Нормированная масса.

[anik]

Измерение величин представляет собой процедуру сопоставления конкретному значению величины некоторого числа. Обычно, какое-то фиксированное значение величины принимается за единицу измерения, затем берётся отношение измеряемой величины к величине принятой за единицу измерения. Величина, принятая за единицу измерения называется эталоном. Так на Земле (в СИ) за единицу измерения массы принят эталон – килограмм. (Вызывает недоумение тот факт, что единица измерения массы содержит в своём наименовании кратную приставку кило-).
Для задач небесной механики такой единицей измерения массы не пользуются, она весьма неудобна. Для задач астродинамики за единицу измерения масс принята масса Солнца. Массы планет измеряются обратными величинами. Так масса Земли равна не 1/332951,3, а 332951,3, т.е. обратной величиной. Массы других планет измеряются аналогично.
Однако масса в килограмм или масса Солнца, принятые за единицу – частное определение единицы измерения масс для частного круга задач. Мы хотим рассмотреть задачи изолированных систем материальных точек в самом общем случае. Здесь тоже встаёт вопрос о выборе единицы измерения массы.
Точки, входящие в систему, в общем-то, равноправны и нет оснований выбирать в качестве эталона массу одной из точек системы. Вполне естественно массу всей системы, т.е. сумму масс всех точек системы, принять за единицу измерения масс.

$$M=m_1+m_2+m_3+...+m_n=1$$

При этом масса каждой точки системы будет выражаться положительным числом меньшим единицы. Такие массы будем называть нормированными. Отношения масс точек при нормировании не изменяется. Использование нормированных масс упрощает некоторые формулы. Например, формула для нахождения ЦМ системы будет выглядеть так:

$$\vec\rho=m_1\vec R_{11}+m_2\vec R_{12}+...+m_n\vec R_{1n}$$

Вектор $\vec R_{ij}$, проведённый в точку $m_j$ и домноженный на массу этой точки можно назвать материализованным вектором или м-вектором. Тогда справедлива следующая теорема: сумма м-векторов, проведённых из любой точки системы к остальным точкам, даёт вектор $\vec\rho$, указывающий на центр масс системы.

[Joker_vD]

Ну здорово. Одной буквой в формулах будет меньше. Обсудить-то вы что хотите? Можно ли так делать? Можно.

[anik]

Когда формулы громоздки, то экономия и в одну букву много значит, тем более эта лишняя буква находится в знаменателе, каждую массу нужно на неё делить. Вы же знаете "природа стремится к совершенству".
А если задуматься, то можно понять, что для решения задач динамики изолированных систем точек, систему отсчёта следует помещать в ЦМ системы, а не в одну из точек системы. Точки системы равноправны, и выбор одной из них в качестве начала СО ошибочен, а в качестве эталона массы ничем не оправдан.
Попробуйте сформулировать правило: какую из материальных точек системы следует принять в качестве эталона массы?

[myhand]

https://en.wikipedia.org/wiki/N-body_units

[anik]

myhand Я английский не знаю, но формулы посмотрел. Как я понял, там не вводится понятие нормированной массы, а ЦМ определяется через геометрическую точку пространства, помещённую в пустоту, что, на мой взгляд, неправильно.
В моей формуле ЦМ определяется через точки самой системы.

[Munin]

anik в сообщении #715365 писал(а):

Когда формулы громоздки, то экономия и в одну букву много значит

Нет, немного. Когда формулы громоздки, то используются другие способы их упростить. Например, целую большую формулу могут обозначать одной буквой, и дальше с этой буквой строить другие большие формулы.

[migmit]

Потеряем статическую типизациюразмерность.

[myhand]

Munin в сообщении #715449 писал(а):

Нет, немного. Когда формулы громоздки, то используются другие способы их упростить.

Более важно другое - в реальных задачах удобны реальные масштабы, а не попугаи в виде "сорокамильонной части парижского меридиана"... Вот почему то, о чем пытается на своем птичьем языке порассуждать автор топика - используется в астрофизике.

[Munin]

myhand в сообщении #715488 писал(а):

Более важно другое - в реальных задачах удобны реальные масштабы

Да вообще не раздувают в реальных задачах важность масштаба. Хоть в попугаях считают, хоть в слонёнках. Это весьма частный вопрос, играющий роль только в вопросах типа теоремы вириала, или масштабного подобия в гидродинамике.

[myhand]

Munin в сообщении #715518 писал(а):

Да вообще не раздувают в реальных задачах важность масштаба.

