Проективное пространство

[ivvan]

Можно ли определить проективное пространство как аффинное пространство, т.е. как множество точек с некоторым набором операций и отношений?

[provincialka]

Во-первых, кое-что надо добавить (на бесконечности). А во-вторых - убрать: отношение параллельности и пропорциональность отрезков прямой.

[Oleg Zubelevich]

Так на всякий случай.

Определение. $n-$мерным действительным проективнымпространством ($\mathbb{R}P^n$) называется множество $(x_1,\ldots,x_{n+1})\in\mathbb{R}^{n+1}\backslash\{0\}$ снабженное следующим отношением эквивалентности:

$$(x_1,\ldots,x_{n+1})\sim(x'_1,\ldots,x'_{n+1})\Longleftrightarrow x_i=\lambda x'_i,\quad\lambda\ne 0,\quad i=1,\ldots, n+1$$

Можно сказать, что $\mathbb{R}P^n=(\mathbb{R}^{n+1}\backslash\{0\})/\sim$

[ivvan]

provincialka в сообщении #800771 писал(а):

Во-первых, кое-что надо добавить (на бесконечности). А во-вторых - убрать: отношение параллельности и пропорциональность отрезков прямой.

Я подразумевал под операциями аффинного пространства прибавление к точке вектора с соответствующими
свойствами, поэтому мне не понятно, как получить определение проективного пространства исходя из цитаты.
Вот берётся $P^n$ и говорится, что его гиперплоскости образуют дуальное проективное пространство. Как они образуют?

[provincialka]

Нет, в проективном пространстве векторов нет. Там не сохраняются отношения отрезков. Только двойное отношение четырех точек на прямой.

[Oleg Zubelevich]

судя по всему, студент не знает уравнения плоскости.

[arseniiv]

ivvan в сообщении #800750 писал(а):

Можно ли определить проективное пространство как аффинное пространство, т.е. как множество точек с некоторым набором операций и отношений?

Нет соответствующего линейного пространства.

[ivvan]

provincialka в сообщении #800906 писал(а):

Нет, в проективном пространстве векторов нет.

В аффинном тоже нет.

Oleg Zubelevich в сообщении #800915 писал(а):

судя по всему, студент не знает уравнения плоскости.

$\sum\limits_{j=0}^n a_{ij}x_j=0, i=0,...,n-3 $, где $\operatorname{rank}(a_{ij})=n-2$. Надеюсь, не сильно ошибся.

arseniiv в сообщении #800919 писал(а):

Нет соответствующего линейного пространства.

В каком смысле?

Всё таки, что делает совокупность гиперплоскостей проективным пространством? Что даёт соответствующее отображение точек в гиперплоскости?

[Oleg Zubelevich]

-

[arseniiv]

ivvan в сообщении #801028 писал(а):

В каком смысле?

В таком же, в каком в аффинном пространстве «есть» векторы: возьмите множество всех попарных разностей точек. Для аффинного пространства разность точек определяется так, что то множество является линейным пространством, и что выполняются соответствующие аксиомы аффинного пространства. Для проективного так ввести разность не получится.

Попробуйте вот с проективной прямой это сделать! Присоедините к ней какое-то линейное пространство так, чтобы всё было хорошо.

[apriv]

Oleg Zubelevich в сообщении #800777 писал(а):

Определение. $n-$мерным действительным проективнымпространством ($\mathbb{R}P^n$) называется

Вот опять координаты. Все-таки $n$-мерным проективным пространством называется множество одномерных подпространств в $(n+1)$-мерном векторном пространстве. Прямых, проходящих через $0$, стало быть. Это определение, к тому же, работает не только для вещественных чисел.

[Oleg Zubelevich]

apriv в сообщении #801053 писал(а):

Вот опять координаты. Все-таки $n$-мерным проективным пространством называется множество одномерных подпространств в $(n+1)$-мерном векторном пространстве. Прямых, проходящих через $0$, стало быть. Это определение, к тому же, работает не только для вещественных чисел.

а вы думаете, что "мое" определение работает только для вещественных чисел?

[arseniiv]

arseniiv в сообщении #801049 писал(а):

Попробуйте вот с проективной прямой это сделать! Присоедините к ней какое-то линейное пространство так, чтобы всё было хорошо.

Формулировка с «разностями» могла выйти расплывчатой и вообще неудобной. Попробуйте лучше опрелелить отображение $f$, которое каждому вектору ставит в соответствие биекцию проективной прямой, чтобы $f(\vec a + \vec b)(P) = f(\vec a)(f(\vec b)(P))$. Для начала.

-- Вс дек 15, 2013 01:33:07 --

В общем, сумму векторов оно превращает в композицию биекций, если так понятнее.

[Joker_vD]

ivvan в сообщении #800894 писал(а):

Вот берётся $P^n$ и говорится, что его гиперплоскости образуют дуальное проективное пространство. Как они образуют?

А что вообще такое гиперплоскость?

[Oleg Zubelevich]

ivvan в сообщении #800894 писал(а):

Вот берётся $P^n$ и говорится, что его гиперплоскости образуют дуальное проективное пространство. Как они образуют?

Гиперплоскостью в $\mathbb{R}P^n$ называется множество точек, однородные координаты которых удовлетворяют уравнению $\sum_{i=1}^{n+1} a_ix_i=0,\quad (a_1,\ldots, a_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1}\backslash\{0\}.$ Таким образом множество гиперплоскостей само образует проективное пространство с однородными координатами $(a_1,\ldots, a_{n+1})$