Что такое f(x)

[bot]

Olivka в сообщении #1051833 писал(а):

А что такое обратная зависимость?

Грубо говоря, это восстановление аргумента по значению, если это возможно, то есть отображение
$f(x)\rightarrow x.$

[Olivka]

bot в сообщении #1051839 писал(а):

Можно, если функция обозначена буквой $x$. а аргумент буквой $f$.

А если просто речь об обратной зависимости? Вроде никто не запрещает ввести новые обозначения. Но буква $x$ уже занята под произвольный аргумент.
provincialka, да я понимаю.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1051844 писал(а):

проблема бывает в том, что вчерашние школьники не могут отделить этот "икс" от функции.

Ну, это ИХ проблема. Если некто изъявил желание получить высшее образование, не имея при этом необходимых для обучения простейших навыков и умений, то это запросто решается отчислением.

[Oleg Zubelevich]

Olivka в сообщении #1051833 писал(а):

Oleg Zubelevich, Вы что же, удаляете свои сообщения?

да, удаляю, частенько. но специально для вас могу восстановить

demolishka в сообщении #1051824 писал(а):

лось видеть записи типа $f(x) \in L^2[a;b]$. Подозреваю, что где-то существуют и такие: $f_n(x) \rightrightarrows f(x)$. Причем очень часто этот $x$ упоминается там, где это вообще не нужно, как будто символ $f$ не может существовать без $x$. Всё это вызывает недопонимание и только запутывает начинающего читателя.

это значит ,что данному начинающему вообще начинать не следует, а надо заняться чем-нибудь другим

[arseniiv]

Dmitriy40 в сообщении #1051780 писал(а):

Вроде бы функции в школе вводятся сильно раньше понятий отображения

Так это же одно и то же.

stef в сообщении #1051775 писал(а):

Можно было бы написать так: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}; x \mapsto ax^2+bx+c$.

Dmitriy40 в сообщении #1051780 писал(а):

(впрочем я и сам плохо понимаю такую запись)

$\mapsto$ говорит, какие аргументы куда отображаются. Если про функцию $f\colon A\to\ldots$ написано, что $v\mapsto e$, то это означает ровно $f = \{(v, e) : v\in A\}$. Если вы знакомы с λ-исчислением, то $\mapsto$ имеет ровно тот же смысл, что λ-абстракция $\lambda v.\,e$, просто записано более привычно. Т. е., в принципе, можно писать $f\mathrel{\color{red}=}v\mapsto e$, хотя, если нельзя восстановить её domain и codomain, такая запись некорректна (но обычно восстановить можно); или писать $((x\mapsto x^2)\circ\sin)(t) = \sin^2 t$ и т. п..

Я лично проблему $f\leftrightarrow f(x)$ такой надуманной не считаю, но у самого руки тянутся написать «функцию $f(\ldots) = \ldots$», если ясно, от чего она и куда. В некоторых же местах неуместный список аргументов действительно приписывают одному Диэдру известно зачем, а не ради желания сократить длинное «функцию $f$ [$\colon \ldots\to\ldots$], [такую что] $f(\ldots) = \ldots$». Наподобие лишних аргументов я также встречал лишние индексы (не будем тут говорить, в каких ужасных сочетаниях), что приводит к мысли о недостатке редактирования. Ну, со всеми бывает, но это не значит, что ситуация идеальная, и улучшать её некуда. (Читатели тоже, конечно, должны быть внимательными, но винить их сразу во всём неразумно.)

Кстати, сейчас появляется тенденция называть множество функций из $A$ в $B$ просто $A\to B$, несмотря на то что аналогию с возведением в степень у $B^A$ никто не отберёт. В таком случае появляются записи $f\mathrel{\color{red}\in}A\to B$, что может читателей запутать ещё пуще. (Но лично я не против видоизменения традиционной записи в чуть более логичную.)

[Someone]

demolishka в сообщении #1051824 писал(а):

Подозреваю, что где-то существуют и такие: $f_n(x) \rightrightarrows f(x)$.

Существуют. Например, для обозначения равномерной сходимости последовательности функций.

Olivka в сообщении #1051772 писал(а):

Вопрос о том, как правильно.

