическому повороту, то кривизна не возникает.

epros в сообщении #1392552 писал(а):

Метрический тензор - это то, что определяет расстояния между точками, а стало быть к координатам он не имеет отношения.

Не согласен. Метрический тензор имеет дело только с внутренними свойствами самих координат. Он определяет расстояние между точками только в том смысле, что определяет связь между глобальными косоугольными произвольными координатами и прямоугольными, нормированными на 1 масштаб локальными координатами, а последние по определению правильно отображают расстояние на касательной плоскости. Т.е. можно так сказать, что бесконечно малое расстояние на любом многообразии в любой точке вычисляется по обычной теореме Пифагора, потому, что это просто расстояние на касательной плоскости. Только глобальные координаты у нас в разных точках имеют разный угол и масштаб. Вот это метрический тензор и должен компенсировать.

epros в сообщении #1392552 писал(а):

:?: Прямо-таки "всюду"?

Полюса не в счет.

epros в сообщении #1392552 писал(а):

Это в Римановом пространстве. А в псевдоримановом всё чуть хитрее.

Я тут, кстати, понял, что тензор напряжения тоже ведь может иметь сигнатуру с плюсами и минусами. Например, если рассмотреть точку, нагруженную одновременно равными перпендикулярными растягивающим и сжимающим напряжениями, то никакого эллипсоида не получится. Получится как раз гиперболический поворот.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1392679 писал(а):

epros в сообщении #1392552 писал(а):

Метрический тензор - это то, что определяет расстояния между точками, а стало быть к координатам он не имеет отношения.

Не согласен. Метрический тензор имеет дело только с внутренними свойствами самих координат.

Мне казалось, что я ясно выразился. Расстояния между точками (именно за них отвечает метрика, и если они определены, это называется "метрическое пространство") к координатам НИКАКОГО отношения не имеют.

sergey zhukov в сообщении #1392679 писал(а):

Он определяет расстояние между точками только в том смысле, что определяет связь между глобальными косоугольными произвольными координатами и прямоугольными, нормированными на 1 масштаб локальными координатами,

Нет, не только в этом смысле. Координаты, в которых метрический тензор записывается единичной матрицей, называются Декартовыми. И это - особенность выбора координат, ничего более.

sergey zhukov в сообщении #1392679 писал(а):

epros в сообщении #1392552 писал(а):

:?: Прямо-таки "всюду"?

Полюса не в счет.

Во-первых, сфера - тот редкий особый случай, который позволяет построить почти всюду ортогональные (но не Декартовы) координаты. На сложной поверхности это не получится. Во-вторых, всюду Декартовы координаты получится построить только в пространстве нулевой кривизны.

[realeugene]

sergey zhukov в сообщении #1392679 писал(а):

Я так понял, что символы Кристоффеля отвечают за то, остаются ли косоугольные координаты от точки к точке все время эквивалентными плоским или нет.

Нет. Символы Кристоффеля отвечают за параллельный перенос тензоров и, как следствие, за их ковариантное дифференцирование, и могут быть ненулевыми и в плоском пространстве в кривых координатах. Например, они (некоторые из них) ненулевые в полярных координатах на плоскости.

[Guvertod]

sergey zhukov в сообщении #1392679 писал(а):

Для наблюдателя в точке любое отличие масштаба от 1 и вообще разномасштабность у этих глобальных координат должно выглядеть странно. С какой стати масштаб длины на касательной плоскости - изотропной и однородной, потому что плоской - должен зависеть от направления измерения, если обычная линейка локального наблюдателя показывает, что это не так? А если я переношу линейку вдоль координатной линии, то почему ее масштаб в общем случае непрерывно меняется в сравнении с моей линейкой? Локально в любой точке поверхности пространство всегда плоское, однородное и изотропное, самыми естественными локальными координатами были-бы ортогональные координаты с масштабом 1 по обеим осям. Вот метрический тензор и показывает, как перейди от глобальных косоугольных координат к локальным прямоугольным.

Ситуацию в целом надо понимать так: все события в нашем мире мы непрерывно можем покрыть картами из 4 чисел $x^{\mu}$, это экспериментальный факт.
Математически на этом многообразии (пространстве-времени) мы можем ввести метрику (определить расстояние(суть просто число) для смещений), в координатной записи это $ds^2=g_{\alpha \beta} (x) dx^{\alpha} dx^{\beta}$, в этом смысле допустима абсолютна любая. Все $g_{\mu \nu}$ имеют известное свойство в данной точке преобразованием координат приводиться к диагональному виду из $1$ и $-1$ (в зависимости от сигнатуры).

