Идеальная школьная программа по математике

[Shtorm]

nnosipov в сообщении #602528 писал(а):

Shtorm в сообщении #602524 писал(а):

А зато посмотрите - какой элегантный и простой ответ! А главное - удобный ответ!

Можно подумать, в том решении он другой.

Предположим, по тому решению нужно написать конкретное уравнение плоскости: Наугад пишем две координаты вектора нормали и из уравнения - находим третью координату. Все три координаты подставляем в уравнение плоскости, раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые.

Предположим, по моему решению нужно написать конкретное уравнение плоскости: наугад пишем коэффициенты альфа и бетта, подставляем в уравнение плоскости, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

А теперь сравните, где алгоритм короче.

[nnosipov]

Shtorm в сообщении #602540 писал(а):

А теперь сравните, где алгоритм короче.

А зачем? Ведь совершенно ясно, как привести то, что получилось у профессора, к тому виду, который Вам кажется лучшим. Ещё раз: решать нелинейные задачи там, где этого можно избежать, глупо.

[Shtorm]

nnosipov в сообщении #602546 писал(а):

А зачем? Ведь совершенно ясно, как привести то, что получилось у профессора, к тому виду, который Вам кажется лучшим.

Для этого необходимо подобрать два неколлинеарных вектора нормали плоскостей, проходящих через эту прямую. То есть получается, сначала мы решаем так как решил Профессор Снэйп, а затем методом подбора находим два неколлинеарных вектора, чтобы подставить в уравнение пучка плоскостей. И зачем нам двойная работа, когда можно подобрать сразу - в том методе, который у меня. Кстати, несмотря на нелинейность системы из трёх уравнений - там подбирается всё довольно легко.

[Профессор Снэйп]

Ребят, о чём мы тут спорим? Моё решение даёт алгоритм проверки того, удовлетворяет ли заданная уравнением плоскость условию задачи. Просто подставляем коэффициенты в равенство и смотрим, выполняется ли оно. Предложенное впоследствии "параметрическое" решение даёт алгоритм порождения всех решений: подставляем различные действительные $y$ и $z$, получаем все возможные наборы коээфициентов в уравнении плоскости. Два принципиально разных способа задания ответа: глупо спорить, какой из них лучше.

[svb]

Мне кажется, что школьники должны уметь "раскрывать скобки", поэтому следующая запись для них не покажется таинственной:
$\left( {A_1 {\bf i} + B_1 {\bf j} + C_1 {\bf k}} \right)\left( {A_2 {\bf i} + B_2 {\bf j} + C_2 {\bf k}} \right) $
Далее рассказать про "правило буравчика" и тема закрыта.

[nnosipov]

Shtorm в сообщении #602551 писал(а):

Для этого необходимо подобрать два неколлинеарных вектора нормали плоскостей, проходящих через эту прямую.

Это Ваши домыслы, я имел в виду совершенно другое. Уравнение плоскости в виде $A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0$, где $A+2B+3C=0$, можно упростить, заменив в нём $A$ на $-2B-3C$. Получится ровно то, что Вы хотели, и совершенно автоматически, без каких бы то ни было подборов. Почему они Вам всюду мерещатся, непонятно.

-- Пт авг 03, 2012 12:24:28 --

Shtorm в сообщении #602551 писал(а):

Кстати, несмотря на нелинейность системы из трёх уравнений - там подбирается всё довольно легко.

Мартышкин труд.

[ewert]

nnosipov в сообщении #602546 писал(а):

решать нелинейные задачи там, где этого можно избежать, глупо.

Это как сказать. Допустим, три точки заданы своими координатами. И надо найти точку, равноудалённую от них (ну или соотв. прямую, если в пространстве). Как проще всего решать эту задачу?...

[nnosipov]

ewert в сообщении #602620 писал(а):

Это как сказать.

Применительно к той конкретной задачи --- очевидно, глупо. Вы стали бы объяснять студентам её решение так, как советует Shtorm? Что касается Вашей задачи, то надо подумать. Будет время, поразмышляю.

[ewert]

nnosipov в сообщении #602623 писал(а):

Вы стали бы объяснять студентам её решение так, как советует Shtorm?

Я не стал его даже читать -- слишком длинно.

-- Пт авг 03, 2012 11:05:40 --

nnosipov в сообщении #602623 писал(а):

Что касается Вашей задачи, то надо подумать.

