Парадокс Б. Рассела

[MaximKat]

Батороев писал(а):

А я-то, балда, битых полчаса голову себе ломал!

это сарказм?

[МИБ]

ZVS

Цитата:

Бесконечное-это недостижимое

О чем и толкует Аристотель в своей "Физике". А также и Кантор.

Попросту говоря, такое определение говорит о том, что нам доступен мир конечных сущностей. Бесконечное же лежит по ту сторону всякого конечного, и потому недостижимо.

Тем самым, бесконечное ограничено миром конечных вещей ("разрядной сеткой"), и поэтому лишается определения бесконечного. Оно оказывается ограниченным миром конечного, и само становится конечным, ограниченным, опредЕленным.

Это и есть математическое (т.е. конечное) бесконечное - то, вне чего всегда что-то есть, сколько бы мы не "достигали".

Философское бесконечное - иное. Оно охвытывает собой как себя, так и свое другое - конечное. Тем самым, оно - то, вне чего ничего нет. Это - бесконечное бесконечное.

Говоря о парадоксах оснований математики, мы должны отчетливо понимать, что они порождаются допущением в математику абстракции абсолютной бесконечности. Того, что содержит в себе себя и свое другое, того, что принципиально противоречиво.

Расселовское множество всех несобственных множеств не существует статически. Оно - логический круг, где всякое его определение переходит в свою противоположность, а сама противоположность обусловлена только логическим отношением данных определений. Множество всех несобственных множеств существует, в некотором смысле, как кот Шредингера. Его "собственность", как и "несобственность" являются моментами его определенности. Вся же определенность есть целое, взаимообмен определениями.

[Батороев]

MaximKat писал(а):

Батороев писал(а):

А я-то, балда, битых полчаса голову себе ломал!

это сарказм?

Нет, это - самокритика.

[pc20b]

Единичное = всеобщему

МИБ писал(а):

Расселовское множество всех несобственных множеств не существует статически. Оно - логический круг, где всякое его определение переходит в свою противоположность, а сама противоположность обусловлена только логическим отношением данных определений. Множество всех несобственных множеств существует, в некотором смысле, как кот Шредингера. Его "собственность", как и "несобственность" являются моментами его определенности.

Извините, нельзя ли кое-что уточнить, не совсем понимаю. Доказательство антиномии МВМ (множество всех множеств) в наивной теории множеств (НТМ) можно подвергнуть критике. Во-первых, доказательство несуществования МВМ, основанное на возникновении противоречия при "подсчете" мощности множества всех подмножеств, использует результат комбинаторики

$$2^N$$

, в общем случае неприменимый к оценке мощности бесконечных множеств. Во-вторых, не менее наивным является суждение о существовании "собственных" множеств, апеллируя к бытовому примеру "множество всех котов котом не является". Что, всегда и везде так?

Я полагаю, что противоречивость оснований НТМ больше связана с попыткой при отражении реальности на абстрактные математические образы ограничиться "бытом", во-вторых, желанием остаться в рамках довольно упрощенной "формальной" (аристотелевой) логики. И, скорее всего, слава богу, что эти формальные противоречия оснований исчезают, как только мы переходим к математическому анализу, когда возникает

$$\frac{dy}{dx}$$

. Ну, к примеру :

Цитата:

ZVS

Цитата:

Бесконечное-это недостижимое

О чем и толкует Аристотель в своей "Физике". А также и Кантор.

Попросту говоря, такое определение говорит о том, что нам доступен мир конечных сущностей. Бесконечное же лежит по ту сторону всякого конечного, и потому недостижимо.

Почему? Вовсе не обязательно противопоставлять конечное и бесконечное. Хотя бы, скажем, обратившись к семантике : бесконечное - значит, просто без конца. Топологическая окружность - вполне достижима.

Второй пример нетривиального отношения конечное - бесконечное, лежащий вне формальной логики : часть = целому. Например, известный пример равномощности множества точек любого отрезка и всей числовой оси.

