Нормированная масса.

[myhand]

iifat в сообщении #716246 писал(а):

А что, (относительная) точность физической константы зависит от системы единиц?

Да.

iifat в сообщении #716246 писал(а):

Но это просто означает, что ошибка измерения перенесена в другие параметры, вот и всё.

Да, "всего лишь".

[Oleg Zubelevich]

anik в сообщении #715353 писал(а):

Точки, входящие в систему, в общем-то, равноправны и нет оснований выбирать в качестве эталона массу одной из точек системы. Вполне естественно массу всей системы, т.е. сумму масс всех точек системы, принять за единицу измерения масс.

$$M=m_1+m_2+m_3+...+m_n=1$$

При этом масса каждой точки системы будет выражаться положительным числом меньшим единицы. Такие массы будем называть нормированными. Отношения масс точек при нормировании не изменяется. Использование нормированных масс упрощает некоторые формулы.

любые размерно независимые константы всегда можно принимать равными единице. в задачах механики размерно независимых констант бывает не больше трех. Например в задаче о физическом маятнике не сужая общности можно считать, что масса, расстояние от центра масс до точки подвеса и ускорение свободного падения равны единице. Ну и зачем столько пафоса вокруг общеизвестных вещей?

[anik]

iifat в сообщении #716231 писал(а):

Кстати говоря, именно эта формула заслуживает громкого титула "конструктивное". Та, другая -- уравнение, решением которого будет ЦМ; первая -- как раз способ построения.

По поводу конструктивности Вы пожалуй правы, моя формула менее конструктивна. Мне следовало бы использовать другой термин: не характеристична, что-ли. Моя формула указывает на специфическое свойство ЦМ, которым он и только он обладает.

-- Сб апр 27, 2013 19:43:12 --

Определение должно описывать объект и его свойства, независимо от того, существует ли этот обект вообще. Доказательство факта существования и способы построения (нахождения) объекта - это другой этап.

[Munin]

anik в сообщении #716219 писал(а):

Цитата:

Центpом масс системы называется геометpическая точка $C$, pадиус-вектоp котоpой

$$\vec r_c=\frac{\Sigma m_k\vec r_k}{M}\eqno (1.117)$$

Что-то такое определение мне не нравится, какое-то оно неконструктивное.

Центром масс системы $k$ материальных точек $m_i$ называется геометрическая точка $C$, для которой

$$\frac{\Sigma m_i\vec r_{ci}}{M}=0\eqno (*)$$

где: $\vec r_{ci}$ - векторы, проведённые из центра масс ко всем точкам системы; $M$ - масса всех точек системы.
Такое определение подчёркивает характерное свойство, присущее единственной геометрической точке, которая и называется центром масс.

А теперь смотрите внимательно. $\vec{r}_{ci}=\vec{r}_i-\vec{r}_c.$

$$0=\frac{\sum m_i\vec{r}_{ci}}{M}=\frac{\sum m_i(\vec{r}_i-\vec{r}_c)}{M}=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{M}-\vec{r}_c\frac{\sum m_i}{M}=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{M}-\vec{r}_c\quad\Longleftrightarrow$$

$$\Longleftrightarrow\quad \vec{r}_c=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{M}$$

-- 27.04.2013 20:40:16 --

myhand в сообщении #716243 писал(а):

Но не раньше как заглянет в справошник ради узнавания того, сколько киллограмов в этой вашей $M_{\odot}$ :)

Поэтому я и сказал "минутное", а не "секундное". Гугль у каждого под рукой.

myhand в сообщении #716243 писал(а):

Прежде чем утверждать подобные безграмотные вещи - полюбопытствуйте в чем измеряют массы астрономы и с какой точностью они порой известны. А также, с какой точностью известна $G$ в СИ.

Только не делайте вид, что те же самые факты с той же самой точностью нельзя выразить в любой системе единиц, например, используя выражения вида $M/M_{\odot}.$ Хоть в гигаэлектронвольтах.

Не путайте удобство с реальным непреодолимым препятствием.

-- 27.04.2013 20:42:02 --

Oleg Zubelevich в сообщении #716252 писал(а):

в задачах механики размерно независимых констант бывает не больше трех.

А если привлечь явления трения, диссипации, вязкости?

-- 27.04.2013 20:44:43 --

anik в сообщении #716257 писал(а):

Определение должно описывать объект и его свойства, независимо от того, существует ли этот обект вообще. Доказательство факта существования и способы построения (нахождения) объекта - это другой этап.

