Идеальная школьная программа по математике

[nnosipov]

ewert в сообщении #602686 писал(а):

Геометрически это как -- через псевдорешения, что ли?

Да. Нужно всего лишь уметь находить ортогональную проекцию, а это ведь одна из базовых задач в линейной алгебре.

[ewert]

Нет, через псевдорешения я рассказываю только дневникам. Вечерникам и заочникам уже не рискую (а у заочников ещё и часов не так много).

[nnosipov]

ewert в сообщении #602693 писал(а):

Нет, через псевдорешения я рассказываю только дневникам.

Я тоже. С заочниками только один раз имел дело, да и то случайно. Вот и поэкспериментировал :)

[Mathusic]

Shtorm в сообщении #602493 писал(а):

Чем это решение лучше, чем решение Профессора Снеэйпа ?

Ничем
Ваше не читал, но увидел определитель А у Профессора Снэйпа -- только школьная теория и в строчку!

Shtorm в сообщении #602493 писал(а):

А в решении Профессора Снеэйпа – каждый раз, когда мы хотим получить конкретное уравнение плоскости – необходимо будет подбирать координаты вектора нормали плоскости.

Две переменные свободные, третья выражается через остальные. О каком подборе речь вообще??

[ewert]

Кстати:

nnosipov в сообщении #602690 писал(а):

Нужно всего лишь уметь находить ортогональную проекцию, а это ведь одна из базовых задач в линейной алгебре.

Проблема в том, что им в курсе линейной алгебры про псевдорешения ничего не рассказывают, и мне приходится все эти проекции проговаривать самому. И если дневникам ещё можно об этом говорить (у них курс линейной алгебры всё-таки достаточно серьёзный, и к теореме о проекции, к понятию подпространства, сопряжённой матрицы и прочим смежным вещам они более-менее привыкли), то у вечерников все эти абстракции наверняка проскочат мимо ушей, не стоит даже и пытаться.

Но у меня в этой связи такой технический вопрос. Псевдорешением системы $A\vec\gamma=\vec f$ является решение системы $G\vec\gamma=\vec b$, где (в конечном счёте) $G$ -- это матрица Грама для столбцов матрицы $A$, т.е. $g_{ik}=(\vec a_k,\vec a_i)$ и, соответственно, $b_i=(\vec f,\vec a_i)$. А вопрос вот в чём. Всё это получается вполне автоматически, если невязку брать по евклидовой норме, порождённой стандартным скалярным произведением. Но ровно те же правила остаются в силе и тогда, когда используется произвольная евклидова норма, надо только брать для столбцов скалярные произведения соответствующего вида. И вот с формальным доказательством этого утверждения (которое само по себе внешне выглядит вполне естественно) у меня постоянно возникает какое-то занудство. Ну никак не удаётся обосновать на чисто геометрическом языке, приходится хоть немного, но повозиться с разными матричными манипуляциями. Как Вы с этим боретесь (если, конечно, вообще рассматриваете)?

[nnosipov]

ewert в сообщении #602710 писал(а):

Как Вы с этим боретесь (если, конечно, вообще рассматриваете)?

Не рассматривал такое. Но есть ощущение, что принципиально ничего не должно измениться. Экстремальное свойство ортогональной составляющей я доказываю в абстрактном евклидовом пространстве, $\mathbb{R}^n$ со стандартным скалярным произведением --- только один из возможных примеров.

[ewert]

nnosipov в сообщении #602723 писал(а):

Но есть ощущение, что принципиально ничего не должно измениться. Экстремальное свойство ортогональной составляющей я доказываю в абстрактном евклидовом пространстве, $\mathbb{R}^n$ со стандартным скалярным произведением --- только один из возможных примеров.

Да это-то само собой. Проблема в том, что непонятно, как из этих абстрактных соображений получить наиболее естественным образом те же (формально) правила для элементов матрицы и правой части. Давайте я напишу, как сам рассказываю, а Вы меня покритикуете.

