2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 11  След.
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 13:23 
Заслуженный участник


20/12/10
9109
ewert в сообщении #602989 писал(а):
Неприятность тут в том, что непосредственно из проекционных соображений матрица Грама действительно выплывает автоматом, но лишь как матрица квадратичной формы, которая подлежит минимизации. Я не могу быть уверенным в том, что народу рассказывали об эквивалентности этой минимизационной задачи решению соответствующей системы.
Да рассказать народу, и все дела, это ведь для случая невырожденной $M$ просто нужно этому народу знать (теорему Пифагора он же знает, а тут совсем недалеко). Правда, народ сначала должен привыкнуть к тому, что положительно определённая квадратичная форма --- это и есть скалярное произведение (у меня билинейные и квадратичные формы по плану идут вообще после евклидовых пространств, и проблем никаких). Похоже, для адекватного решения Вашей проблемы важен контекст (что за народ, какова программа, последовательность изложения и т.д.).
ewert в сообщении #602989 писал(а):
Тем более для случая, когда матрица формы вырождена, т.е. лишь неотрицательна, а этот случай важен (поскольку приходится обсуждать вопрос об условиях единственности
Это совсем другое дело. Увы, никогда об этом не задумывался. Но как тогда в Вашем тексте понимать $M^{-1}$? И что, в самом деле, можно предложить в этой ситуации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 14:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #602991 писал(а):
Это совсем другое дело. Увы, никогда об этом не задумывался. Но как тогда в Вашем тексте понимать $M^{-1}$? И что, в самом деле, можно предложить в этой ситуации?

Нет-нет, скалярное произведение подразумевалось честным, имелась в виду вырожденность матрицы Грама. Т.е. имелось в виду вот что:
$$\left\|\sum\limits_k\gamma_k\vec a_k-\vec f\right\|^2_M=(G\vec\gamma,\vec\gamma)-2\mathop{\mathrm{Re}}(\vec\gamma,\vec b)+\|\vec f\|^2_M=\min\ \Leftrightarrow\ G\vec\gamma=\vec b.$$
Так вот: последняя эквивалентность верна для любой строго положительной матрицы $G$, и этот факт стандартен (хотя я и не уверен, что моим орлам его давали -- линейную алгебру этому потоку читаю не я). А вот для вырожденной матрицы он уже не стандартен, да и место имеет лишь тогда, когда последняя система разрешима (в нашем случае это так, но связано это именно со спецификой получения этой системы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 15:06 
Заслуженный участник


20/12/10
9109
ewert в сообщении #602999 писал(а):
имелась в виду вырожденность матрицы Грама.
Понял. Это я машинально считал, что матрица $A$ имеет полный ранг, следуя Кострикину&Манину. А почему случай вырожденной матрицы Грама важен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 15:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #603003 писал(а):
А почему случай вырожденной матрицы Грама важен?

Потому что вырожденный случай реально возможен. Речь же о МНК, т.е. о проведении графика многочлена (вообще говоря, обобщённого) между заданными точками. И тогда встаёт вопрос: при каких условиях постановка задачи корректна, т.е. когда решение единственно (существует-то оно всегда).

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 15:42 
Заслуженный участник


20/12/10
9109
А сведение к невырожденному случаю почему плохо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 16:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #603014 писал(а):
А сведение к невырожденному случаю почему плохо?

Не понял вопроса: как можно вообще вырожденный случай свести к невырожденному? (во всяком случае, естественным образом)

