Кстати, я что-то не слышала о "метрическом" проективном пространстве.
На самом деле, это, конечно же, пространство Римана (эллиптическое пространство). Но поскольку Oleg Zubelevich так настаивает на привязке к

я подумал, что это свойство для него существенно.
По моему представлению, проективное пространство - это "болванка", добавляя в которую доп. структуры, получаем другие пространства.
Вот тут и могут крыться расхождения в терминологии.
А если введете метрику с помощью сферы, то и получите сферу.
Полусферу (пространство Римана = эллиптическое). Да.