Вообще-то, доказательство существования обязано быть в той же точке, что и определение.

[myhand]

Munin в сообщении #716349 писал(а):

myhand в сообщении #716243 писал(а):

Прежде чем утверждать подобные безграмотные вещи - полюбопытствуйте в чем измеряют массы астрономы и с какой точностью они порой известны. А также, с какой точностью известна $G$ в СИ.

Только не делайте вид, что те же самые факты с той же самой точностью нельзя выразить в любой системе единиц, например, используя выражения вида $M/M_{\odot}.$ Хоть в гигаэлектронвольтах.

Нельзя. Задумайтесь, на безразмерных отношениях все не заканчивается. Так в астрономии вас заинтересует $M_{\odot}$, а не только отношения масс.

Munin в сообщении #716349 писал(а):

Не путайте удобство с реальным непреодолимым препятствием.

Реальность заключается в том, что измерения $G$ - пока недостаточно точны, чтобы СИ имела смысл для астрономии. Так мир устроен, к удобствам это не имеет отношения.

[graviton]

myhand в сообщении #716365 писал(а):

Реальность заключается в том, что измерения $G$ - пока недостаточно точны, чтобы СИ имела смысл для астрономии.

Вообще-то раньше как-то без $G$ обходились, да и сейчас не сильно напрягаются по этому поводу.
Что мешает считать произведение $GM$ для светила, полноценной константой? Для расчётов траекторий вполне достаточно.

[A-u-uuu]

anik в сообщении #715353 писал(а):

Точки, входящие в систему, в общем-то, равноправны и нет оснований выбирать в качестве эталона массу одной из точек системы. Вполне естественно массу всей системы, т.е. сумму масс всех точек системы, принять за единицу измерения масс.

Была уже любопытная тема Построение классической механики на кинематических принципах, упекли в пургаторий.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #716349 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #716252 писал(а):
в задачах механики размерно независимых констант бывает не больше трех.

А если привлечь явления трения, диссипации, вязкости?

привлеките

[anik]

Munin в сообщении #716349 писал(а):

А теперь смотрите внимательно. $\vec{r}_{ci}=\vec{r}_i-\vec{r}_c.$

$$0=\frac{\sum m_i\vec{r}_{ci}}{M}=\frac{\sum m_i(\vec{r}_i-\vec{r}_c)}{M}=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{M}-\vec{r}_c\frac{\sum m_i}{M}=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{M}-\vec{r}_c\quad\Longleftrightarrow$$

$$\Longleftrightarrow\quad \vec{r}_c=\frac{\sum m_i\vec{r}_i}{M}$$

Нет. $\vec r_{ci}$ это вектор проведённый из центра масс $C$ в точку $m_i$.
Что за векторы у Вас $\vec r_i$ и $\vec r_c$, я не знаю.
А теперь смотрите внимательно.

$$\Sigma m_ir_{ci}=0\eqno (1)$$

по определению ЦМ. Здесь массы нормированы.
Проведём из произвольной точки системы, например точки $m_1$, векторы $\vec r_{1i}$ ко всем оставшимся точкам системы и рассмотрим векторную сумму соответствующих материализованных векторов $m_i\vec r_{1i}$. Эта векторная сумма даст нам вектор $\vec\rho_{1c}$, который указывает на ЦМ системы.

$$\vec\rho_{1c}=\Sigma m_i\vec r_{1i}\eqno (2)$$

Докажем это.
Для каждого вектора $\vec r_{1i}$ справедливо

$$\vec r_{1i}=\vec\rho_{1c}+\vec r_{ci}\eqno (3)$$

Подставим (3) в (2), получим:

$$\vec\rho_{1c}=\Sigma (m_i\vec\rho_{1c}+m_i\vec r_{ci})=\Sigma m_i\vec\rho_{1c}+\Sigma m_i\vec r_{ci}=\vec\rho_{1c}\Sigma m_i+\Sigma m_i\vec r_{ci}=\vec\rho_{1c}$$

Учитывая (1) и что $\Sigma m_i=1$. Что и требовалось доказать.

[Munin]

myhand в сообщении #716365 писал(а):

Нельзя. Задумайтесь, на безразмерных отношениях все не заканчивается.

Разумеется, я не говорил, что всё выражается только ими. Но недостаток точности тех или иных констант так можно восполнить легко.

myhand в сообщении #716365 писал(а):

Реальность заключается в том, что измерения $G$ - пока недостаточно точны, чтобы СИ имела смысл для астрономии.

