Вычислить степень матрицы

[Munin]

fronnya в сообщении #884562 писал(а):

Да, я только вот собрался писать это. $M^n=AB^{n}C$

Задача решена.

Но вот свойство, о котором говорил Red_Herring, весьма важное, и о нём стоит помнить о самом по себе.

[fronnya]

Munin в сообщении #884566 писал(а):

fronnya в сообщении #884562 писал(а):

Да, я только вот собрался писать это. $M^n=AB^{n}C$

Задача решена.

То есть
$M^{10}= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 5 & 7\end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} 3^{10}& 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} $$\cdot \begin{pmatrix} 7 & -4\\ -5 & 3\end{pmatrix}$ нужно посчитать непосредственно?

[nnosipov]

Nemiroff в сообщении #884563 писал(а):

Я же явно про общий случай спрашиваю, и Red_Herring писал про общий.

Да понятно, что про общий. Но эту мега-тему здесь не раз уже обсуждали. Непонятно, что может дать ещё одно обсуждение.

[fronnya]

fronnya в сообщении #884571 писал(а):

То есть
$M^{10}= \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 5 & 7\end{pmatrix}$ $\cdot \begin{pmatrix} 3^{10}& 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} $$\cdot \begin{pmatrix} 7 & -4\\ -5 & 3\end{pmatrix}$ нужно посчитать непосредственно?

А, ну да, это лекго, спасибо!

[Nemiroff]

nnosipov в сообщении #884572 писал(а):

Но эту мега-тему здесь не раз уже обсуждали.

Я спросил у ТС, умеет ли он это доказывать, известно ли это ему как факт, или же он это может только посчитать для конкретных матриц.

nnosipov в сообщении #884572 писал(а):

Непонятно, что может дать ещё одно обсуждение.

Ну и не мешайте.

[fronnya]

Nemiroff в сообщении #884575 писал(а):

nnosipov в сообщении #884572 писал(а):

Но эту мега-тему здесь не раз уже обсуждали.

Я спросил у ТС, умеет ли он это доказывать.

нет, не умею

[nnosipov]

Nemiroff в сообщении #884575 писал(а):

Ну и не мешайте.

Это просьба или приказ?

[Nemiroff]

fronnya в сообщении #884576 писал(а):

нет, не умею

topic62081.html

[Red_Herring]

(Оффтоп)

У семи нянек дитя без глазу. Особенно, когда эти няньки "разбираются" друг с другом.

[Munin]

(Оффтоп)

"Разбираться" почему-то стал только nnosipov. До этого всё было нормально и по рельсам.

[nnosipov]

Munin в сообщении #884587 писал(а):

(Оффтоп)

"Разбираться" почему-то стал только nnosipov. До этого всё было нормально и по рельсам.

(Оффтоп)

Вам явно заняться нечем. Решили присоединиться к вымышленным "разборкам"? Валяйте.

[fronnya]

(Оффтоп)

Это я во всей этой ругани виноват, потому что я создал тему

[Munin]

fronnya
А если бы там посередине была не диагональная матрица, а какая-то ещё из разобранных вами в предыдущей теме, вы бы могли решить?

-- 06.07.2014 19:58:15 --

Среди всевозможных матриц, есть пара типов матриц, для которых считать $n$-е степени особенно легко и удобно. Это ортогональные и симметрические матрицы. Их определение можно дать через понятие транспонирования - это "отражение" матрицы вокруг главной диагонали, перемена мест элементов $a_{ij}$ и $a_{ji}.$ Если обозначить транспонирование как $M^\mathrm{T},$ то симметрическая матрица после транспонирования равна самой себе: $S^\mathrm{T}=S,$ то есть она просто "симметрична" относительно главной диагонали; а ортогональная матрица после транспонирования становится собственной обратной: $O^\mathrm{T}O=1.$ Это уже сложнее себе представить, это не так очевидно проявляется в элементах матрицы.

Чтобы понять смысл понятий ортогональной и симметрической матрицы, потребуется геометрический смысл матрицы. Геометрических смыслов можно для матриц назвать несколько, но один из главных - это линейное преобразование пространства, или как ещё иногда говорят, линейный оператор. Если у нас есть матрица $M,$ то говорят, что она совершает преобразование (слева) над пространством векторов, если каждый вектор $v$ переходит в вектор $v'=Mv$ - здесь вектор записывается как столбец. Оказывается, матрицами можно описать любые преобразования пространства, которые сохраняют линии линиями, и оставляют на месте выделенную точку - начало координат. Например, это: растяжение или сжатие вдоль какого-то направления, поворот, отражение, "перекос" (сдвиг), превращающий прямоугольники в параллелограммы. Есть и такие преобразования, как проекция пространства на плоскость, плоскости - на прямую, прямой - в точку. И точно так же, как умножение матриц даёт матрицу, последовательные линейные преобразования пространства (композиция преобразований) тоже даёт линейное преобразование.

Так вот. Симметрическая матрица подобна диагональной, в том смысле, что она проделывает независимые растяжения или сжатия вдоль нескольких перпендикулярных направлений. Просто эти направления могут быть невыровнены по осям координат. $n$-я степень означает просто растяжение в $k^n$ раз.

А ортогональная матрица осуществляет чистый поворот, без каких-либо искажений формы. Она содержит в себе направление и угол поворота. Очевидно, что можно проделать точно такой же поворот на $n$-кратный угол.

[Munin]

fronnya
Вот меня заинтересовало... извините, что сбиваю вас с прямого пути освоения матричных премудростей... Вот если вы сейчас перечитаете сообщения, которые вы уже читали, post609492.html#p609492 и post867123.html#p867123 , то может быть, лучше их поймёте? Может быть даже, увидите что-то знакомое? :-)

[fronnya]

Munin, вот начиная с линейного оператора я ничего не понял..