2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 00:21 


09/09/12
7
Существуют ли две квадратные матрицы такие, что $AB=E$, но $BA\neq E$? То есть в определении обратной матрицы не лишне ли одно из двух равенств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 00:32 


22/05/09

685
Наверное, такие матрицы существуют в силу некоммутативности умножения матриц (не уверен), но в таком случае матрица B не является обратной к матрице А.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 01:32 


09/09/12
7
Mitrius_Math в сообщении #616472 писал(а):
Наверное, такие матрицы существуют в силу некоммутативности умножения матриц (не уверен), но в таком случае матрица B не является обратной к матрице А.



Да, но тут играет значение, что произведение $AB$ именно равно единичной матрице, тогда из этого следует, что они коммутируют. Вопрос верно ли это и как доказать этот факт. И важно что матрицы над полем действительных чисел

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 01:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3873
МФТИ ФУПМ
Для конечных матриц хватит определения в одну сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 03:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60290
Пусть $AB=E.$

Квадратные матрицы - это линейные функции из векторного пространства в него самого. А произведение матриц даёт композицию функций.

Рассмотрим базис этого пространства. Функция $B$ переводит его в линейно-независимую систему векторов, потому что если какой-то вектор будет переведён $B$ в линейно-зависимый от других, то это и дальше сохранится (по линейности), и $AB$ тоже переведёт его в линейно-зависимый от других. Размерность целевого пространства функции $B$ та же, что и у исходного, так что функция $B$ переводит базис тоже в базис (вот в этом месте используется конечномерность пространства). Скажем, базис $\varepsilon$ в базис $\beta.$

Поскольку $AB$ - тождественная функция, то функция $A$ переводит $\beta$ обратно в $\varepsilon,$ с сохранением порядка векторов. Отсюда, $BA$ действует тождественно на $\beta$ (переводит каждый его вектор сам в себя). Поскольку все векторы выразимы через базис, то из линейности $BA$ следует, что она тождественно действует и на все векторы, то есть $BA=E.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 03:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1825
СПб
DENIS1980 в сообщении #616484 писал(а):
И важно что матрицы над полем действительных чисел



нет, это не важно

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 05:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3361
Munin в сообщении #616492 писал(а):
Пусть $AB=E.$

Квадратные матрицы - это линейные функции из векторного пространства в него самого. А произведение матриц даёт композицию функций.

Рассмотрим базис этого пространства. Функция $B$ переводит его в линейно-независимую систему векторов, потому что если какой-то вектор будет переведён $B$ в линейно-зависимый от других, то это и дальше сохранится (по линейности), и $AB$ тоже переведёт его в линейно-зависимый от других. Размерность целевого пространства функции $B$ та же, что и у исходного, так что функция $B$ переводит базис тоже в базис (вот в этом месте используется конечномерность пространства). Скажем, базис $\varepsilon$ в базис $\beta.$

Поскольку $AB$ - тождественная функция, то функция $A$ переводит $\beta$ обратно в $\varepsilon,$ с сохранением порядка векторов. Отсюда, $BA$ действует тождественно на $\beta$ (переводит каждый его вектор сам в себя). Поскольку все векторы выразимы через базис, то из линейности $BA$ следует, что она тождественно действует и на все векторы, то есть $BA=E.$

Как сложно! Да просто потому, что матрица имеет обратную тогла и только тогда, когда её определитель не равен нулю, а из теоремы о произведении определителей следует, что $\det A\det B=\det(AB)=\det E=1$, значит $\det A\neq 0,\det B\neq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 07:49 
Заморожен


20/12/10
5623
Padawan в сообщении #616502 писал(а):
Да просто потому, что матрица имеет обратную тогла и только тогда, когда её определитель не равен нулю, а из теоремы о произведении определителей следует, что $\det A\det B=\det(AB)=\det E=1$, значит $\det A\neq 0,\det B\neq 0$.
Без теории определителей здесь можно (да и нужно, на мой взгляд) обойтись. Естественный критерий обратимости матрицы $A$ --- полнота её ранга. Его и надо доказывать. В процессе доказательства для матрицы $A$ полного ранга находится такая $B$, что $AB=E$ (очевидно, если вспомнить про метод Гаусса). Эта $B$ также имеет полный ранг (потому что ранг произведения не превосходит ранга каждого из сомножителей --- легкое, но полезное упражнение), поэтому по тем же причинам найдётся $C$, такая, что $BC=E$. Из равенств $AB=E$ и $BC=E$ следует $C=A$.

Это то же самое, что предложил Munin, только без линейных отображений (их в курсе алгебры обычно излагают позже, по крайней мере, математикам). Впрочем, подобные вещи имеет смысл обсуждать в контексте конкретного курса. Вдруг найдутся любители начинать курс с теории определителей, мало ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 09:29 


10/02/11
6786
Задача (простая). Привести пример ограниченных операторов $A,B:H\to H$ гильбертова пространства для которых $AB=E$ но $BA\ne E$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 13:03 
Заслуженный участник


11/05/08
30508
Oleg Zubelevich в сообщении #616518 писал(а):
Задача (простая)

, но лишняя.

Oleg Zubelevich в сообщении #616518 писал(а):
гильбертова пространства

В гильбертовом -- любая неунитарная изометрия. Но почему обязательно в гильбертовом?..

-- Вс сен 09, 2012 14:08:30 --

nnosipov в сообщении #616514 писал(а):
Впрочем, подобные вещи имеет смысл обсуждать в контексте конкретного курса.

Да. Дело в том, что с рангом некоторая проблема: то, что он не меняется при транспонировании -- факт изначально довольно неочевидный, если ранг не привязывать к минорам. А если привязывать -- то, напротив, дающийся даром. Поэтому (и не только поэтом) давать определители перед обратной матрицей -- стратегия вполне распространённая и достаточно естественная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60290
Padawan в сообщении #616502 писал(а):
Да просто потому, что матрица имеет обратную тогла и только тогда, когда её определитель не равен нулю

Это тоже надо доказывать, а понятие обратной только введено и никаких фактов о ней нет. О связи обратимости с рангом тоже, я полагал, не введено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 17:31 
Заморожен


20/12/10
5623
Munin в сообщении #616630 писал(а):
О связи обратимости с рангом тоже, я полагал, не введено.
Про ранг можно не говорить. Да и линейные отображения по существу не нужны. Единственный нужный факт: любая линейно независимая система из $n$ векторов в $\mathbb{R}^n$ является базисом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 17:38 


09/09/12
7
Вообщем-то, все ясно, в определении обратной матрицы достаточно требовать лишь одного равенства. Для конечномерных матриц левая обратная совпадает с правой обратной. Только тогда зачем во всех учебниках в определении обратной требуют оба равенства, да и некоторые преподаватели для проверки правильности нахождения требуют проверять оба соотношения, мол при выполении одного из них второе может и не выполняться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 17:44 
Заморожен


20/12/10
5623
DENIS1980 в сообщении #616653 писал(а):
некоторые преподаватели для проверки правильности нахождения требуют проверять оба соотношения, мол при выполении одного из них второе может и не выполняться.
Запишите на диктофон, потом предъявите доказательство достаточности выполнения одного равенства. Вещдоки сдайте в деканат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60290
nnosipov в сообщении #616649 писал(а):
Да и линейные отображения по существу не нужны. Единственный нужный факт: любая линейно независимая система из $n$ векторов в $\mathbb{R}^n$ является базисом.

Тогда получается то, что я написал.

Линейность отображений нужна. Представьте себе отображение нелинейное, которое переводит базис тождественно в себя, но другие векторы - не в себя.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot], Someone


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group