Более физический пример : из решения уравнений гравитации следует, что электрон (часть) тождественен вселенной (целому). И это просто замечательно.

Тем самым, становится необязательным, скажем, такое наблюдение :

Цитата:

Тем самым, бесконечное ограничено миром конечных вещей

Это, естественно, может породить новую философию, основанную на аксиоме "единичное равно всеобщему". Она хороша для нас тем, что позволяет выйти из ничем не оправданного представления о ничтожности и бесцельности нашего, человеческого, бытия.

[6675636b]

"Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие."

Избавиться от этого парадокса можно!
Достаточно только добавить одну аксиому, что любое множество содержит себя в качестве элемента.

В варианте с парикмахером это означает, что нет таких людей, которые "не бреют себя",
т.е. любой человек может научиться бриться.

З.Ы. Кантор рулит - все есть множество, а что такое множество хуй его знает.

[AD]

6675636b писал(а):

Избавиться от этого парадокса можно!
Достаточно только добавить одну аксиому, что любое множество содержит себя в качестве элемента.

Избавиться от парадокса, добавляя аксиомы, невозможно, потому что добавленные аксиомы всегда можно, приходя к противоречию, не использовать.

Согласно вашей аксиоме, не существует, скажем, такой полезной вещи, как пустое множество (а его существование - это одна из аксиом ZFC, обычно даже первая в списке, хотя это и не важно).

Добавлено спустя 55 секунд:

З.Ы. Ведите себя прилично, вы же в Гуманитарном разделе

[6675636b]

"Согласно вашей аксиоме, не существует, скажем, такой полезной вещи, как пустое множество (а его существование - это одна из аксиом ZFC, обычно даже первая в списке, хотя это и не важно). "

А вот и обламайся, существует:

пустое множесто - это множество содержащее только один элемент.

[AD]

6675636b в сообщении #165462 писал(а):

пустое множесто - это множество содержащее только один элемент.

Противоречит всё той же аксиоме.

[6675636b]

Не понимаю, что тебя не устраивает.

Было:
cуществует e, что для любого a : a не принадлежит e.

Стало:
существует е, что для любого а не равного е : а не принадлежит е.

Добавлено спустя 29 минут 46 секунд:

"Избавиться от парадокса, добавляя аксиомы, невозможно, потому что добавленные аксиомы всегда можно, приходя к противоречию, не использовать."

Извините, я не правильно выразился: добавить и при этом, вообще говоря "подправить" уже существующие,
т.е. возможно, что при добавлении некоторые будут выражаться через остальные, и это уже не будет добавлением, хотя в данном случае я не знаю.

[AD]

Хм, тогда ладно. Ну давайте тогда полный список получившихся аксиом, чтобы все всё поняли.

И, главное, объясните две вещи:

1. Нафига править, когда и так есть ZFC, где всё давно исправлено до вас?
2. И после ваших правок какое отношение полученная аксиоматика имеет к теории множеств? Забавная новая теория, не более ...

[6675636b]

Действительно, в ZFC не существует множества всех множеств.
Дело в том, что парадокса Рассела можно избежать только двумя способами: либо запретить множество всех множеств, либо запретить множества, которые не содержат себя в качестве элемента.

Мне больше нравится второй вариант. Потому что, в первом случае, мы "ограничиваем" теорию множеств, а во втором случае "расширяем" понятие множества.

[Someone]

6675636b в сообщении #165532 писал(а):

Дело в том, что парадокса Рассела можно избежать только двумя способами: либо запретить множество всех множеств, либо запретить множества, которые не содержат себя в качестве элемента.

Вы о теории множеств имеете самое смутное представление. Дело ведь не только в парадоксе Рассела, могут быть и другие парадоксы. На самом деле, ни первый, ни второй путь не позволяют избавиться от парадоксов. И теория множеств идёт по другому пути: аксиомы определяют допустимые построения, а всё, что сверх этого - от лукавого, и не может использоваться.

Ваше же предложение просто создаёт неудобства, а то "полезное", что можно из него получить, проще и гораздо удобнее достигается другими способами. Например, кроме множеств можно рассматривать классы, которые не являются множествами. И вполне допустим класс всех множеств.