А я и не говорю, что СИ имеет смысл для астрономии. Я скорее на позиции Окуня: каждая область требует своих единиц измерения. Барны, звёздные величины, дальтоны, kilo base pairs, галы - всё это в прокрустово ложе СИ укладывать нет никакого смысла. Но это всё-таки вопрос удобства, а не абсолютного барьера.

graviton в сообщении #716368 писал(а):

Что мешает считать произведение $GM$ для светила, полноценной константой? Для расчётов траекторий вполне достаточно.

Так и делают. Если меня не глючит, myhand прямо намекает, что для Солнца эта константа известна точнее, чем $G$ и $M$ по отдельности.

-- 27.04.2013 23:36:12 --

anik в сообщении #716396 писал(а):

Нет. $\vec r_{ci}$ это вектор проведённый из центра масс $C$ в точку $m_i$.
Что за векторы у Вас $\vec r_i$ и $\vec r_c$, я не знаю.

Это то, что у вас в цитате

anik в сообщении #716219 писал(а):

Цитата:

Центpом масс системы называется геометpическая точка $C$, pадиус-вектоp котоpой

$$\vec r_c=\frac{\Sigma m_k\vec r_k}{M}\eqno (1.117)$$

обозначено, соответственно, $\vec{r}_k$ и $\vec{r}_c.$

anik в сообщении #716396 писал(а):

А теперь смотрите внимательно.

То, что вы написали - банальность. То, что я написал - демонстрация, что две формулировки связаны цепочкой эквивалентных преобразований. Причём, к одной формулировке вы придирались, а другую предлагали как свою эталонную. Теперь понятно, что вы написали чушь?

[myhand]

Munin в сообщении #716421 писал(а):

myhand в сообщении #716365 писал(а):

Нельзя. Задумайтесь, на безразмерных отношениях все не заканчивается.

Разумеется, я не говорил, что всё выражается только ими. Но недостаток точности тех или иных констант так можно восполнить легко.

Не то что "легко" - а вовсе даже не очевидно что возможно в принципе. И уж никак на данный момент не восполнимо практически.

Munin в сообщении #716421 писал(а):

Если меня не глючит, myhand прямо намекает, что для Солнца эта константа известна точнее, чем $G$ и $M$ по отдельности.

Да, именно на этот факт и "намекает".

[Munin]

Ну и что? Кто мешает записать $GM$ в килограммах? Точнее в чём там...

[myhand]

Munin в сообщении #716466 писал(а):

Ну и что? Кто мешает записать $GM$ в килограммах?

Записать-то ничто не мешает. Практической пользы от этого - нуль, только потеря точности. А так - можно и в массах Веги "записать"... Мало-ли что массу Земли от Юпитера не отличить - эка важность...

[iifat]

anik в сообщении #716396 писал(а):

Нет. $\vec r_{ci}$ это вектор проведённый из центра масс $C$ в точку $m_i$

Абсолютно. Именно это и написал вам Munin. Что же до дальнейшего доказательства, оно в точности повторяет уже вам приведённое, за исключением совершенно непонятного и ненужного сужения на системы с центром непременно в одной из точек.
И что нам призвано продемонстрировать это доказательство?

-- 28.04.2013, 14:39 --

Виноват, у Munin $\vec{r}_{ci}$ -- вектор из $m_i$ в центр масс. Что на дальнейшее не влияет.

[anik]

iifat в сообщении #716493 писал(а):

Что же до дальнейшего доказательства, оно в точности повторяет уже вам приведённое, за исключением совершенно непонятного и ненужного сужения на системы с центром непременно в одной из точек.И что нам призвано продемонстрировать это доказательство?

Допустим, задано каким-либо образом взаимное расположение $k$ точек системы материальных точек. Это означает, что мы можем найти любой вектор $\vec r_{ij}$. По моим формулам теперь не составляет труда рассчитать положение ЦМ. Вот для этого и проводятся материализованные векторы из одной из точек системы. Все векторы, которые при этом получаются нам известны, т.к. известно взаимное распложение точек.
Если мы возьмём произвольную геометрическую точку $O$ в пустоте и от неё проведём векторы к оставшимся точкам системы, то становится непонятным, что мы определяем, ту произвольную точку $O$ или центр масс системы. Появляются лишние неизвестные векторы.
Вы повидимому не решали практических задач, или решали как в армии, через одно место.