Но какая именно подразумевается в гравитации? В конечном итоге нам нужна теория, которая была бы как минимум экспериментально проверяемая. Подразумевается, что мы используем для экспериментов какие-то материальные сущности, называемые "линейками" и "часами", а утверждения же о каких-то абстрактных метрических величинах нас не волнуют . Но как определить эти сущности?

Чтобы разобраться с этим вопросом, вернемся к простой ньютоновской механике. Там есть некие $t,x,y,z$ которые мы прочно мыслим как время, измеренное часами и расстояния по линейкам. Но откуда такое взялось?
На самом деле в первом законе мы просто постулировали, что есть такие координаты, в которых выполняются остальные два. И линейки и часы есть просто такие сделанные сущности, которые эти координаты реализуют, а не наоборот. И ее экспериментальная проверка в сущности есть поиск таких координат, в которых они выполняются.
То, что мы интуитивно понимаем, какие линейки и часы "верные", есть следствие того, что мы живем среди подобных "твердых" и "примерно инерциальных" (с точки зрения нашей теории) объектов. Если бы мы жили в какой-то жидкой/газовой субстанции, сами были бы такие, то сразу стало бы понятно, что вся основа в постулатах, а не придуманных для удобства измерительных приборах.
К слову, именно группа симметрий закона ньютона, позволяет нам выделить класс пространственных координат в ИСО и ввести для них удобное $dl^2=dx^2+dy^2+dz^2$ (это никакой не отдельный постулат, дополнительно к законам постулируется только топология).

Теперь вернемся к гравитации. Тогда, очевидно, нам нужно ввести какие-то постулаты о поведении материальных вещей в координатах, которые предполагают существование особой конкретной $g_{\alpha \beta}$ (как в ньютоновской механике предполагались конкретные координаты) . Там было с точностью до поворотов и преобразований Галилея, тут теперь- с точностью до замен координат на многообразии.
Если кратко, эти постулаты (про их экспериментальные предпосылки я сейчас говорить не буду, но это тоже можно обсудить):
а) Причинность.
Метрика $g_{\alpha \beta}$ в каждой точке имеет сигнатуру $(1,-1,-1,-1)$.
б) Закон сохранения.
Все материальные поля имеют некоторую характеристику (тензор энергии-импульса), которая в данной метрике ковариантно сохраняется (это некоторое уравнение, зависящее в том числе от метрики) .
Два этих постулата однозначно определяют метрику на многообразии. Мы можем отличить "верную" от "неверной", наличие "верной", предсказанной уравнениями гравитации (например, уравнениями Эйнштейна) , подтверждает теорию гравитации, отсутствие - опровергает.

(еще, конечно, как и в любой теории теоретически постулаты можно поменять местами с некоторыми следствиями)

Я убежден, что в конечном итоге именно такое понимание физического смысла $g_{\alpha \beta}$ наиболее верно. Задумываться же о "обычных линейках локального наблюдателя" , как вещей самих в себе, не имеет смысла.

[sergey zhukov]

Интересно.

Я тут прочитал фейнмановские лекции, о которых речь была выше. Надеюсь, вы все тоже с ними знакомы. Там он приводит пример жука на сфере и жука на плоской горячей тарелке. У первого есть линейка, которая в любой точке шара одна и та же. У второго линейка от прикладывания к горячей поверхности тут же расширяется, и таким образом, если температурное поле по тарелке неравномерно, линейка всюду меняет свою длину. Выбрав подходящее температурное поле на плоской тарелке, можно добиться того, что геометрия у этих жуков будет совершенно идентичная.

Я придерживаюсь первого взгляда из пространства более высокой размерности. В нем единичная линейка обладает свойством сохраняться при вращениях и перемещениях, а произвольные косоугольные координаты в общем случае неправильно дают ее длину в каждой точке. Их нужно подправить метрическим тензором.

