Единичный вектор в кинематике.

[Munin]

upgrade в сообщении #1338107 писал(а):

По формулам (формулы постулированы)

Вы не для себя, что ли, спрашиваете? Поясните, всё-таки, пожалуйста, явно: насколько вам знакома суть производной, насколько вы её понимаете, включая простейшие приложения в матанализе, геометрии, физике? Не уходите от вопроса.

Можете ли вы через производные найти угловой коэффициент кривой $y(x)$ в точке $x_0,$ заданной неявно функциями:

$$\begin{cases}x=x(t)&x_0=x(t_0)\quad x'(t_0)\ne 0\\y=y(t)&y_0=y(t_0)?\end{cases}$$

[upgrade]

Munin в сообщении #1338246 писал(а):

Вы не для себя, что ли, спрашиваете?

Первоначальный вопрос - до этого поста - для себя, чтобы потом объяснить другому.
Дальше я не очень понимаю куда пошла тема.

Munin в сообщении #1338246 писал(а):

поясните, всё-таки, пожалуйста, явно: насколько вам знакома суть производной, насколько вы её понимаете, включая простейшие приложения в матанализе, геометрии, физике?

Раньше я понимал производную как отношение приращений функции и аргумента при устремлении приращения аргумента к нулю, т.е. скорость изменения функции в точке и всегда исходил из этого понимания, чуть позднее - как тангенс угла наклона в выбранной с.о. (т.к. отношение приращений - это катет разделить на катет ибо прям вот точки никак не получается), с момента прочтений той темы у меня сложилось впечатление, что ни то ни другое полностью не дает понимания производной.

Munin в сообщении #1338246 писал(а):

Можете ли вы через производные найти угловой коэффициент кривой $y(x)$ в точке $x_0,$ заданной неявно функциями:

Сходу - нет, если почитаю учебники - да (с легким дифференцированием и анализом функций эпизодически имею дело по работе).

[Dragon27]

В физике любят очень вольно обращаться с некоторыми понятиями анализа (совсем не так как это делают в строгом стандартном математическом анализе). Точнее, любят вводить так называемые "бесконечно малые" величины, приращения и т.д. (инфинитезимали). Которые с одной стороны, настолько малы, что работают с ними, как правило, только до первого порядка, отбрасывая все высшие порядки (а функции от этих величин при этом превращаются в линейные). С другой стороны, не настолько малы, чтобы быть равны нулю.
Строгого формального обоснования и правил работы с этими величинами в физических учебниках не даётся, предполагается, что читающий поймёт правила работы с ними интуитивно, на примерах, и через некоторое время научиться манипулировать ими самостоятельно.
Тем временем, в математике всё же существуют разные формальные подходы для работы с этими инфинитезималями. Вот, например, гладкий инфинитезимальный анализ (вводная статья), где инфинитезимали имитируются особыми нильпотентными числами. В нём в частности присутствуют такие постулаты, как квадрат нильпотентной инфинитезимали равен нулю (отсюда отбрасывание всех высших степеней), любая функция в инфинитезимальной окрестности изменяется линейно (отсюда приближение кривых отрезками в малых областях, или разных физических процессов линейными в "инфинитезимальном" интервале времени), которые очень неплохо имитируют соответствующую физическую интуицию для работы с бесконечно малыми величинами.

[Munin]

Dragon27
Я не понимаю, а из стандартных учебников матанализа бесконечно малые величины куда-то делись?

[Dragon27]

Munin
В стандартном анализе бесконечно малые анализируются как последовательности, а не как особые величины.

[wrest]

upgrade в сообщении #1338273 писал(а):

Раньше я понимал производную как отношение приращений функции и аргумента при устремлении приращения аргумента к нулю, т.е. скорость изменения функции в точке и всегда исходил из этого понимания, чуть позднее - как тангенс угла наклона в выбранной с.о. (т.к. отношение приращений - это катет разделить на катет), с момента прочтений той темы у меня сложилось впечатление, что ни то ни другое полностью не дает понимания производной.

Ну почему же, и то и другое верно. Та тема была больше о дифференциалах...
В простых случаях, когда $f(x)-y=0$ (например $y=\sin x;y'_x=\cos x$) то есть функция задана явно, производная считается по [данной свыше великими математиками прошлого] таблице производных и правилам (суммы, произведения и т.п.). В немного более сложных случаях когда $f(g(x))-y=0$ (например $y=\sin (x^2);y'_x=2x \cos(x^2)$ применяются формулы взятия производной для сложной функции. На следующем "этаже" -- производные неявно заданной функции, когда $f(x,y)=0$ -- там тоже свои правила (взятия производной от $y$ по $x$ или наоборот, например: $\sin(xy)-y^2=0; y'_x=\frac{y \cos(xy)}{2y-x \cos (xy)}$), на еще следующем этаже -- параметрически заданные функции (как вам предложил Munin)...
Но если у функции есть такой график, что к нему можно провести касательную в какой-то точке принадлежащей графику, то тангенс угла наклона этой касательной к оси $x$ будет равен производной $y'_x$ а тангенс угла наклона к оси $y$ -- производной $x'_y$ (в соответствующей точке). В этой же точке будет сохраняться и $y'_x=\lim \limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

[realeugene]

upgrade в сообщении #1337844 писал(а):

Не уловил, каким образом пришли к выводу что эти слагаемые - векторы, направление которых не совпадает с $\overrightarrow{\tau}$.

