Матрицы Паули

[Sicker]

lek
ну спинор это двухмерный комплексный вектор с группой преобразования $SU(2)$

[Munin]

Sicker в сообщении #970411 писал(а):

Но вращения вокруг оси это только частный случай

Да, но все вращения так или иначе разбиваются на эти классы, а вращения - представители этих классов.

Чтобы это понять, надо представить себе всё-таки сферу и полусферу, и пути на них.

[lek]

Верно, элемент пространства $\mathbb{C}^{2}$. А вектор - элемент пространства $\mathbb{R}^{3}$, на котором действует группа $SO(3)$. И эти два пространства при гомоморфизме $SU(2)\to SO(3)$ не меняются. Поэтому утверждать, что деформация спинорного пространства влечет групповой гомоморфизм нельзя.

[Sicker]

Munin
причем тут вращения, ведь преобразование получается путем интегрирования угловых скоростей
а что там со сферой и полусферой?

-- 29.01.2015, 16:32 --

lek в сообщении #970563 писал(а):

И эти два пространства при гомоморфизме $SU(2)\to SO(3)$ не меняются.

никакого гомоморфизма нет, тк не взаимная однозначность между группами
гомоморфизм будет когда отожествляем противоположные спиноры

[arseniiv]

Sicker в сообщении #970572 писал(а):

никакого гомоморфизма нет, тк не взаимная однозначность между группами

Гомоморфизм — не обязательно изоморфизм.

[Sicker]

аа точно

-- 29.01.2015, 16:41 --

lek
ну а как же то что все пути будут принадлежать одному классу эквивалентности?

[lek]

Sicker в сообщении #970578 писал(а):

ну а как же то что все пути будут принадлежать одному классу эквивалентности?

Это предложение нуждается в расшифровке. О каких путях и классах эквивалентности идет речь?

[Sicker]

lek в сообщении #970590 писал(а):

Это предложение нуждается в расшифровке. О каких путях и классах эквивалентности идет речь?

Цитата:

А если скажем у нас есть прямоугольная система координат $x,y,z$и мы рассмотрим какой-то спинор (выбор проекции на ось $z$ стандартен), и теперь рассмотрим другую прямоугольную(ортогональную) систему координат $x',y',z'$, повернутую относительно исходной, то как будет выглядеть класс эквивалентности непрерывных путей перенесений нашей исходной СК в штрихованную, чтобы спинор был после всех путей одинаковый(а не поменял знак)?
(просто хочется проверить групповые свойства)

[lek]

Указанная система координат задана в евклидовом (векторном) пространстве $\mathbb{R}^{3}$, а спинор (как вы сами правильно заметили) - элемент $\mathbb{C}^{2}$. Это два разных пространства. Поэтому ваш вопрос будет иметь смысл только при указании соответствия между этими двумя пространствами. Так например, имеется взаимно однозначное соответствие между направлениями (множество векторов вида $\mathbb{R}_{+}v=\{\alpha v\mid\alpha>0\}$, где $v$ - ненулевой вектор) в $\mathbb{R}^{3}$ и разложениями $\mathbb{C}^2$ в прямую сумму одномерных подпространств $\mathbb{C}^2_{+}\oplus\mathbb{C}^2_{-}$. Будем считать, что выбранный спинор $\psi\in\mathbb{C}^2_{+}$. Поскольку ортогональное дополнение $\mathbb{C}^2_{-}$ с выбором $\psi$ определяется однозначно, этот спинор должен меняться при любом (ненулевом) повороте в $\mathbb{R}^3$. Следовательно вашему условию удовлетворяет лишь тривиальное преобразование $\mathbb{R}^3$.

[Munin]

Sicker в сообщении #970572 писал(а):

причем тут вращения, ведь преобразование получается путем интегрирования угловых скоростей

Движение по обычному трёхмерному пространству тоже получается путём интегрирования линейной скорости. Но всё равно складывается в путь - в путь по трёхмерному пространству.

Sicker в сообщении #970572 писал(а):

а что там со сферой и полусферой?

Я же это вам давно уже сказал: пространство вращений $\mathrm{SO}(3)$ есть полусфера (3-мерная), а пространство группы $\mathrm{SU}(2)$ ("спинорных вращений") есть сфера, которая дважды накрывает эту полусферу.

Update: опечатка исправлена.

[Sicker]

Munin в сообщении #970662 писал(а):

Я же это вам давно уже сказал: пространство вращений $\mathrm{SO}(3)$ есть полусфера (3-мерная), а пространство группы $\mathrm{SU}(3)$ ("спинорных вращений") есть сфера, которая дважды накрывает эту полусферу.

ясно, интересно, а как это доказать?

[Munin]

a - северный полюс сферы, соответствует повороту на 0°;
b - экватор сферы, соответствует повороту на 180°: таких поворотов много, столько же, сколько осей, и сколько точек на экваторе;
c - различные пути вращений, в конечном счёте возвращающиеся назад, к повороту на 0°;
d - путь вращения, в конечном счёте заканчивающийся поворотом на 360°, на южном полюсе сферы.

Заметьте, что пути "c" пересекают экватор 0 или 2 раза, и вообще говоря, чётное число раз. Путь "d" пересекает экватор 1 раз, и вообще говоря, нечётное число раз.

-- 29.01.2015 19:05:59 --

Sicker в сообщении #970680 писал(а):

ясно, интересно, а как это доказать?

Вы уже выписали явно точки этих сфер в виде своих экспонент.

[Sicker]

А вот, эта сфера трехмерная же ведь? Но вот у одномерной и двумерной сферы за полный обход по геодезической точка проходит путь $2\pi$, а в трехмерной получается $4\pi$?

[Red_Herring]

не по делу было :(

[Munin]

Sicker в сообщении #970702 писал(а):

А вот, эта сфера трехмерная же ведь?

Да, я её нарисовал двумерной только для наглядности.

Sicker в сообщении #970702 писал(а):

Но вот у одномерной и двумерной сферы за полный обход по геодезической точка проходит путь $2\pi$, а в трехмерной получается $4\pi$?

Углы по этой сфере - это не то же самое, что углы в пространственном вращении. Они в два раза меньше. Именно это вы увидите, если сравните две свои формулы с экспонентами. В экспоненте для матриц 3-мерных вращений стоит угол $\varphi$ - угол поворота в пространстве. В экспоненте для вращений спиноров стоит угол $\varphi/2.$