2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 00:21 


09/09/12
7
Существуют ли две квадратные матрицы такие, что $AB=E$, но $BA\neq E$? То есть в определении обратной матрицы не лишне ли одно из двух равенств?

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 00:32 


22/05/09

685
Наверное, такие матрицы существуют в силу некоммутативности умножения матриц (не уверен), но в таком случае матрица B не является обратной к матрице А.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 01:32 


09/09/12
7
Mitrius_Math в сообщении #616472 писал(а):
Наверное, такие матрицы существуют в силу некоммутативности умножения матриц (не уверен), но в таком случае матрица B не является обратной к матрице А.



Да, но тут играет значение, что произведение $AB$ именно равно единичной матрице, тогда из этого следует, что они коммутируют. Вопрос верно ли это и как доказать этот факт. И важно что матрицы над полем действительных чисел

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 01:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3877
МФТИ ФУПМ
Для конечных матриц хватит определения в одну сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 03:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60658
Пусть $AB=E.$

Квадратные матрицы - это линейные функции из векторного пространства в него самого. А произведение матриц даёт композицию функций.

Рассмотрим базис этого пространства. Функция $B$ переводит его в линейно-независимую систему векторов, потому что если какой-то вектор будет переведён $B$ в линейно-зависимый от других, то это и дальше сохранится (по линейности), и $AB$ тоже переведёт его в линейно-зависимый от других. Размерность целевого пространства функции $B$ та же, что и у исходного, так что функция $B$ переводит базис тоже в базис (вот в этом месте используется конечномерность пространства). Скажем, базис $\varepsilon$ в базис $\beta.$

Поскольку $AB$ - тождественная функция, то функция $A$ переводит $\beta$ обратно в $\varepsilon,$ с сохранением порядка векторов. Отсюда, $BA$ действует тождественно на $\beta$ (переводит каждый его вектор сам в себя). Поскольку все векторы выразимы через базис, то из линейности $BA$ следует, что она тождественно действует и на все векторы, то есть $BA=E.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 03:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
1836
СПб
DENIS1980 в сообщении #616484 писал(а):
И важно что матрицы над полем действительных чисел



нет, это не важно

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 05:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/12/05
3366
Munin в сообщении #616492 писал(а):
Пусть $AB=E.$

Квадратные матрицы - это линейные функции из векторного пространства в него самого. А произведение матриц даёт композицию функций.

Рассмотрим базис этого пространства. Функция $B$ переводит его в линейно-независимую систему векторов, потому что если какой-то вектор будет переведён $B$ в линейно-зависимый от других, то это и дальше сохранится (по линейности), и $AB$ тоже переведёт его в линейно-зависимый от других. Размерность целевого пространства функции $B$ та же, что и у исходного, так что функция $B$ переводит базис тоже в базис (вот в этом месте используется конечномерность пространства). Скажем, базис $\varepsilon$ в базис $\beta.$

Поскольку $AB$ - тождественная функция, то функция $A$ переводит $\beta$ обратно в $\varepsilon,$ с сохранением порядка векторов. Отсюда, $BA$ действует тождественно на $\beta$ (переводит каждый его вектор сам в себя). Поскольку все векторы выразимы через базис, то из линейности $BA$ следует, что она тождественно действует и на все векторы, то есть $BA=E.$

Как сложно! Да просто потому, что матрица имеет обратную тогла и только тогда, когда её определитель не равен нулю, а из теоремы о произведении определителей следует, что $\det A\det B=\det(AB)=\det E=1$, значит $\det A\neq 0,\det B\neq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 07:49 
Заморожен