Первый компонент - совпадает, с точностью до обращения направления. Второй компонент ортогонален, так как $0=\frac{d 1}{dt}=\frac{d (\vec\tau, \vec\tau)}{dt}=\left(\frac{d \vec\tau}{dt}, \vec\tau\right) + \left(\vec\tau, \frac{d \vec\tau}{dt}\right) = 2 \left(\frac{d \vec\tau}{dt}, \vec\tau\right)$.

[EUgeneUS]

wrest в сообщении #1338306 писал(а):

функция задана явно, производная считается по [данной свыше великими математиками прошлого] таблице производных и правилам (суммы, произведения и т.п.). В немного более сложных случаях когда $f(g(x))-y=0$ (например $y=\sin (x^2);y'_x=2x \cos(x^2)$ применяются формулы взятия производной для сложной функции.

Отдельно нужно сказать, что никакой таблицы производных и правил, которые даны свыше великими математиками прошлого, не существует.
Вся эта таблица и все правила дифференцирования, включая правило для сложной функции выводятся из определения производной. И это должен сделать самостоятельно каждый студиозус.

[upgrade]

realeugene в сообщении #1338310 писал(а):

Первый компонент - совпадает, с точностью до обращения направления.

Полное ускорение - векторная сумма тангенциального и нормального. Совпадать с тангенциальным оно может если нормальное равно нулю. Значит полное не совпадает с тангенциальным, если нормальное не нулевое.
Тангенциальное задается как произведение единичного вектора на скаляр.
Вопрос - направление единичного вектора совпадает с направлением полного ускорения или нет?

[realeugene]

upgrade в сообщении #1338317 писал(а):

Вопрос - направление единичного вектора совпадает с направлением полного ускорения или нет?

Совпадают ли в прямоугольном треугольнике направления гипотенузы и катета?

[wrest]

upgrade в сообщении #1338317 писал(а):

Вопрос - направление единичного вектора совпадает с направлением полного ускорения или нет?

Нет, не совпадет, если нормальное ускорение не равно нулю. Да, совпадет с точностью до знака, если нормальное ускорение равно нулю. Вы же это и писали, и это верно. Потому что это "единичный вектор" именно так и определяется, что он совпадет по направлению с направлением вектора скорости, поскольку скорость это производная от пути, а производная в какой-то точке это тангенс угла касательной прямой...
Вы тут буквально в двух соснах все это время путаетесь...

-- 12.09.2018, 13:33 --

(EUgeneUS)

EUgeneUS в сообщении #1338314 писал(а):

Вся эта таблица и все правила дифференцирования, включая правило для сложной функции выводятся из определения производной. И это должен сделать самостоятельно каждый студиозус.

Ну может не всю таблицу... Да, мы ж пробовали с upgrade-ом уже степенную функцию: post1328936.html#p1328936 и идёт довольно туго, проще по таблице

[arseniiv]

(Оффтоп)

По-моему, тут интересный вопрос — это то, что можно представить размерный вектор как произведение безразмерного вектора и размерного скаляра. Это самую малость нетривиально. Но это точно оффтоп.

[upgrade]

wrest в сообщении #1338319 писал(а):

Нет, не совпадет, если нормальное ускорение не равно нулю.

Замечательно.
$\vec{a} = \alpha \vec{b} + \vec{c}=\frac{d\vec{v}}{dt}$
Эта $\vec{v}$- полная скорость? Ее направление совпадает с полным ускорением с точностью до знака? У нее размерность - метры на секунды (расстояние на время)?

[arseniiv]

upgrade в сообщении #1338323 писал(а):

Эта $\vec{v}$- полная скорость? Ее направление совпадает с полным ускорением с точностью до знака?

Соответственно да и почти никогда.

Направление со скоростью совпадает у тангенциальной компоненты ускорения. Вы же вроде согласились уже на первой странице.

-- Ср сен 12, 2018 15:49:09 --

Кстати, а почему скорость полная? Есть ещё какая-то?

[wrest]

upgrade в сообщении #1338323 писал(а):

Эта $\vec{v}$- полная скорость? Ее направление совпадает с полным ускорением с точностью до знака?

Да, совпадает, если ускорение не равно нулю, при том, что нормальная составляющая ускорения равна нулю. Когда совпадает, это называется "ускоренное прямолинейное движение". Когда не совпадает, называется "криволинейное движение".

upgrade в сообщении #1338323 писал(а):

У нее размерность - метры на секунды (расстояние на время)?

Конечно, ведь это скорость.

Есть ещё такая штука... Векторы скоростей "живут" в своём отдельном пространстве, а радиус-векторы точек - в своём. А векторы ускорений - в своём. Направления вектора скорости и ускорения сравнить можно, а вот величины (длины векторов) -- нет, потому что они разной размерности.