Откуда берется формула центра масс?

[dirner]

lunya в сообщении #624105 писал(а):

Извините, если я задаю банальные вопросы. У меня возник один вопрос, ответа на который я нигде не нашла. Во всех учебниках, что мне попадались (около десятка), в том числе и учебниках для высших учебных заведений, авторы вводят формулу для определения центра масс в виде:



Причем формула эта вводится в виде определения!!!

Потом на ее основе показывают какими преимуществами обладают системы центра масс и т.д. и т.п. Но лично для меня данная формула не является тривиальной... Ощущение такое, что ее взяли с потолка, а потом показали какая она хорошая и как много хорошего из нее следует. Меня интересует - откуда взялась эта формула? На основе каких рассуждений? Как к ней пришли?

Эта формула происходит из классической механики. Грубо говоря, это означает, что тело является полностью замкнутой системой и ускорение тела зависит целиком от действия внешних сил. Эта формула исходит из теоремы о движении центра масс системы, которая, в свою очередь из теоремы о кинетической энергии системы, из которой также следует закон сохранения механической энергии - частного случая общего закона сохранения энергии, который был сформулирован для закрытых систем на основе термодинамики. Фактически, любой формализм называется "заткнись и решай".
Например для Лоренцевых сил, закон сохранения энергии не выполняется, поэтому часто писатели учебников заменяют центр масс центром инерции для релятивистской физики и сводят все рассуждения к закону сохранения импульса.
Любой закон не выполняется в частных случаях - это соответствует цели написания законов. Если вы опытно-экспериментальным путем фиксируете нарушение той или иной формулы - вы идете правильным путем.

[Munin]

dirner в сообщении #973751 писал(а):

частного случая общего закона сохранения энергии, который был сформулирован для закрытых систем на основе термодинамики.

А потом переформулирован для произвольных систем на основе вектора Умова и теоремы Нётер.

dirner в сообщении #973751 писал(а):

Например для Лоренцевых сил, закон сохранения энергии не выполняется

Закон сохранения механической энергии. А закон сохранения полной энергии - выполняется.

dirner в сообщении #973751 писал(а):

Любой закон не выполняется в частных случаях

Не в частных, а в граничных. За пределами области действия закона.

[lunya]

svv в сообщении #973285 писал(а):

lunya
Сивухин, Общий курс физики, том 1, параграф «Аддитивность и закон сохранения массы».

Слушайте, это понятно...

Просто в контексте такой задачи: если предположить существование точки, которой можно заменить все тело с сохранением для нее основного закона движения (исходя из опытов с подбрасыванием тела), то заранее неизвестно, что такая точка будет существовать вообще, а если будет, то такая, что для нее чудесным образом, и причем одновременно: и массы точек (входящих в систему) сложаться аддитивно, и силы приложенные к точкам системы линейно, и радиус-вектор определится так просто.

[Munin]

Да, заранее неизвестно. Это следует из уравнений механики. И кстати, если немного поменять эти уравнения механики (например, сделать их релятивистскими, или добавить влияние окружающей среды, или мало ли что) - то это перестанет следовать.

[lunya]

Munin в сообщении #973828 писал(а):

Да, заранее неизвестно. Это следует из уравнений механики. И кстати, если немного поменять эти уравнения механики (например, сделать их релятивистскими, или добавить влияние окружающей среды, или мало ли что) - то это перестанет следовать.

А можно какой-нибудь правдоподобный пример с влиянием окружающей среды, но с "классической массой".
Интересно...

[arseniiv]

lunya, svv же на предыдущей странице весь переход описал (прекрасно описал, мне нравится! Я сразу даже забыл, видел ли где-то до этого такое же описание). Разве что я бы сделал его описание ещё прозрачнее: раз у нас $m_1\ddot{\mathbf r}_1+\ldots+m_n\ddot{\mathbf r}_n = \mathbf F$, и мы хотим найти какие-то $m,\mathbf r$, чтобы было $m\ddot{\mathbf r} = \mathbf F$, то не будем гадать, а сразу и приравняем: $m\ddot{\mathbf r} = m_1\ddot{\mathbf r}_1+\ldots+m_n\ddot{\mathbf r}_n$, откуда делением на массу и интегрированием по времени два раза приходим к

$$\mathbf r = \frac1m(m_1\mathbf r_1+\ldots+m_n\mathbf r_n) + \mathbf C_1t + \mathbf C_2.$$

Казалось бы, взять теперь и положить константы равными нулю — но! прозрачность продолжается. Примем, что центр масс материальной точки — это она сама, и получим для $n = 1$, что

$$\mathbf r = \mathbf r_1 + \mathbf C_1t + \mathbf C_2,$$

откуда тождественная нулевость констант уже очевидна.