Ладно, я понял, как экономнее всего выйти на МНК в общем случае (наверное, это Вы и имели в виду). Нам изначально нужна не система уравнений, а наилучшее приближение к $\vec f$ линейными комбинациями вида $\sum\limits_k\gamma_k\vec a_k$, причём векторы могут иметь какую угодно природу. Искомая комбинация -- это ортопроекция вектора $\vec f$ на линейную оболочку векторов $\vec a_i$, т.е. должно выполняться $\vec f-\sum\limits_k\gamma_k\vec a_k\perp\sum\limits_i\eta_i\vec a_i$ для всех наборов $\vec\eta$. После раскрытия скобок и перегруппировки слагаемых получаем $\sum\limits_i\left((\vec f,\vec a_i)-\sum\limits_k(\vec a_k,\vec a_i)\gamma_k\right)\overline{\eta_i}$ для всех $\vec\eta$. Отсюда $\sum\limits_k(\vec a_k,\vec a_i)\gamma_k=(\vec f,\vec a_i)$ для всех $i$, а это и означает $G\vec\gamma=\vec b$. Отсюда уже автоматом следует и равносильность невырожденности матрицы Грама линейной независимости векторов $\vec a_k$ (что практически важно), и даже (что уже бантик) равносильность её невырожденности и её строгой положительности.

Жаль только, что при этом теряется само понятие псевдорешения и система $A^*A\vec\gamma=A^*\vec f$; ну, в конце концов, это можно и добавить, если захочется, это уже недорого. Я-то привык исходить именно из понятия псевдорешения; возможно, потому, что параллельно читаю один странный курс, в котором приходится залезать (на не очень серьёзном уровне, но приходится) в теорию операторов, и у меня время от времени в голове всё путается.

Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 16:37 
Заслуженный участник


20/12/10
9109
ewert в сообщении #603010 писал(а):
И тогда встаёт вопрос: при каких условиях постановка задачи корректна, т.е. когда решение единственно (существует-то оно всегда).
Если Вы про задачу минимизации, то очевидно: когда матрица $A$ имеет полный ранг. Видимо, Ваш вопрос о том, как разумно доказать тот самый нестандартный факт. Так?

А, вот и доказательство.

-- Сб авг 04, 2012 20:41:08 --

ewert в сообщении #603022 писал(а):
Спасибо.
Взаимно. Мне как раз нужно что-то типа методички сочинять, так что очень кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение04.08.2012, 16:49 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
nnosipov в сообщении #602927 писал(а):
А Вы скобочки раскройте, ...


:-) Хорошо, убедили. Ну, значит остаётся только одно применение моему решению: это когда чётко оговорено, что в решении необходимо применить векторное произведение векторов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение11.08.2012, 11:43 


02/05/09
580
У Архитекторов есть любопытнейший образовательный проект под названием "Стрелка" обучают бесплатно, но знание английского обязательно и с МЕДИА зачем то скрестили! Удивительно в наше время и "бесплатно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение11.08.2012, 12:24 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
докер, а может обучаемые потом это "бесплатно" отрабатывают? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение11.08.2012, 12:31 


02/05/09
580
Shtorm в сообщении #605016 писал(а):
докер, а может обучаемые потом это "бесплатно" отрабатывают?


Я тоже так подумала, особенно когда увидела фотографии первого набора, голые плечи и распущенные волосы, это вдохновило меня туда и близко не подходить, альтернатива всегда есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение11.08.2012, 13:42 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
докер в сообщении #605019 писал(а):

..... голые плечи и распущенные волосы.....


:lol: Ну я-то имел ввиду какого вида отработку: что обучаемый заключает с учебным заведением договор, на основании которого, после окончания учебного заведения выпускник должен работать на каком-то конкретном виде предприятия или в какой-то конкретной отрасли...
Всегда же хочется думать хорошее (точнее желать этого) :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение11.08.2012, 13:46 


02/05/09
580
О Да!, это "контракт", и обратного хода не имеет!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение11.08.2012, 17:03 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
докер, как-то это пессимистично звучит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Идеальная школьная программа по математике
Сообщение11.08.2012, 17:09 


02/05/09
580
Shtorm в сообщении #605085 писал(а):
докер, как-то это пессимистично звучит


Да!, практически реквием, но только для тех кто заключил "контракт", я не при делах. :D

И в гриме не живу!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 152 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 11  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group