Пусть $(\vec u,\vec v)_M\equiv(M\vec u,\vec v)$ -- скалярное произведение общего вида (под скобками без индекса понимается стандартное скалярное произведение) и, соответственно, $\|\vec u\|_M\equiv\sqrt{(\vec u,\vec u)_M}$. Псевдорешение относительно этой нормы определяется, естественно, системой того же вида, что и раньше, т.е. $A^*_MA\vec\gamma=A^*_M\vec f$, только вместо просто эрмитово сопряженной матрицы $A^*$ теперь следует использовать матрицу $A^*_M$, сопряжённую к $A$ относительно нового скалярного произведения:

$$(A^*_M\vec u,\vec v)_M\equiv(\vec u,A\vec v)_M\ \Leftrightarrow\ (MA^*_M\vec u,\vec v)\equiv(M\vec u,A\vec v)\ \Leftrightarrow\ (MA^*_M\vec u,\vec v)\equiv(A^*M\vec u,\vec v)\ \Leftrightarrow\ A^*_M=M^{-1}A^*M.$$

Т.е. решать предстоит систему $M^{-1}A^*MA\vec\gamma=M^{-1}A^*M\vec f$ или, что эквивалентно, $A^*MA\vec\gamma=A^*M\vec f$. Поскольку матрицы перемножаются по правилу "строка на столбец", для элементов матрицы $G=A^*MA$ и столбца $\vec b=A^*M\vec f$ имеем

$$g_{ik}=\vec a_i^*\cdot M\vec a_k=(M\vec a_k,\vec a_i)=(\vec a_k,\vec a_i)_M$$

(здесь $\vec a_i^*$ -- это $i$-я строка матрицы $A^*$, т.е. эрмитово сопряжённый $i$-й столбец матрицы $A$ и $M\vec a_k$ -- это $k$-й столбец матрицы $MA$) и, аналогично,

$$b_i=\vec a_i^*\cdot M\vec f=(M\vec f,\vec a_i)=(\vec f,\vec a_i)_M.$$

Вот такая тягомотина. Что здесь лишнее, или где лучше пойти в другую сторону, или на чём вообще можно сэкономить?...

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #602710 писал(а):

Проблема в том, что им в курсе линейной алгебры про псевдорешения ничего не рассказывают, и мне приходится все эти проекции проговаривать самому. И если дневникам ещё можно об этом говорить (у них курс линейной алгебры всё-таки достаточно серьёзный, и к теореме о проекции, к понятию подпространства, сопряжённой матрицы и прочим смежным вещам они более-менее привыкли), то у вечерников все эти абстракции наверняка проскочат мимо ушей, не стоит даже и пытаться.

Вечерники не знают, что такое подпространство и смежная матрица? Что это за линейная алгебра у них такая? Что она в себя включает, в таком случае?

[nnosipov]

ewert, с удовольствием это сделаю, но как-нибудь позже (сейчас разные дела отвлекают). Особой тягомотины в любом случае не вижу --- формулы пишутся сами собой, никаких замороченных конструкций не возникает --- только привычные студентам "бутерброды" типа $A^*MA$.

[ewert]

Munin в сообщении #602739 писал(а):

Вечерники не знают, что такое подпространство и смежная матрица? Что это за линейная алгебра у них такая?

Про смежную матрицу вечерники-то, может, и знают, да я вот -- нет.

Программа у них, естественно, несколько урезанная. Подпространства им наверняка рассказывали, а вот про эрмитово сопряжение -- уже не уверен. Только дело не в только том, что они слышали, а (и это существеннее) что у них улеглось в голове и стало привычным. Из того, что им рассказывали про подпространства, ещё не следует, что это понятие вошло в х обиходный язык. Тем более, что давали им это на первом курсе, а речь уже о третьем, и за эти годы абстрактные понятия линейной алгебры (в отличие от вычислительных) нематематическими дисциплинами не поддерживались.

-- Пт авг 03, 2012 16:29:32 --

nnosipov в сообщении #602744 писал(а):

Особой тягомотины в любом случае не вижу

Я имел в виду, что само утверждение выглядит гораздо идейнее, чем его доказательство; вот и хотелось бы иметь более геометричное обоснование. Правда, тут есть один настораживающий момент: наличие в доказательстве сокращения на матрицу $M^{-1}$ -- шаг совсем не геометричный (и, кстати, заранее не очевидный).

[Shtorm]

nnosipov в сообщении #602605 писал(а):

Уравнение плоскости в виде $A(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0$, где $A+2B+3C=0$, можно упростить, заменив в нём $A$ на $-2B-3C$. Получится ровно то, что Вы хотели, и совершенно автоматически, без каких бы то ни было подборов.

