Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874499 писал(а):

Да совсем не сложно, можно итерациями сразу получить степенной ряд, или понять что значит $e^{it}$.

Эта функция над $\mathbb Q$ не будет определена чуть более чем нигде. Потому что одновременно аргумент и значение туда попадают с трудом.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874497 писал(а):

Да у Вас половина, если не все, теоремы перестанут быть верными. Например, теорема о промежуточном значении.

Вот её-то у меня как раз и нет, и она мне не нужна для дифференцирования и интегрирования.

-- 12.06.2014, 03:27 --

g______d в сообщении #874501 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874499 писал(а):

Да совсем не сложно, можно итерациями сразу получить степенной ряд, или понять что значит $e^{it}$.

Эта функция над $\mathbb Q$ не будет определена чуть более чем нигде. Потому что одновременно аргумент и значение туда попадают с трудом.

Ну так все уже понимают и так про бесконечные десятичные дроби, и можно это доказать позже, не обязятельно до. И потом это нужно для классического подхода тоже, т.е время на это не теряется. И вообще зачем вначале заострять внимание на "существовании?" Можем с любой точностью посчитать -- и слава богу.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874502 писал(а):

И потом это нужно для классического подхода тоже, т.е время на это не теряется.

Да, но в классическом подходе с теми же усилиями мы бесплатно получаем последовательности и пределы. А тогда можно и предел функции определить, по Гейне.

-- Чт, 12 июн 2014 00:41:26 --

mishafromusa в сообщении #874502 писал(а):

И вообще зачем вначале заострять внимание на "существовании?" Можем с любой точностью посчитать -- и слава богу.

Что значит "заострять внимание"? Мы, кажется, последние несколько сообщений о курсе с доказательствами говорили.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874505 писал(а):

Да, но в классическом подходе с теми же усилиями мы бесплатно получаем последовательности и пределы. А тогда можно и предел функции определить, по Гейне.

Т.е. как "бесплатно?" И потом там нужна серьёзная техника, чтоб доказать теорему о возрастании, а мне не нужно.

-- 12.06.2014, 03:46 --

g______d в сообщении #874505 писал(а):

Что значит "заострять внимание"? Мы, кажется, последние несколько сообщений о курсе с доказательствами говорили.

Доказательство можно отложить на потом, это же не трактат Бурбаки. И вообще дискуссия назувается о матане для нематематиков, а им как раз пдсчитать интересно, а не доказывать существование, если знаем как посчитать, так вот вам и существование.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874508 писал(а):

Т.е. как "бесплатно?"

Так бесплатно. Если мы вводим вещественные числа как классы эквивалентных фундаментальных последовательностей из $\mathbb Q$, у нас есть техника работы с пределами.

Собственно, многие курсы анализа так устроены. Сначала строится теория пределов рациональных последовательностей одновременно с понятием фундаментальных последовательностей, потом приводится пример, что предел фундаментальной последовательности не всегда существует, потом строятся вещественные числа, а свойства пределов последовательностей вещественных чисел к тому моменту уже можно оставлять как упражнения.

-- Чт, 12 июн 2014 00:49:27 --

mishafromusa в сообщении #874508 писал(а):

Доказательство можно отложить на потом, это же не трактат Бурбаки.

Тогда на мои три пункта возражений нет?

-- Чт, 12 июн 2014 00:50:40 --

mishafromusa в сообщении #874508 писал(а):

И потом там нужна серьёзная техника, чтоб доказать теорему о возрастании, а мне не нужно.

Вся эта серьёзная техника всё равно нужна для построения вещественных чисел, как я написал выше.

-- Чт, 12 июн 2014 00:52:38 --

mishafromusa в сообщении #874508 писал(а):

И вообще дискуссия назувается о матане для нематематиков, а им как раз пдсчитать интересно, а не доказывать существование, если знаем как посчитать, так вот вам и существование.

Для не-математиков в моём списке есть пункт 1. Ваш курс тоже проигрывает Calculus'у, основанному на физических примерах.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874497 писал(а):

и до пределов функций и непрерывности один шаг.

А как насчёт теоремы о возрастании? Она сложная.

-- 12.06.2014, 04:05 --

g______d в сообщении #874511 писал(а):

Для не-математиков в моём списке есть пункт 1.