А вы, как я понял, придерживаетесь второго взгляда - взгляда изнутри - который отбрасывает высшие измерения и делает бессмысленным разговоры о какой-то независимой внутренней сохранности длины линейки при переносе и повороте. В самом деле: как узнать, что она сохраняется? Вопрос сводится к измерению линейкой самой себя, это ничего не дает. И если где-то по окружности укладывается десять линеек, а по ее диаметру - двадцать, то мы должны сделать вывод, что единичное расстояние в этом пространстве по диаметру окружности меньше, чем по периметру. Такое вот не изотропное и не однородное пространство. Можно сказать, что у него плотность всюду разная (только не скалярная, а тензорная плотность). Линейка лишь визуализирует этот факт. Она не имеет никакой собственной длины, а всегда принимает ту длину, которая определена в этой точке пространства, как единичная.
Это напоминает мне комнату Эймса. Знаете, где кривая комната выглядит прямой, а люди внутри нее выглядят совершенно разного размера. Эффект поразительный, наверняка так снимали многие фильмы. Так вот, я смотрю на эту ситуацию сверху и вижу, что люди при перемещении по комнате сохраняют размер, а координатная сетка (плитка на полу) и сама комната косоугольные и неправильно отображают размер людей. Сверху видно, что эту плитку и всю комнату нужно сделать равномерной и прямоугольной, тогда иллюзия в комнате Эймса сразу разрушится. Вы предлагаете в общем то же самое, только не имея возможности сменить точку зрения, говорите, что в этой комнате метрика пространства такая, что в одном углу единица длины вдвое больше, чем в другом. И нарисуете на полу со своей точки зрения такие неравномерные плитки, которые сверху для меня как раз и будут выглядеть прямоугольными.

Наверное ваш взгляд более правильный, т.к. все же никаких высших размерностей нет. Но математически это ведь эквивалентно, не так ли?

Guvertod в сообщении #1392784 писал(а):

) Причинность.
Метрика в каждой точке имеет сигнатуру....

А как причинность определяется метрикой и сигнатурой?

Вот еще что мне интересно. Нельзя ли на примере напряженного состояния в точке лучше понять плоское пространство-время? Например, евклидовому пространству соответствует состояние изотропного растяжения или сжатия. А псевдоеклидовому – чистый сдвиг:



Одно и то же напряженное состояние чистого сдвига может быть представлено множеством способов при помощи разных сжимающих/растягивающих нормальных напряжений, действующих в точке под разными углами. Все варианты представления заданного состояния напряжения чистого сдвига реализует гиперболический поворот, поэтому напряженное состояние чистого сдвига инвариантно к гиперболическому повороту.
Это, конечно, просто математические свойства соответствующего тензора, вовсе не специфичные именно для тензора напряжения. Просто на этом примере, как мне кажется, можно почувствовать, что время принципиально отличается от пространства тем, что оно имеет направление “внутрь”, а пространство – “наружу” (или наоборот).
Меня всегда озадачивал вопрос отличия времени от пространства. С одной стороны, многие свойства времени и пространства полностью совпадают, но с другой стороны – какое-то одно свойство у времени диаметрально противоположно таковому у пространства. Причем не потому, что это действительно так, а потому, что это свойство для времени мы сами почему-то определили противоположно, чем для пространства, и измеряем его задом наперед. Не знаю, по моему, этот вопрос многих интересует. Я слышал мнение, что ОТО разрешила вопрос сущности времени. Но по моему, тут какой-то провал в понимании продолжает существовать. Думаю, мы наверняка понимаем время в каком-то одном аспекте прямо противоположно тому, как это следует понимать.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

а произвольные косоугольные координаты в общем случае неправильно дают ее длину в каждой точке. Их нужно подправить метрическим тензором.

Ещё раз, метрический тензор не делает что-то с координатами, он просто делает касательное пространство (каждой точки) евклидовым (или псевдоевклидовым), то есть вообще просто определяет длины—углы—скалярное произведение (вот билинейная форма скалярного произведения и есть метрического тензор), которых без него нет. Это даёт определить также и длины отрезков кривых на самом многообразии (ну и углы при их пересечениях, но тут все тривиально в отличие от длин).

Особая роль скалярного произведения в том, что оно позволяет канонически отождествить векторы и ковекторы (и в общем случае поднимать и опускать индексы у тензоров; также отсюда идёт например ортогональное проецирование), определить ортогональные преобразования и т. п..

-- Пн май 13, 2019 23:21:43 --

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

Просто на этом примере, как мне кажется, можно почувствовать, что время принципиально отличается от пространства тем, что оно имеет направление “внутрь”, а пространство – “наружу” (или наоборот).