Ну-ну... Бабушку свою учите щи варить, а астрономов не трогайте. Сомневаюсь, что каждому второму что-то скажет масса $1.9\times 10^{27}\,{\rm kg}$.

Помимо прочего, в зависимости от той или иной системы единиц - может страдать точность, с которой измеряются те или иные параметры. Простой пример - те же массы небесных тел в астрономии. Киллограммы отдыхают.

[Munin]

myhand в сообщении #715544 писал(а):

Ну-ну... Бабушку свою учите щи варить, а астрономов не трогайте.

Я астрономов и не трогаю.

myhand в сообщении #715544 писал(а):

Сомневаюсь, что каждому второму что-то скажет масса $1.9\times 10^{27}\,{\rm kg}$

Если не скажет - так пересчитает в $M_{\odot}$ на калькуляторе. Минутное дело.

myhand в сообщении #715544 писал(а):

Помимо прочего, в зависимости от той или иной системы единиц - может страдать точность, с которой измеряются те или иные параметры.

Если неаккуратно пользоваться той или иной системой единиц. А так - не может.

[anik]

Цитата:

Центpом масс системы называется геометpическая точка $C$, pадиус-вектоp котоpой

$$\vec r_c=\frac{\Sigma m_k\vec r_k}{M}\eqno (1.117)$$

Что-то такое определение мне не нравится, какое-то оно неконструктивное.

Центром масс системы $k$ материальных точек $m_i$ называется геометрическая точка $C$, для которой

$$\frac{\Sigma m_i\vec r_{ci}}{M}=0\eqno (*)$$

где: $\vec r_{ci}$ - векторы, проведённые из центра масс ко всем точкам системы; $M$ - масса всех точек системы.
Такое определение подчёркивает характерное свойство, присущее единственной геометрической точке, которая и называется центром масс.
С учётом нормированных масс формула (*) будет выглядеть так:

$$\Sigma m_i\vec r_{ci}=0.$$

[iifat]

anik в сообщении #716219 писал(а):

С учётом нормированных масс формула (*) будет выглядеть так:

Формула будет выглядеть именно так, нормированные массы или нет. А 1.117 -- это не определение, а решение данного уравнения. Обычно. Впрочем, что из этих двух равносильных формул рассматривать как определение, а что как простейшее следствие -- таки несущественно, по-моему.

-- 27.04.2013, 22:24 --

anik в сообщении #716219 писал(а):

Что-то такое определение мне не нравится, какое-то оно неконструктивное.

Кстати говоря, именно эта формула заслуживает громкого титула "конструктивное". Та, другая -- уравнение, решением которого будет ЦМ; первая -- как раз способ построения.

-- 27.04.2013, 22:26 --

anik в сообщении #715382 писал(а):

Как я понял, там не вводится понятие нормированной массы, а ЦМ определяется через геометрическую точку пространства, помещённую в пустоту, что, на мой взгляд, неправильно

Вообще-то, там определяются, как понимаю, и нормированные массы, и нормированные расстояния. Да ещё и гравитационную постоянную умудряются как-то нормализовать, не нашёл только, как -- похоже, и сила не в ньютонах измеряется.

[myhand]

Munin в сообщении #715590 писал(а):

myhand в сообщении #715544 писал(а):

Сомневаюсь, что каждому второму что-то скажет масса $1.9\times 10^{27}\,{\rm kg}$

Если не скажет - так пересчитает в $M_{\odot}$ на калькуляторе. Минутное дело.

Ну-ну. Но не раньше как заглянет в справошник ради узнавания того, сколько попугаевкиллограмов в этой вашей $M_{\odot}$ :)

Munin в сообщении #715590 писал(а):

myhand в сообщении #715544 писал(а):

Помимо прочего, в зависимости от той или иной системы единиц - может страдать точность, с которой измеряются те или иные параметры.

Если неаккуратно пользоваться той или иной системой единиц. А так - не может.

Прежде чем утверждать подобные безграмотные вещи - полюбопытствуйте в чем измеряют массы астрономы и с какой точностью они порой известны. А также, с какой точностью известна $G$ в СИ.

[iifat]

myhand в сообщении #716243 писал(а):

А также, с какой точностью известна $G$ в СИ

А что, (относительная) точность физической константы зависит от системы единиц? Не, если нормализовать, то она будет равна единице с абсолютной точностью, разумеется. Но это просто означает, что ошибка измерения перенесена в другие параметры, вот и всё.