Вот как раз там классическая теория упоминается невнятно, и понять что-то без доказателств трудно. В равномерной теории доказателства легче и короче, и их можно включить, в этом и идея.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874513 писал(а):

А как насчёт теоремы о возрастании? Она сложная.

Она не сложная, она концептуальная. Да, для неё нужна цепочка из пяти теорем, но каждая из этих теорем важна сама по себе и в нормальном изложении доказывается очень быстро, буквально в пару строчек.

-- Чт, 12 июн 2014 01:09:49 --

mishafromusa в сообщении #874513 писал(а):

Вот как раз там классическая теория упоминается невнятно, и понять что-то без доказателств трудно.

В классической теории тоже можно "доказательства" включить, и даже сделать их более понятными.

mishafromusa в сообщении #874513 писал(а):

В равномерной теории доказателства легче и короче, и их можно включить

Вы двумя постами выше сказали, что все доказательства всё равно включать не будете. Следовательно, это "легче и короче" достигается за счёт того, что Вы выкидываете неудобные факты, которые Вам кажуются "любому дураку понятными". К сожалению, понятие дурака у каждого своё.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874464 писал(а):

у площади есть свойства, очевидные каждому дураку, и их можно использовать для доказательства всех теорем, например теоремы Ньютона-Лейбница.

Это только если знать, что такое площадь. Вот Вы знаете?...

(школьники, между прочим не знают, строго говоря; так что Вы пытаетесь объяснить непонятное неизвестным)

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874514 писал(а):

Вы двумя постами выше сказали, что все доказательства всё равно включать не будете.

Полноту вещественных чисел можно и не включать.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874516 писал(а):

Полноту вещественных чисел можно и не включать.

Тогда они откуда-то её должны знать? Из какого курса?

[ewert]

mishafromusa в сообщении #874516 писал(а):

Полноту вещественных чисел можно и не включать.

Тогда они и не нужны.

[mishafromusa]

ewert в сообщении #874515 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874464 писал(а):

у площади есть свойства, очевидные каждому дураку, и их можно использовать для доказательства всех теорем, например теоремы Ньютона-Лейбница.

Это только если знать, что такое площадь. Вот Вы знаете?...

(школьники, между прочим не знают, строго говоря; так что Вы пытаетесь объяснить непонятное неизвестным)

Так у меня же в слайдах даже есть доказательство положительности и аддитивности интеграла, так что всё в порядке. И школьникам можно объяснить про площадь, если им на уроках геометрии не объяснили, ничего сложного. Строго говоря, они не знают, а нестрого -- знают.

-- 12.06.2014, 04:29 --

g______d в сообщении #874518 писал(а):

mishafromusa в сообщении #874516 писал(а):

Полноту вещественных чисел можно и не включать.

Тогда они откуда-то её должны знать? Из какого курса?

Да можно неформально объяснить, что если можно посчитать с любой точностью, то слава богу, и все поймут, а последовательности Коши оставить на потом.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874521 писал(а):

Да можно неформально объяснить, что если можно посчитать с любой точностью, то слава богу, и все поймут, а последовательности Коши оставить на потом.

Ну т. е. курс не со всеми доказательствами, а только с избранными. С избранными можно и обычный анализ понятно прочитать и без лишней мороки. С одним серьёзным отличием: слушателям классического анализа будет где посмотреть (при необходимости) полное и последовательное изложение и даже извлечь оттуда отдельную теорему (т. к. обозначения и понятия те же). А у Вас полного и последовательного изложения нет и не предвидится; потому что как только Вы попробуете начать это делать, внезапно окажется, что курсы классического анализа не так уж и плохи.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #874523 писал(а):

Ну т. е. курс не со всеми доказательствами, а только с избранными.

Можно и со всеми, но нужно разумно решать, что сначала, а что потом. С доказательства полноты начинать точно не стоит. Вот к примеру есть книжка "Analysis by Its History." Там в первых двух главах всё делается как в 18 веке и раньше, а потом строгость наводится в главе 3. Чем это плохо?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #874526 писал(а):

Можно и со всеми, но нужно разумно решать, что сначала, а что потом.

Вот в жизни не поверю, что "со всеми" будет проще и понятнее, чем классический анализ. Хотя бы потому, что понятнее нормально рассказанного классического анализа ещё поискать курсов.