Параллельный перенос вдоль пути на поверхности

[epros]

Oleg Zubelevich в сообщении #1026965 писал(а):

Естественно предположить, что множество решений этой системы (в лучшем случае) одномерно в каждой точке $x$ т.е. общее решение записывается в виде $g_{ij}=\lambda(x)g'_{ij},$ где $g'_{ij}$ -- метрика, найденная из системы (*)

Это ни на чём не основано. К тому же слова "метрика, найденная из системы (*)" не имеют смысла, ибо из данной системы может находиться не единственная метрика.

На самом деле, в случае двумерного пространства задачу можно считать решённой. Необходимое и достаточное условие метризуемости вот:

$$\boxed{R^i_{s 0 1}R^s_{j 0 1} = -a^2 \cdot \delta^i_j}$$

(во всей рассматриваемой области, $a$ -- произвольное скалярное поле). Далее найти конкретную согласованную со связностью метрику -- дело техники.

К сожалению, в более чем двумерном случае задача не просто усложняется, а становится на порядок сложнее. То бишь, к проверке $\frac{n (n-1)}{2}$ аналогичных условий она не сводится.

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #1026970 писал(а):

е имеют смысла, ибо из данной системы может находиться не единственная метрика.

так там именно это и написано

epros в сообщении #1026970 писал(а):

одимое и достаточное условие метризуемости вот:

$$\boxed{R^i_{s 0 1}R^s_{j 0 1} = -a^2 \cdot \delta^i_j}$$

Справа двухвалентный тензор, слева -- непойми что. Весело.

[Утундрий]

По $s$ суммирование...

А необходимое и достаточное уже раз десять привели, наверное. Но не смотря на это старушки всё падают и падают.

[Oleg Zubelevich]

еще раз по слогам, для особо продвинутых. вот это: $\{R^i_{jkn}\},\quad i,j,k,n=1,...m$ -- тензор, а это $\{R^i_{j12}\},\quad i,j=1,...m$ -- не тензор

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1026994 писал(а):

Справа двухвалентный тензор, слева -- непойми что. Весело.

Ну допишите там двумерное $\epsilon_{kl}$ по вкусу, станет понятней.

[Oleg Zubelevich]

Ну вот и допишите сами, посмотрим, станет понятней или нет. Пока понятно, что левая часть формулы преобразуется при замене координат по одному закону, а правая по другому.


Кроме того,

epros в сообщении #1026970 писал(а):

т:

$$\boxed{R^i_{s 0 1}R^s_{j 0 1} = -a^2 \cdot \delta^i_j}$$

(во всей рассматриваемой области, $a$ -- произвольное скалярное поле).

это как понимать? перед $a$ стоит квантор всеобщности? для любого скалярного поля формула верна?

-- Вс июн 14, 2015 18:31:38 --

я еще вот это хочу понять:

epros в сообщении #1022347 писал(а):

Постановка тривиальна, понимать там нечего: Вопрос о существовании согласованной со связностью метрики. Просто Вы не поняли, что условие

$$g_{lj}R^l{}_{imk}+g_{il}R^l{}_{jmk}=0$$

эквивалентно утверждению о том, что метрика $g_{ik}$ согласована со связностью.

и одновременно

epros в сообщении #1026970 писал(а):

К сожалению, в более чем двумерном случае задача не просто усложняется, а становится на порядок сложнее. То бишь, к проверке $\frac{n (n-1)}{2}$ аналогичных условий она не сводится.

то задача "тривиальна", то "становится на порядок сложнее", каждый раз условия разные, доказательств нет. совсем заврался.

[Утундрий]

Может пора оживить дискуссию упоминанием - зачем вообще такая постановка нужна? Мне вот как-то совсем не улыбается стартовать с гамм и только ими ограничиваться. Короче, накой это всё?

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1027059 писал(а):

Ну вот и допишите сами, посмотрим, станет понятней или нет.

Цитата:

$$R^i_{skl}R^s_{jmn} = -a^2 \cdot \delta^i_j\varepsilon_{kl}\varepsilon_{mn},\qquad i,j,k,l,m,n,s=0,\ldots,1$$

Теперь ваша душенька довольна?

----------------

В общем, мне в разговоре непонятно одно место. То произносится вслух:

epros в сообщении #1026541 писал(а):

Не при любых, а только при некоторых значениях $g_{ij}$.

epros в сообщении #1026753 писал(а):

Очевидно, что условие:

espe в сообщении #1026738 писал(а):

Если равенство (5*) должно выполняться для произвольного $g_A$

-- слишком сильное...

то внезапно все вокруг продолжают разговор, как будто этого ключевого замечания не было.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1027108 писал(а):

Цитата:

$$R^i_{skl}R^s_{jmn} = -a^2 \cdot \delta^i_j\varepsilon_{kl}\varepsilon_{mn},\qquad i,j,k,l,m,n,s=0,\ldots,1$$

Теперь ваша душенька довольна?

теперь у нас слева тензор, справа псевдотензор так?

[Утундрий]

Ньетъ, нье такх. Дважды эпсилон - истинный тензор.

[Munin]

Там два псевдотензора, "псевдо-" в квадрате даёт истинный тензор.

(Оффтоп)

Чукчу не обманешь...

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1027144 писал(а):

ам два псевдотензора, "псевдо-" в квадрате даёт истинный тензор.

а это смотря какое "псевдо".
в данном случае закон преобразования таков:



поэтому ваше "псевдо в квадрате" приведет только к появлению квадрата определителя замены координат. Веса псевдотензоров при тензорном произведении складываются. $\epsilon_{ik}\epsilon_{jn}$ это псевдотензор веса -2

[Munin]

Ну добавьте ещё $\operatorname{vol}_n=\sqrt{|g|}$ в нужной степени (я не знаю, в какой, потому что не знаю веса слева...). Я же сказал, "добавить по вкусу".

Вы что, в омлет никогда соли по вкусу не добавляли?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #1027158 писал(а):

Ну добавьте ещё $\operatorname{vol}_n=\sqrt{|g|}$ в нужной степени (я не знаю, в какой, потому что не знаю веса слева...). Я же сказал, "добавить по вкусу".

теперь выясняется, что формула зависит от какой-то левой метрики, которую каждый вводит по вкусу

[lek]

Внесу свои две копейки в обсуждение... Даже в том частном случае, когда известна одна (согласованная с симметричной связностью) риманова метрика, задача нахождения других согласованных с этой связностью римановых метрик совсем не тривиальна. Решение этой задачи представлено здесь, где найдены необходимые и достаточные условия согласования, а также алгоритм построения метрик. В случае произвольной симметричной связности задача существенно усложняется и поэтому решить ее методами обычного тензорного анализа (который используется в этой ветке) весьма проблематично, имхо.