20/12/10
5623
Padawan в сообщении #616502 писал(а):
Да просто потому, что матрица имеет обратную тогла и только тогда, когда её определитель не равен нулю, а из теоремы о произведении определителей следует, что $\det A\det B=\det(AB)=\det E=1$, значит $\det A\neq 0,\det B\neq 0$.
Без теории определителей здесь можно (да и нужно, на мой взгляд) обойтись. Естественный критерий обратимости матрицы $A$ --- полнота её ранга. Его и надо доказывать. В процессе доказательства для матрицы $A$ полного ранга находится такая $B$, что $AB=E$ (очевидно, если вспомнить про метод Гаусса). Эта $B$ также имеет полный ранг (потому что ранг произведения не превосходит ранга каждого из сомножителей --- легкое, но полезное упражнение), поэтому по тем же причинам найдётся $C$, такая, что $BC=E$. Из равенств $AB=E$ и $BC=E$ следует $C=A$.

Это то же самое, что предложил Munin, только без линейных отображений (их в курсе алгебры обычно излагают позже, по крайней мере, математикам). Впрочем, подобные вещи имеет смысл обсуждать в контексте конкретного курса. Вдруг найдутся любители начинать курс с теории определителей, мало ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 09:29 


10/02/11
6786
Задача (простая). Привести пример ограниченных операторов $A,B:H\to H$ гильбертова пространства для которых $AB=E$ но $BA\ne E$

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 13:03 
Заслуженный участник


11/05/08
30563
Oleg Zubelevich в сообщении #616518 писал(а):
Задача (простая)

, но лишняя.

Oleg Zubelevich в сообщении #616518 писал(а):
гильбертова пространства

В гильбертовом -- любая неунитарная изометрия. Но почему обязательно в гильбертовом?..

-- Вс сен 09, 2012 14:08:30 --

nnosipov в сообщении #616514 писал(а):
Впрочем, подобные вещи имеет смысл обсуждать в контексте конкретного курса.

Да. Дело в том, что с рангом некоторая проблема: то, что он не меняется при транспонировании -- факт изначально довольно неочевидный, если ранг не привязывать к минорам. А если привязывать -- то, напротив, дающийся даром. Поэтому (и не только поэтом) давать определители перед обратной матрицей -- стратегия вполне распространённая и достаточно естественная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60658
Padawan в сообщении #616502 писал(а):
Да просто потому, что матрица имеет обратную тогла и только тогда, когда её определитель не равен нулю

Это тоже надо доказывать, а понятие обратной только введено и никаких фактов о ней нет. О связи обратимости с рангом тоже, я полагал, не введено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 17:31 
Заморожен


20/12/10
5623
Munin в сообщении #616630 писал(а):
О связи обратимости с рангом тоже, я полагал, не введено.
Про ранг можно не говорить. Да и линейные отображения по существу не нужны. Единственный нужный факт: любая линейно независимая система из $n$ векторов в $\mathbb{R}^n$ является базисом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 17:38 


09/09/12
7
Вообщем-то, все ясно, в определении обратной матрицы достаточно требовать лишь одного равенства. Для конечномерных матриц левая обратная совпадает с правой обратной. Только тогда зачем во всех учебниках в определении обратной требуют оба равенства, да и некоторые преподаватели для проверки правильности нахождения требуют проверять оба соотношения, мол при выполении одного из них второе может и не выполняться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 17:44 
Заморожен


20/12/10
5623
DENIS1980 в сообщении #616653 писал(а):
некоторые преподаватели для проверки правильности нахождения требуют проверять оба соотношения, мол при выполении одного из них второе может и не выполняться.
Запишите на диктофон, потом предъявите доказательство достаточности выполнения одного равенства. Вещдоки сдайте в деканат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Определение обратной матрицы
Сообщение09.09.2012, 18:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
60658
nnosipov в сообщении #616649 писал(а):
Да и линейные отображения по существу не нужны. Единственный нужный факт: любая линейно независимая система из $n$ векторов в $\mathbb{R}^n$ является базисом.

Тогда получается то, что я написал.

Линейность отображений нужна. Представьте себе отображение нелинейное, которое переводит базис тождественно в себя, но другие векторы - не в себя.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group