2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 15:24 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Вычислить $\begin{pmatrix} 43 & -24 \\ 70 & -39 \end{pmatrix}^{10}$, используя, что $\begin{pmatrix} 43 & -24\\ 70 & -39 \end{pmatrix}$$=$$ \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 5 & 7\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 3 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 5 & 7\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 7 & -4\\ -5 & 3\end{pmatrix}$$=$ $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
Помогите, пожалуйста, не знаю, как даже подступиться. Тут умножение некоммутативно вроде.. Как тогда делать ?
 i  Lia: fronnya Придумывайте информативные названия для тем. Изменено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 15:31 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А Вы для начала не 10-ю, а 2-ю степень найдите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
fronnya в сообщении #884540 писал(а):
Тут умножение некоммутативно вроде


Если $AB=I$ единичная матрица, то $BA=?$ (речь идет о квадратных матрицах)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 15:41 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
nnosipov в сообщении #884543 писал(а):
А Вы для начала не 10-ю, а 2-ю степень найдите.

$\begin{pmatrix} 169 & 1968 \\ 280 & -509\end{pmatrix}$ и?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 15:45 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
fronnya, да не так. А выписав все 6 сомножителей. Поскольку автор задачи оказался коварен, нужно ещё подумать об этом:
Red_Herring в сообщении #884544 писал(а):
Если $AB=I$ единичная матрица, то $BA=?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 15:46 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Red_Herring в сообщении #884544 писал(а):
Если $AB=I$ единичная матрица, то $BA=?$ (речь идет о квадратных матрицах)

Тоже $1$, но я не об этом. Я о первом равенстве. Там нельзя переставить матрицы местами так, чтобы использовать второе равенство.

-- 06.07.2014, 14:49 --

nnosipov в сообщении #884549 писал(а):
fronnya, да не так. А выписав все 6 сомножителей.

$\begin{pmatrix} 43^2-24\cdot 70 & 82\cdot 24 \\ 4\cdot 70 & 39^2 - 70\cdot 29\end{pmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 15:50 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
fronnya в сообщении #884550 писал(а):
Я о первом равенстве. Там нельзя переставить матрицы местами так, чтобы использовать второе равенство.
В первом нельзя. А вот когда дважды правую часть напишите, откроется калитка.

Да не те 6 сомножителей!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Если матрицу можно записать в виде произведения $M=ABC,$ то дальше её квадрат будет $M^2=(ABC)(ABC)=AB(CA)BC.$ Это связано со свободой перестановки скобок - с ассоциативностью. Коммутативность здесь ещё не используется.

А теперь вычислите $CA.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 16:02 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
fronnya в сообщении #884550 писал(а):
Тоже $1$
А вы это можете доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 16:03 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
nnosipov в сообщении #884551 писал(а):
А вот когда дважды правую часть напишите, откроется калитка.

Да, точно, открылась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 16:04 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Nemiroff в сообщении #884555 писал(а):
А вы это можете доказать?
Легко. Возьмёт да и перемножит те две матрицы в обратном порядке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 16:04 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Munin в сообщении #884554 писал(а):
$CA.$

$1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 16:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Вас (и задачник, и собеседники на форуме) постепенно подводят к тому, чтобы вы, увидев произведение матриц, не бросались на них сразу с саблей на полном скаку, а сначала попробовали "упростить выражение". Оставаясь на уровне "матрица на матрицу".

-- 06.07.2014 17:06:42 --

fronnya в сообщении #884558 писал(а):
Munin в сообщении #884554 писал(а):
$CA.$

$1$

Отлично, значит $M^2=AB(CA)BC=ABBC=AB^2C.$

А теперь можете догадаться, как в этом виде будет выглядеть $M^3$? $M^n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 16:07 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Munin в сообщении #884560 писал(а):
А теперь можете догадаться, как в этом виде будет выглядеть $M^3$? $M^n$?

Да, я только вот собрался писать это. $M^n=AB^{n}C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить степень матрицы
Сообщение06.07.2014, 16:08 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
nnosipov в сообщении #884557 писал(а):
Легко. Возьмёт да и перемножит те две матрицы в обратном порядке.
Тогда он не воспользуется вторым равенством из данных. :mrgreen: Я же явно про общий случай спрашиваю, и Red_Herring писал про общий.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group