Убедили.

-- Пт авг 03, 2012 20:56:16 --

Mathusic в сообщении #602697 писал(а):

Shtorm в сообщении #602493 писал(а):

Чем это решение лучше, чем решение Профессора Снеэйпа ?

Ничем
Ваше не читал, но увидел определитель А у Профессора Снэйпа -- только школьная теория и в строчку!

Ну будем считать, что моё решение - для продвинутого физмат класса с олимпийским уклоном И плюс ко всему прочему - тема занятия была - применение определителя и векторного произведения векторов. То есть при решении задач - нужно было обязательно это использовать.

-- Пт авг 03, 2012 21:01:14 --

Dancingchicken в сообщении #602631 писал(а):

Друзья, пару слов о первоначальной теме

Как вы думаете, повисит ли желание и заинтересованность учеников новая, более усовершенствованная программа по математике?

Ведь опыт показывает, что те кто жаждал знаний, готов был преодолевать любые трудности.

Я ни в коем случае не говорю, что не нужно ничего преобразовывать, но подумать о мотивационном аспекте обучения возможно было бы продуктивно?

Прежде чем ставить такой вопрос, нужно поставить вопрос о нормальной профориентации школьников и создать нормальные рабочие места - те места, где вообще требуются хорошие знания по алгебре и геометрии. И тогда уже автоматически будут решаться вопросы "желания и заинтересованности".

[Shtorm]

Однако, давайте подставим $A=-2B-3C$ в первое решение и ниже для сравнения напишу моё решение:

$$(-2B-3C)(x-1)+B(y-2)+C(z-3)=0$$

$$\alpha (-2x+y)+\beta (-1.5y+z)=0$$

Второе решение - имеет более компактную запись. Сами знаете, иногда ради компактности делают ещё несколько строчек преобразований.

[nnosipov]

Shtorm в сообщении #602911 писал(а):

Второе решение - имеет более компактную запись. Сами знаете, иногда ради компактности делают ещё несколько строчек преобразований.

А Вы скобочки раскройте, руки ведь не отсохнут. Вы мне напоминаете жутко ленивого студента, из которого на экзамене клещами вытягиваешь ответ, а он при этом ещё и постоянно ворчит.

[nnosipov]

ewert в сообщении #602731 писал(а):

Проблема в том, что непонятно, как из этих абстрактных соображений получить наиболее естественным образом те же (формально) правила для элементов матрицы и правой части.

Возможно, я что-то не так понимаю. Если бы мне надо было объяснить, как искать превдорешение $x^0$ системы $Ax=f$ по норме, заданной матрицей $M$, я бы поступил просто: сначала бы вывел, что $x^0$ есть решение системы, матрица $G$ которой есть матрица Грама для столбцов матрицы $A$ (это простое и естественное геометрическое рассуждение, которое в любом случае должно быть рассказано --- я имею в виду незаочников, а заочники могут принять это на веру), а затем получил бы для этой $G$ нужную формулу $G=A^*MA$ (это совсем примитивная алгебра на уровне понимания, что такое произведение матриц).

[ewert]

nnosipov в сообщении #602982 писал(а):

$G=A^*MA$

Это как раз для собственно МНК совершенно не нужно, рабочие формулы МНК -- это именно формулы со скалярными произведениями, и совершенно не важно, какова природа этих скалярных произведений и какова природа самих векторов $\vec a_i$. Проблемы раньше.

nnosipov в сообщении #602982 писал(а):

сначала бы вывел, что $x^0$ есть решение системы, матрица $G$ которой есть матрица Грама для столбцов матрицы $A$ (это простое и естественное геометрическое рассуждение,

Неприятность тут в том, что непосредственно из проекционных соображений матрица Грама действительно выплывает автоматом, но лишь как матрица квадратичной формы, которая подлежит минимизации. Я не могу быть уверенным в том, что народу рассказывали об эквивалентности этой минимизационной задачи решению соответствующей системы. Тем более для случая, когда матрица формы вырождена, т.е. лишь неотрицательна, а этот случай важен (поскольку приходится обсуждать вопрос об условиях единственности единственности решения в МНК. Или я не понял, что Вы имели в виду?