Матрицы Паули

[Утундрий]

След квадрата матрицы смотрит на эту формулу с недоумением...

[Sicker]

Короче надо было просто в ряд разложить, а то все диффура да диффура
(я просто не знал что $A^3=-A$)

-- 27.01.2015, 18:27 --

Утундрий
Да нормальная формула, все работает

-- 27.01.2015, 18:30 --

у меня кстати не получается $A^3=-A$
тока щас посчитал

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #969408 писал(а):

(я просто не знал что $A^3=-A$)

Речь идет о $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ с $A^2=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1 &0\\0&0&0\end{pmatrix}$

Sicker в сообщении #969408 писал(а):

то все диффура да диффура

А надо знать и ряды, и диффуры, да еще и представление в виде комплексного интеграла.

[Sicker]

Red_Herring
ааа, те это матрица поворота на единичный бесконечно малый угол)

-- 27.01.2015, 18:50 --

а я имел ввиду $A=\begin{pmatrix}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\end{pmatrix}$ с $a^2+b^2+c^2=1$

[Munin]

Похоже на правду.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #969443 писал(а):

единичный бесконечно малый угол

Таки единичный или бесконечно малый? Или Вы имеете в виду что если $A$ генератор группы вращений, то за время $1$ поворот будет на $1$?

[Sicker]

Red_Herring
да, второе)

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #969443 писал(а):

а я имел ввиду $A=\begin{pmatrix}0&-c&b\\c&0&-a\\-b&a&0\end{pmatrix}$

Но ведь это то же самое (просто в другом базисе)

[Sicker]

ну да

[мат-ламер]

Ну в крайнем случае, если ничего не получается, то может загнать матрицу в компьютер? Или это будет неправильным подходом?

[arseniiv]

Загнать никогда не мешает, но надо ведь суметь сделать вывод из того, что компьютер насчитал. Например: «ага определитель у последовательности матриц не растёт» или «ага, стоит её преобразовать так-то, и получится искомое» (это я от балды, безотносительно контекста). Вычислительные мощности — очень хорошо для генерации идей и гипотез о данных, но доказательства они дают уже не при любом использовании.

[Sicker]

мат-ламер
да дык, аналитика нужна

[Munin]

мат-ламер в сообщении #969531 писал(а):

Ну в крайнем случае, если ничего не получается, то может загнать матрицу в компьютер? Или это будет неправильным подходом?

Во-первых, только совершенный лентяй может такую простую задачу считать на компьютере.

А во-вторых, проблема в том, что компьютер-то вам что-то выдаст - вот только не то. И вы ещё семь потов прольёте, доводя этот ответ до того вида, который не стыдно показать. Так что выигрыша по трудоёмкости нет.

-- 27.01.2015 21:14:56 --

Sicker
Да дык, аналитические вычисления и подразумеваются.

[Sicker]

Munin
А если скажем у нас есть прямоугольная система координат $x,y,z$и мы рассмотрим какой-то спинор (выбор проекции на ось $z$ стандартен), и теперь рассмотрим другую прямоугольную(ортогональную) систему координат $x',y',z'$, повернутую относительно исходной, то как будет выглядеть класс эквивалентности непрерывных путей перенесений нашей исходной СК в штрихованную, чтобы спинор был после всех путей одинаковый(а не поменял знак)?
(просто хочется проверить групповые свойства)

[Padawan]

Еще один способ вычисления функции от матриц. Для простоты предположим, что все собственные числа различны: $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Тогда для любой функции $f(z)$, аналитической в окрестности спектра матрица $A$, будет выполнено

$$ f(A)=f(\lambda_1)Z_1+\ldots+f(\lambda_n)Z_n $$

где $Z_1,\ldots, Z_n$ -- некоторые фиксированные матрицы (одни и те же для любой функции $f(z)$), называемые компонентами матрицы $A$. Подставляя конкретные функции, например, $f(z)=1$, $f(z)=z$, $f(z)=z^2$ и т.д., получим систему линейных уравнений для $Z_1,\ldots, Z_n$, откуда их можно найти.

Например, в рассматриваемом случае у нас три собственных значения $0, i\omega, -i\omega$, где $\omega=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Следовательно

$$ f(A)=f(0)Z_1+f(i\omega)Z_2+f(-i\omega)Z_3 $$

При $f(z)=1$ получаем уравнение $I=Z_1+Z_2+Z_3$. При $f(z)=z$ получаем уравнение $A=i\omega Z_1-i\omega Z_2$. При $f(z)=z^2$ получаем уравнение $A^2=-\omega^2Z_1-\omega^2Z_2$. Из этих уравнений находим $Z_1,Z_2,Z_3$, и $e^{At}=Z_1+e^{i\omega t}Z_2+e^{-i\omega t}Z_3$.