P. S. Ой, я неправильно прочитал вопрос. Но дополнение всё равно полезное.

-- Чт фев 05, 2015 05:47:13 --

Ой, я и сообщение svv неаккуратно прочитал, кошмар. Контекст поста в итоге совсем неправильный, а корректировать как-то лень…

-- Чт фев 05, 2015 05:52:45 --

(На самом деле, если мы для одной точки получили нулевые $\mathbf C_i$, это не значит ничего для случаев многих точек. Положение спасает постулат, что центр масс системы не изменится, если некоторые её подсистемы заменить на точки с суммарными массами, расположенные в центрах масс этих подсистем. Суммарность масс тут не нужна и сама выведется, если вместо центра масс сразу ввести «эквивалентную точку» — материальную точку, находящуюся в центре масс и совпадающую с единственной точкой одноэлементной системы. Теперь уже точно все соображения перечислены.)

[Munin]

lunya в сообщении #973841 писал(а):

А можно какой-нибудь правдоподобный пример с влиянием окружающей среды, но с "классической массой".
Интересно...

Можно ввести просто вязкое трение $\mathbf{F}=-k\mathbf{v}.$

[lunya]

arseniiv в [url=http://dxdy.ru/post973855.html#p973855] писал(а):

Положение спасает постулат, что центр масс системы не изменится, если некоторые её подсистемы заменить на точки с суммарными массами, расположенные в центрах масс этих подсистем.

Ага, не столько постулат, сколько дополнительные попутные требования или определения. Их можно ввести по разному, но все они будут в итоге эквивалентными.

Munin в сообщении #973979 писал(а):

lunya в сообщении #973841 писал(а):

А можно какой-нибудь правдоподобный пример с влиянием окружающей среды, но с "классической массой".
Интересно...

Можно ввести просто вязкое трение $\mathbf{F}=-k\mathbf{v}.$

Тогда можно попробовать переопределить центр масс в такой среде.

[Munin]

lunya в сообщении #974002 писал(а):

Тогда можно попробовать переопределить центр масс в такой среде.

Ну что ж, пробуйте! Эта попытка откроет вам глаза, надеюсь.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Есть такой момент. Интуитивно понятие центра масс очень естественно, это красивое понятие, как все другие фундаметальные понятия. Когда это чувствуешь, то не возникает вопроса "откуда это взялось?", скорее возникает вопрос "как я сам до этого не догадался?" или ощущение, что я всегда это понимал, но только сейчас мне строго и четко это объяснили. Если понятие центра масс кажется странным, натянутым, то я думаю, это сильный сигнал к тому, что ни математической ни физической интуиции нет, и может, стоит заняться чем-то , другим, к чему есть способности. Нельзя заниматься музыкой если нет слуха.

[Munin]

Oleg Zubelevich
Хорошо подмечено.

[unistudent]

Oleg Zubelevich в сообщении #974256 писал(а):

Если понятие центра масс кажется странным, натянутым, то я думаю, это сильный сигнал к тому, что ни математической ни физической интуиции нет, и может, стоит заняться чем-то , другим, к чему есть способности. Нельзя заниматься музыкой если нет слуха.

(Оффтоп)

А меня учили, что если всё вокруг стало казаться понятным, значит пора собирать чемоданы... суть не в том, есть слух или нет. Скука жуткая. А в том, чтобы научиться слышать, что при желании всегда возможно

[Munin]

(Оффтоп)

Ну если долгие мучительные годы ничего, без результата, то может быть да, может быть, желания недостаточно - но это уже не важно, желания недостаточно, или какие-то ещё причины.

[schekn]

Цитата:

Oleg Zubelevich

А заметили, что уже 13 страниц новичку пытаются опытные специалисты объяснить , что это?
Либо вопрос не такой тривиальный, либо специалисты никуда не годны.

[Geen]

Oleg Zubelevich в сообщении #974256 писал(а):

(Оффтоп)

Есть такой момент. Интуитивно понятие центра масс очень естественно, это красивое понятие, как все другие фундаметальные понятия. Когда это чувствуешь, то не возникает вопроса "откуда это взялось?", скорее возникает вопрос "как я сам до этого не догадался?" или ощущение, что я всегда это понимал, но только сейчас мне строго и четко это объяснили. Если понятие центра масс кажется странным, натянутым, то я думаю, это сильный сигнал к тому, что ни математической ни физической интуиции нет, и может, стоит заняться чем-то , другим, к чему есть способности. Нельзя заниматься музыкой если нет слуха.

Есть и другой вариант - красота "вырожденного случая"....