Проективное пространство

[ivvan]

arseniiv в сообщении #801049 писал(а):

Для аффинного пространства разность точек определяется так, что то множество является линейным пространством, и что выполняются соответствующие аксиомы аффинного пространства. Для проективного так ввести разность не получится.

То, что проективное пространство не аффинное, я знаю. Или я неправильно понял?

apriv в сообщении #801053 писал(а):

Все-таки $n$-мерным проективным пространством называется множество одномерных подпространств в $(n+1)$-мерном векторном пространстве.

Получается, нельзя определить как-то более независимо (чтобы, например, говорить об изоморфных пространствах)?

-- 14.12.2013, 23:53 --

http://ru.wikipedia.org/wiki/Гиперплоскость писал(а):

Гиперпло́скость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.

Гиперплоскость вроде можно рассматривать как множество одномерных подпространств векторного пространства, лежащих в соответствующей гиперплоскости.

-- 14.12.2013, 23:55 --

Oleg Zubelevich в сообщении #801063 писал(а):

Таким образом множество гиперплоскостей само образует проективное пространство с однородными координатами

Но как?

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #801054 писал(а):

а вы думаете, что "мое" определение работает только для вещественных чисел?

Я не знаю, как его исправить, чтобы оно работало для любого коммутативного кольца (или для любой схемы)

[Oleg Zubelevich]

apriv в сообщении #801083 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #801054 писал(а):

а вы думаете, что "мое" определение работает только для вещественных чисел?

Я не знаю, как его исправить, чтобы оно работало для любого коммутативного кольца (или для любой схемы)

А я даже на такой уровень общности и не претендую (а ТС, я думаю, тем более). Это все экзотика для извращенцев любителей. 90% математикам вполне хватает $\mathbb{R},\mathbb{C}$.

[ivvan]

arseniiv в сообщении #801056 писал(а):

Попробуйте лучше опрелелить отображение $f$, которое каждому вектору ставит в соответствие биекцию проективной прямой, чтобы $f(\vec a + \vec b)(P) = f(\vec a)(f(\vec b)(P))$. Для начала.

Подойдёт $(x_0,x_1,x_2,...,x_n)\mapsto (x_0,x_1+a_1 x_0,x_2+a_2 x_0,...,x_n+a_n x_0)$ ?

[provincialka]

Точка определяется своими однородными координатами с точносью до постоянного множителя. А у вас что?

[ivvan]

provincialka в сообщении #801115 писал(а):

Точка определяется своими однородными координатами с точносью до постоянного множителя. А у вас что?

А у меня не сохраняется эта эквивалентность?

[provincialka]

А нет, вроде сохраняется. Ну, теперь проверяйте равенство.

[ivvan]

Цитата:

$f(\vec a + \vec b)(P) = f(\vec a)(f(\vec b)(P))$

Это? Вроде выполняется.

-- 15.12.2013, 01:04 --

В принципе, всё равно это скорее всего не то, что нужно.

[provincialka]

Нет, что-то тут не то. Голова к ночи не соображает. Но, по-крайней мере, видно, что "бесконечно удаленные" точки отличаются от остальных: если $x_0=0$, то "прибавление" любого вектора не изменит точку.
Но вообще-то, известно, что на проективной прямой нет, например такого понятия, как "середина". А, вернее, есть: она составляет гармоническую четверку с данными точками и "бесконечностью". Вот, может, от того, что ваше преобразование фиксирует "бесконечно удаленную точку" прямой, она (прямая) и превращается в аффинную.
А впрочем, пусть скажут специалисты, я несколько подзабыла...

[Joker_vD]

ivvan в сообщении #801065 писал(а):

Но как?

Ну как-как, всякая гиперплоскость задается набором $(a_0,\dots,a_n)$, причем наборы $(a_0,\dots,a_n)$ и $(\lambda a_0,\dots,\lambda a_n)$ при $\lambda\ne0$ задают одну и ту же гиперплоскость. Вот и все.

В конце-концов, apriv давал геометрическое определение: как множество одномерных подпространств. Но есть естественное соответствие между подпространствами размерности один (т.е. проективными точками) и подпространствами коразмерности один (т.е. гиперплоскостями), так что можно заменить точки гиперплоскостями.

(Оффтоп)

Nitpicket's corner: желающим рассматривать бесконечномерные вектроные пространства пропускать при чтении слово "естественное".

[Oleg Zubelevich]

а если очень хочется векторов, то можно вспомнить, что проективное пространство является гладким многообразием и в каждой его точке определено касательное векторное пространство.

[Munin]

apriv
Помогите, я запутался.

Рассматриваем только конечномерные случаи.

Назовём "M-неметрическим проективным пространством" (mnmp) множество $1$-мерных подпространств в векторном пространстве, не снабжённом нормой.

Назовём "M-метрическим проективным пространством" (mmp) множество $1$-мерных подпространств в векторном пространстве, снабжённом нормой. Метрическим расстоянием между двумя подпространствами назовём длину дуги большого круга на единичной сфере, между точками, принадлежащими этим подпространствам (наименьшую).

Как понятия mnmp и mmp соотносятся с определениями проективного пространства, предложенными вами и Oleg Zubelevich-ем? У меня сложилось впечатление, что mnmp $\approx$ определение по apriv, mmp $\supset$ определение по Oleg Zubelevich.

[Oleg Zubelevich]

Joker_vD в сообщении #801151 писал(а):

как множество одномерных подпространств. Но есть естественное соответствие между подпространствами размерности один (т.е. проективными точками) и подпространствами коразмерности один (т.е. гиперплоскостями), так что можно заменить точки гиперплоскостями.

(Оффтоп)
Nitpicket's corner: желающим рассматривать бесконечномерные вектроные пространства пропускать при чтении слово "естественное".

продемонстрируйте плз это естественное соответствие в конечномерном случае

[apriv]

Joker_vD в сообщении #801151 писал(а):

Но есть естественное соответствие между подпространствами размерности один (т.е. проективными точками) и подпространствами коразмерности один (т.е. гиперплоскостями), так что можно заменить точки гиперплоскостями.

Нету никакого естественного соответствия, и не может быть: переход к двойственному пространству — контравариантный функтор.

[Munin]

apriv в сообщении #801280 писал(а):

Нету никакого естественного соответствия

В случае со скалярным произведением должно быть.