[6675636b]

Someone в сообщении #165537 писал(а):

На самом деле, ни первый, ни второй путь не позволяют избавиться от парадоксов

Я имел ввиду только парадокс Рассела.
Какие еще вы знаете парадоксы в теории множеств?

Someone в сообщении #165537 писал(а):

И теория множеств идёт по другому пути: аксиомы определяют допустимые построения, а всё, что сверх этого - от лукавого, и не может использоваться.

Интересно, а что ж такого необычного в том, что каждое множество содержит себя в качестве элемента?

Someone в сообщении #165537 писал(а):

Ваше же предложение просто создаёт неудобства, а то "полезное", что можно из него получить, проще и гораздо удобнее достигается другими способами. Например, кроме множеств можно рассматривать классы, которые не являются множествами. И вполне допустим класс всех множеств.

т. е. вы предлагаете ввести еще одно неопределяемое и не интуитивное понятие. Это намного хуже. Вы создаете еще один черный ящик.

[6675636b]

На самом деле то, что я предлагаю сродни введению комплексных чисел, которые расширяют поле вещественных чисел. Т.е. вся существующая теория множеств останется такой, какой и была, только появятся новые возможности.

Например, наряду с таким понятием, как "объединение множеств":
K U M = { a : (a не равно К и принадлежит К) или (а не равно М и принадлежит М) или (а равно K U M) },
можно ввести полезное понятие "полного объединения множеств":
K pU M = { a : (a принадлежит K) или (а принадлежит M) или (а равно K pU M) }. С помощью такого понятия, если у нас есть какое-то множество А = K pU M, то такое разложение множества A единственно.
Например, если

"мусорка" = { "ведро", "ручка", "мусорка" }
"точка (5, 3)" = { 5, 3, "точка (5, 3)" }

А = { 5, 3, "ведро", "ручка", "мусорка", "точка (5, 3)", А }

, то A = "мусорка" pU "точка (5, 3)" и никак иначе
, а если

A = { 5, 3, "ведро", "ручка", А }

, то A = K U M, где возможно,что
K = { 3, "ведро", K } M = { 5, "ручка", M }
и в тоже время может быть, что
K = { 5, "ведро", K } M = { 3, "ручка", M }.

[Someone]

6675636b в сообщении #165546 писал(а):

Какие еще вы знаете парадоксы в теории множеств?

Например, к парадоксам приводят множество всех ординалов и множество всех кардиналов (каждое по отдельности). В обоих случаях Ваша идея не сработает.

6675636b в сообщении #165546 писал(а):

Интересно, а что ж такого необычного в том, что каждое множество содержит себя в качестве элемента?

Дело не в необычности, а в неестественности и неудобстве. Мне, допустим, нужно множество действительных чисел, а Вы мне в это множество ещё какую-то ерунду засовываете, которая числом не является и мешает мне в рассуждениях, потому что я всё время должен оговаривать, что этот элемент нужно исключать.

Кроме того, я не уверен, что в парадоксе Рассела Вашу идею никак нельзя обойти. Это ещё разбираться надо, а Вы доказательства не представили. Также и непротиворечивость не очевидна (например, относительно стандартной теории ZFC).

6675636b в сообщении #165546 писал(а):

вы предлагаете ввести еще одно неопределяемое и не интуитивное понятие.

Насчёт "неинтуитивности" это Вы зря. Класс - это понятие более интуитивное, чем множество. Потому что класс - это просто свойство. По существу то, что называл множеством Кантор, является классом. Насчёт "ещё одного неопределяемого" Вы тоже зря. В теории множеств с классами основными понятиями являются класс и отношение $\in$. А множество - понятие производное от класса, то есть, вполне определяемое.

Кроме того, что значит - "неопределяемое"? Классы в GB (или множества в ZFC) - это объекты любой природы, для которых можно определить отношение $\in$, удовлетворяющее аксиомам соответствующей теории. В этом смысле они вполне определяемые.