А как договоримся писать, так и будет правильно. Но есть некоторые общепринятые формы записи, которых желательно придерживаться, чтобы не было необходимости постоянно объяснять, о чём идёт речь. Причём, в разных областях математики они могут различаться.

[Munin]

provincialka в сообщении #1051832 писал(а):

Ну, конечно, $\sin$ -- это функция, а $\sin(x)$ -- ее значение в точке $x$.

Если $x$ к этому моменту связанная переменная, а если свободная?

provincialka в сообщении #1051832 писал(а):

Как, например, записать функцию $x^3$ без икса?

Например, $(\$ 1)^3.$ Или $(\_\!1)^3$? Не знаю, как более принято.

P. S. Ой, простите, я вас с arseniiv перепутал...

Кстати, а $\sin(x)$ и $\sin(z)$ - это одна и та же функция, или нет?

[tolstopuz]

Munin в сообщении #1051891 писал(а):

Кстати, а $\sin(x)$ и $\sin(z)$ - это одна и та же функция, или нет?

Нет, $z$ комплексное! :)

[Munin]

Ну вот видите! Не всегда можно безболезненно откинуть аргумент у синуса :-)

[provincialka]

Brukvalub
Может, не стоит быть таким категоричным. С одной стороны, слушать математику приходится самым разным специальностям, включая гуманитарные. А с другой -- тот уровень абстракции, который позволяет представлять "функцию" как нечто единое, не связанное с "формулой" вырабатывается не сразу и не у всех в одно время.

Помнится, мы на городской олимпиаде давали задачу:

Пусть $c(a+b+c) < 0$. Доказать, что уравнение $ax^2 + bx + c =0$ имеет хотя бы один корень.

Участники применяли разные методы, но до "естественного" решения с функцией не додумался ни один!

[Brukvalub]

provincialka в сообщении #1051908 писал(а):

Помнится, мы на городской олимпиаде давали задачу:
Пусть $c(a+b+c) < 0$. Доказать, что уравнение $ax^2 + bx + c =0$ имеет хотя бы один корень.

Так очевидно же, что $f(0)$ и $f(1)$ имеют разные знаки!

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1051891 писал(а):

P. S. Ой, простите, я вас с arseniiv перепутал...

Munin в сообщении #1051891 писал(а):

Например, $(\$ 1)^3.$ Или $[(\_\!1)^3$? Не знаю, как более принято.

Да вроде ещё более принята точка. Например, про скалярное произведение встречалось «функция $\langle\cdot,\cdot\rangle\colon V^2\to F$». Правда, она маленькая и во многих случаях не подойдёт. Например, в случае «рассмотрим бинарную операцию $(u,v)\mapsto uv$».

Кстати, при сильной надобности можно даже писать что-то типа $(x\in\mathbb C)\mapsto x^2$ или $(x\colon\mathbb C, y\colon\mathbb D)\mapsto xy$.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1051913 писал(а):

Да вроде ещё более принята точка.

Точка не нумерует аргументы. Впрочем, $(\cdot_1)^3.$

Хотя это я педантствую. Нумерация не всегда нужна. Если точек столько же, сколько аргументов (или меньше), и встречаются они строго в том же порядке, то можно номера опустить.

arseniiv в сообщении #1051913 писал(а):

Кстати, при сильной надобности можно даже писать что-то типа $(x\in\mathbb C)\mapsto x^2$ или $(x\colon\mathbb C, y\colon\mathbb D)\mapsto xy$.

Я против варианта $(x\in\mathbb C)\mapsto x^2,$ потому что $(x\in\mathbb C)$ - булевский предикат от $x.$

[arseniiv]

Munin в сообщении #1051917 писал(а):

Я против варианта $(x\in\mathbb C)\mapsto x^2,$ потому что $(x\in\mathbb C)$ - булевский предикат от $x.$

Ага! Вот вы и попались как я. А на самом деле люди уже давно так сокращают «$x$ такой что $P(x)$», записывая просто «$P(x)$» так, чтобы $x$ был, скажем, слева в терме, или как-то по-другому, чтобы было понятно, что он — тема. «Функция $f(x) = \ldots$» под это тоже подпадает. Хотя с двоеточием и мне комфортнее.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1051931 писал(а):

А на самом деле люди уже давно так сокращают

Я верю, что сокращают. Я не верю, что вам такое нравится :-)