Ну на самом деле это частности того, что нам выдалось жить в таком пространстве-времени. Жили бы мы в 2+2-мерном псевдоевклидовом — одно направление «внутрь» (или наоборот) было бы пространственным, а не временным. В евклидовом пространстве-времени они все будут одинаковые, но время тоже там будет.

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

Я слышал мнение, что ОТО разрешила вопрос сущности времени.

Про время можно задать много разных вопросов к разным понятиям, ответы на многие из них не привязаны к например конкретно ОТО.

-- Пн май 13, 2019 23:25:48 --

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

Но математически это ведь эквивалентно, не так ли?

Да. Плюс рассматривать изнутри в том, что например не надо думать о том, какой же вид имеет вложение и куда оно должно быть, и ещё не нужны лишние кучи чисел в расчётах.

[sergey zhukov]

arseniiv в сообщении #1392831 писал(а):

Да. Плюс рассматривать изнутри в том, что например не надо думать о том, какой же вид имеет вложение и куда оно должно быть

Точно. Я же все время представлял, что оно вложено в евклидово пространство, а казалось бы - почему именно в него? У пространства вложения тоже ведь может быть кривизна и так до бесконечности.

arseniiv в сообщении #1392831 писал(а):

Жили бы мы в 2+2-мерном псевдоевклидовом

Никогда не слышал про теорию, в которой время было-бы, скажем, двумерным. Я всегда думал, что этому есть логичное объяснение: направление времени - это направление нашего движения, оно всегда одно. Все перпендикулярные ему направления - пространственные, их может быть сколько угодно.

arseniiv в сообщении #1392831 писал(а):

поднимать и опускать индексы у тензоров

Вот про это опускание и поднятие индексов я слышу каждый раз, когда начинаю читать про тензорную математику. Видимо, что-то очень важное, но я совершенно не понимаю, что это значит.

Я тут читал Фейнмана, который пишет, что в первом приближении замедление хода часов определяется гравитационным потенциалом. Скажем, для Земли этот потенциал максимален на поверхности, а с глубиной сходит к нулю. Значит ли это, что в центре планеты часы идут с той же скоростью, что и в дали от нее? Если же в данном случае следует учитывать вклад давления, которое входит в тензор энергии-импульса, то значит ли это, что часы внутри жесткой защитной капсулы в центре Земли не замедляются? И если так, что значит ли это, что простое сжатие часов, скажем, внутри гидравлического цилиндра до величины давления в центре Земли, приведет к замедлению их хода, такого же, как в центре Земли?

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

Я тут прочитал фейнмановские лекции, о которых речь была выше.

Ну что ж. Делаем вывод, что не всем они бывают понятны с первого раза. Ничего. Перечитайте. Думая внимательно над каждой мыслью.

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

А вы, как я понял, придерживаетесь второго взгляда - взгляда изнутри - который отбрасывает высшие измерения и делает бессмысленным разговоры о какой-то независимой внутренней сохранности длины линейки при переносе и повороте.

Всё в точности наоборот: именно взгляд изнутри, в котором задана метрика, делает осмысленным и точным представление о том, что такое длина линейки, и как её сохранить при любых переносах и поворотах.

Все ваши рассуждения показывают, что вы этого не понимаете. Надо всё исправить. Начиная с вашего высокомерия ("я вижу всё как есть, а вы дураки и о простых вещах не подумали"). Высокомерие тоже типично для первого поверхностного знакомства со сложным предметом.

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

Вот еще что мне интересно. Нельзя ли на примере напряженного состояния в точке лучше понять плоское пространство-время?

Нет, нельзя. И вам это уже сказали. Но вы проигнорировали.

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

Например, евклидовому пространству соответствует состояние изотропного растяжения или сжатия. А псевдоеклидовому – чистый сдвиг:

Увы, нет.

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

Просто на этом примере, как мне кажется, можно почувствовать, что время принципиально отличается от пространства тем, что оно имеет направление “внутрь”, а пространство – “наружу” (или наоборот).

Нет.

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

Меня всегда озадачивал вопрос отличия времени от пространства.

Не читая учебника, вам этот вопрос не решить. А в учебнике написано, как он решается. Но с вашими выдумками это не имеет ничего общего.

