Проективное пространство

[Null]

А тупо биекция на линейное пространство $\mathbb{R}^1$ не катит? У Вас же про операции ничего не сказано и можно брать любые

[provincialka]

Munin, если я правильно поняла, apriv как раз и говорит, что для построения соответствия должна быть выбрана дополнительная структура, связывающая эти образы.
Кстати, я что-то не слышала о "метрическом" проективном пространстве. По моему представлению, проективное пространство - это "болванка", добавляя в которую доп. структуры, получаем другие пространства. Например, выделение бесконечно удаленной гиперплоскости превращает пространство в аффинное.
А если введете метрику с помощью сферы, то и получите сферу.

[Munin]

provincialka в сообщении #801303 писал(а):

Кстати, я что-то не слышала о "метрическом" проективном пространстве.

На самом деле, это, конечно же, пространство Римана (эллиптическое пространство). Но поскольку Oleg Zubelevich так настаивает на привязке к $\mathbb{R}^n,$ я подумал, что это свойство для него существенно.

provincialka в сообщении #801303 писал(а):

По моему представлению, проективное пространство - это "болванка", добавляя в которую доп. структуры, получаем другие пространства.

Вот тут и могут крыться расхождения в терминологии.

provincialka в сообщении #801303 писал(а):

А если введете метрику с помощью сферы, то и получите сферу.

Полусферу (пространство Римана = эллиптическое). Да.

[apriv]

Munin в сообщении #801295 писал(а):

apriv в сообщении #801280 писал(а):

Нету никакого естественного соответствия

В случае со скалярным произведением должно быть.

Там же не было ни слова про скалярное произведение. Категория [конечномерных] пространств с выделенным скалярным произведением — это совсем другая категория.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Написал слово "естественный" — получил +6 сообщений в теме, что писать его не надо было. Nitpickers

[provincialka]

(Оффтоп)

Такие уж мы тут противоестественные...

[Oleg Zubelevich]

provincialka в сообщении #801303 писал(а):

А если введете метрику с помощью сферы, то и получите сферу.

а это как?

-- Вс дек 15, 2013 14:15:38 --

на всякий случай: не надо думать, что двумерная сфера=действительная проективная плоскость. Сфера гомеоморфна комплексной проективной прямой. Действительная проективная плоскость устроена сложнее. Гуглим: поверхность Боя

[provincialka]

Ну, точнее, полусферу, как уточнил Munin. Ведь противоположные точки склеятся. Даже и не совсем полусфера, границы же у нее нет. Но есть метрика.

[Oleg Zubelevich]

говоря точнее, противоположенные точки не склеиваются, а туда вклеивается лист Мебиуса. Это не сфера и не полусфера. Двумерная проективная плоскость это неориентируемое компактное многообразие.

[arseniiv]

ivvan в сообщении #801122 писал(а):

Это? Вроде выполняется.

Ну да, вроде выполняется. Дальше должно выполняться $f(\vec0)(P) = P$, т. е. ноль преобразуется в тождественную функцию — тоже есть. А вот третье условие, что для каждой пары точек $P,Q$ существует вектор $\vec a$ такой, что $f(\vec a)(P) = Q$ — уже не выполняется.

-- Вс дек 15, 2013 17:25:24 --

Oleg Zubelevich в сообщении #801408 писал(а):

говоря точнее, противоположенные точки не склеиваются, а туда вклеивается лист Мебиуса.

А почему плохо говорить о сфере, у которой каждая пара противоположных точек склеена? Она вполне представима.

[provincialka]

Oleg Zubelevich
Ну да, я поправила. Только почему именно двумерная? Сначала был многомерный случай.

[Oleg Zubelevich]

provincialka в сообщении #801407 писал(а):

Но есть метрика.

метрик (метрических тензоров) может быть сколько угодно

[provincialka]

Вот Munin и предложил одну. Я-то при чем?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #801410 писал(а):

А почему плохо говорить о сфере, у которой каждая пара противоположных точек склеена? Она вполне представима.

я просто уточнил

[Munin]

provincialka в сообщении #801407 писал(а):

Даже и не совсем полусфера, границы же у нее нет.

Половина границы есть :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #801408 писал(а):

говоря точнее, противоположенные точки не склеиваются, а туда вклеивается лист Мебиуса.

Ооо, смачно!

-- 15.12.2013 16:32:34 --

arseniiv в сообщении #801410 писал(а):

А почему плохо говорить о сфере, у которой каждая пара противоположных точек склеена?

Потому что на самом деле, отождествлена. Но "вклеенный лист Мёбиуса"... видимо, целый континуум листов Мёбиуса, между каждой парой противоположных точек... жжёт.