Там не думать надо, а тупо составить систему из двух уравнений: $|AM|^2=|BM|^2$ и $|AM|^2=|CM|^2$. Уравнения выйдут квадратными. Правда, квадраты мгновенно сократятся (и не удивительно, ведь геометрически-то задача линейная), но изначально они -- квадратные.

[Dancingchicken]

Друзья, пару слов о первоначальной теме

Как вы думаете, повисит ли желание и заинтересованность учеников новая, более усовершенствованная программа по математике?

Ведь опыт показывает, что те кто жаждал знаний, готов был преодолевать любые трудности.

Я ни в коем случае не говорю, что не нужно ничего преобразовывать, но подумать о мотивационном аспекте обучения возможно было бы продуктивно?

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #602625 писал(а):

nnosipov в сообщении #602623 писал(а):

Вы стали бы объяснять студентам её решение так, как советует Shtorm?

Я не стал его даже читать -- слишком длинно.

+ 1 Поддерживаю. Тоже не читал, отметил лишь, что многа букафф.

Плоскость проходит через заданную точку, вектор нормали этой плоскости перпендикулярен заданному вектору. Зачем решать какие-то системы?

[nnosipov]

ewert в сообщении #602625 писал(а):

Там не думать надо, а тупо составить систему из двух уравнений: $|AM|^2=|BM|^2$ и $|AM|^2=|CM|^2$.

Можно, конечно, и так вывести уравнение серединного перпендикуляра, особенно если нам перед этим уже рассказали про фокус с радикальной осью двух окружностей. При этом написать это самое уравнение "в лоб" тоже ведь небольшая проблема.

-- Пт авг 03, 2012 14:46:56 --

Профессор Снэйп в сообщении #602636 писал(а):

Тоже не читал, отметил лишь, что многа букафф.

А я вот прочитал.

[ewert]

nnosipov в сообщении #602641 писал(а):

При этом написать это самое уравнение "в лоб" тоже ведь небольшая проблема.

Я имел в виду в первую очередь плоскую задачу. Там геометрическое решение -- через систему уравнений двух срединных перпендикуляров -- оказывается очевидно линейным, но логически довольно занудным, да и считать придётся, наверное, несколько дольше, чем в чисто аналитическом решении (через приравнивание расстояний).

Любопытно, что трёхмерное обобщение задачи, если его аккуратно сформулировать: "найти геометрическое место точек, равноудалённых от трёх данных", оказывается логически даже проще, чем двумерный вариант. Поскольку тут, в отличие от двумерного случая, никаких геометрических соблазнов не возникает, в то время как аналитический способ прямо-таки напрашивается самой формулировкой задачи.

Вот ещё одна задачка, где нелинейный подход как минимум не хуже, а в чём-то и лучше линейного: найти проекцию точки на прямую. Её можно решать многими способами; вот два крайних (на мой взгляд):

1). Геометрический (заведомо линейный): провести через точку плоскость, перпендикулярную прямой, и потом найти точку пересечения прямой с этой плоскостью.

2). Аналитический (нелинейный): минимизировать квадрат расстояния от той точки до точек прямой, выразив его через параметр из параметрического уравнения прямой.

Не знаю, какой из них лучше. Эффективнее, наверное, всё-таки второй. Но с точки зрения понимания геометрического смысла задачи -- наверное, первый.

[nnosipov]

ewert в сообщении #602650 писал(а):

Поскольку тут, в отличие от двумерного случая, никаких геометрических соблазнов не возникает ...

Лично у меня возник бы тот же соблазн --- написать уравнение серединной плоскости.

ewert в сообщении #602650 писал(а):

Не знаю, какой из них лучше. Эффективнее, наверное, всё-таки второй. Но с точки зрения понимания геометрического смысла задачи -- наверное, первый.

Такая же картина и с методом наименьших квадратов. На заочников производит неизгладимое впечатление, когда им пытаешься объяснить это геометрически (когда-то был у меня такой опыт) --- ведь в методичках обычно пишут только про аналитический подход.

[ewert]

nnosipov в сообщении #602680 писал(а):

Такая же картина и с методом наименьших квадратов. На заочников производит неизгладимое впечатление, когда им пытаешься объяснить это геометрически

Геометрически это как -- через псевдорешения, что ли?