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

Я слышал мнение, что ОТО разрешила вопрос сущности времени. Но по моему, тут какой-то провал в понимании продолжает существовать. Думаю, мы наверняка понимаем время в каком-то одном аспекте прямо противоположно тому, как это следует понимать.

Это провал в понимании того, что вы пока не знаете ОТО, и не можете высказываться о том, что понимают, и чего не понимают, другие люди.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

В самом деле: как узнать, что она сохраняется?

А догадаться, что слово "линейка" подразумевает сохранение её длины, не судьба? То бишь никто не запретит Вам верить в то, что некий предмет, именуемый нами "линейкой", при перемещении из Москвы в Санкт-Петербург становится вдвое длиннее. Но это всего лишь означает, что Вы её на самом деле за линейку не считаете, а в качестве линейки у Вас принято что-то другое.

sergey zhukov в сообщении #1392828 писал(а):

Наверное ваш взгляд более правильный, т.к. все же никаких высших размерностей нет.

Вопрос о существовании высших размерностей совершенно отдельный. Геометрия того пространства, которое нас интересует, может существовать и без оглядки на этот вопрос. И есть куча теорем о том, какие пространства можно или нельзя вложить в пространства каких высших размерностей.

sergey zhukov в сообщении #1392836 писал(а):

Никогда не слышал про теорию, в которой время было-бы, скажем, двумерным. Я всегда думал, что этому есть логичное объяснение: направление времени - это направление нашего движения, оно всегда одно. Все перпендикулярные ему направления - пространственные, их может быть сколько угодно.

На самом деле в этом есть сермяжная правда. ВременнОе измерение существенным образом отличается от пространственных именно тем, что оно одно. Поэтому не получится в любом месте провести замкнутую всюду времени-подобную линию, а вот замкнутую всюду пространственно-подобную линию можно провести где угодно.

sergey zhukov в сообщении #1392836 писал(а):

Значит ли это, что в центре планеты часы идут с той же скоростью, что и в дали от нее?

Часы в центре Земли идут медленнее, чем на поверхности. Именно потому, что там ниже гравитационный потенциал.

[arseniiv]

sergey zhukov в сообщении #1392836 писал(а):

У пространства вложения тоже ведь может быть кривизна и так до бесконечности.

Об этом я даже не думал, вложения и в плоские пространства достаточно хитрый вопрос. Сколько измерений хватит для инъективного (без попадания нескольких исходных точек в одну) вложения некоторого многообразия? Как убедиться, что два вложения по сути есть вложения одного и того же? (Впрочем второе и во внутреннем изложении должно быть в общем случае трудно; многообразие описывается набором карт — отображений его открытых подмножеств в открытые подмножества $\mathbb R^n$, причём гладко сопрягающихся в местах, покрываемых несколькими картами. И тут получается тоже богатый выбор представления одного и того же.)

sergey zhukov в сообщении #1392836 писал(а):

Никогда не слышал про теорию, в которой время было-бы, скажем, двумерным. Я всегда думал, что этому есть логичное объяснение: направление времени - это направление нашего движения, оно всегда одно. Все перпендикулярные ему направления - пространственные, их может быть сколько угодно.

Именно, что если у нас есть точечные частицы, это означает (ну, через какой-то длины выводы, которые я в точности уже не помню), что в пространстве-времени есть какие-то кривые, а по этим кривым можно отмерять собственное время этих частиц. А точечные частицы, даже если например пробные, вышли ну крайне полезным понятием.

sergey zhukov в сообщении #1392836 писал(а):

Вот про это опускание и поднятие индексов я слышу каждый раз, когда начинаю читать про тензорную математику. Видимо, что-то очень важное, но я совершенно не понимаю, что это значит.

Не знаю, насколько это важно физике, но математически это простая процедура. Если взяли тензор из $V_1\otimes\ldots\otimes V_i\otimes\ldots$, а получили тензор из $V_1\otimes\ldots\otimes V_i^*\otimes\ldots$, говорят, что $i$-й индекс опустили, и наоборот. Опустить можно, если у нас откуда-то нашлось отображение $V_i\to V_i^*$; билинейная форма как раз и осуществляет такое отображение: если в неё подставить один аргумент и на этом остановиться, то получится линейная функция оставшегося, то есть ковектор. Всё столь просто*, остальное разнообразие получается этаким доведением до логического завершения с учётом хороших свойств тензорного произведения: например если у нас были функция (линейные, как и все выше) $A\colonV\to W$, $A'\colon V'\to W'$ то у нас есть и функция $A\otimes A'\colon V\otimes V'\to W\otimes W'$; определение следа оператора или просто применения ковектора к вектору даёт функцию $\mathrm{tr}\colon V^*\otimes V\to\mathbb R$; умножение на скаляр является линейным оператором и даёт функцию в обратную сторону: $(a\mapsto a\operatorname{id}_V)\colon\mathbb R\to V\otimes V^*$; и ещё есть несколько кирпичиков.

* Ну вообще конечно всё весьма сложно, если начать рассматривать бесконечномерные пространства, спрашивать себя как выглядит любой линейный оператор в деталях, заменить $\mathbb R$ на какое-то хитрое поле или даже кольцо и т. п., но большой кусок древней линейной алгебры — объятная и красивая статуя.

Из всего этого собирается бесконечное здание, аккомпанируемое довольно удобной индексной записью, где например подстановка одного вектора $v^i$ в скалярное произведение $g_{ij}$ есть просто $v^i g_{ij}$; у этого выражения остаётся свободный нижний индекс $j$, то есть это ковектор. Пропадение индекса $i$, появившегося и сверху, и снизу, зовут свёрткой, и в сущности это просто правильно просунутое через тензорные множители $\mathrm{tr}$, где бы в выражении каждый из пары индексов не попался.

Физики такую штуку $v^i g_{ij}$, раз она нередко им нужна, стали писать просто $v_i$ — индекс спустился. Поднять его можно аналогично: $f_i g^{ij}$, где $g^{ij}$ обозначает метрический тензор уже на пространстве ковекторов — но он однозначно определяется по $g_{ij}$. Теперь мы можем например опустить индекс и поднять его назад: $v^i g_{ij} g^{jk}$. Это будет ровно $v^k$ по определению $g^{ij}$ (что и позволило сделать обозначение поднятия-опускания, раз мы ничего не испортим, проделав такое чётное число раз). Можно записать: $v^i g_{ij} g^{jk} = v^k = v^i\delta^k{}_i$; $\delta^i{}_j$ — это обозначение единичного оператора. Теперь замечательная индексная запись позволяет выкинуть $v^i$ из обоих частей: $g_{ij} g^{jk} = \delta^k{}_i$. Втихую я вам здесь нарисовал определение $g^{jk}$ в индексной записи.

Выше был пример простых манипуляций с простыми тензорами в индексной записи, более сложные делаются достаточно едино, даже когда появляется всякое дифференцирование. Любой тензор можно представить выражением с кучкой верхних и нижних индексов, и единственная когнитивная ступенька тут, вероятно, в том, что не всякий тензор разложим: его не обязательно можно собрать просто из пачки векторов и ковекторов, тензорно умноженных друг на друга как $v^i w^j f_k u^\ell\cdots$ (что означает, возвращаясь к обычной записи, $\mathbf v\otimes\mathbf w\otimes f\otimes\mathbf u\otimes\ldots$). Это в каком-то смысле и позволяет всю полилинейную магию. Хотя у прямых сумм, любой элемент которых как раз можно составить из элементов их слагаемых, тоже куча смысла, и $\oplus$ с $\otimes$ хорошо разговаривают, но индексная запись никак с ними не работает. (Прямые суммы например придают больше смысла блочным матрицам.)

Это всё например и не заменит хорошей книжки по линейной геометр алгебре, но вдруг вы почувствуете вкус.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1392848 писал(а):

Сколько измерений хватит для инъективного (без попадания нескольких исходных точек в одну) вложения некоторого многообразия?

См. погружение и теоремы Уитни и Нэша [en.wiki].

arseniiv в сообщении #1392848 писал(а):

А точечные частицы, даже если например пробные, вышли ну крайне полезным понятием.

Вообще-то они нафиг не нужны, можно только поля использовать.

arseniiv в сообщении #1392848 писал(а):

математически это простая процедура...

У вас потрясающий талант объяснять совершенно непонятно (для новичка) с таким видом, что это банальности

arseniiv в сообщении #1392848 писал(а):

где $g^{ij}$ обозначает метрический тензор уже на пространстве ковекторов — но он однозначно определяется по $g_{ij}$.

На матричном языке можно заметить, что $g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k,$ и таким образом, $g^{ij}$ выражается матрицей, обратной к матрице, выражающей $g_{ij}.$