2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 ... 41  След.
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение07.12.2012, 11:05 


31/12/10
1555
megamix62 в сообщении #655407 писал(а):
Цитата:
И еще. Число представлений четного числа суммой 2-х простых чисел ограничено,
тогда как число представлений четного числа разностью 2-х простых чисел не ограничено.


А как из разностью 2-х простых чисел равных $2$ :?:

Извините, но здесь какая-то опечатка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность триплетов (2,4) и (4,2)
Сообщение05.03.2013, 11:21 


31/12/10
1555
Бесконечность триплетов (2,4) и (4,2) в ряду простых чисел.

Т.к. серьезных замечаний по теме нет, и, более того, некоторые участники форума используют наработки данной темы
в своих работах, то продолжим решение аддитивных проблем простых чисел данным методом.
Одной из проблем, указанных А.Бухштабом в известном учебнике, является бесконечность числа триплетов
с разностями (2,4) и (4,2) в ряду простых чисел. Эта проблема аналогична проблеме близнецов.
Число триплетов (2,4) или (4,2) в ПСВ определяется функцией $\varphi_3(M)=\prod_5^p(p-3).$
Триплеты (2,4) и (4,2) существуют в ПСВ попарно как зеркальное отображение друг друга и мы будем рассматривать их
совместно как группу 6-го размера $(4,2,d,2,4)$ в ПСВ($1/2M,3/2M$) где $d$ - разность между 3-м и 4-м вычетами группы.

ПСВ(1/2M,3/2M) представляет собой ПСВ(-1/2M,+1/2M) с вычетами наименьшими по абсолютной величине,
увеличенными на модуль $M=p_t\#.$
Такое преобразование ПСВ необходимо для того, чтобы иметь дело с натуральными вычетами и их группами.
Возьмем общую разность между крайними вычетами группы равной $2p_t$
($p_t$ - из интервала простых чисел ПСВ($-1/2M,+1/2M$)
$p_{r+1}<p_t-6<p_t<p^2_{r+1}$
Получим приведенную группу вычетов $F(6)=(0,4,6,2p_t-6,2p_t-4,2p_t)$, которую можно
так же представить с минимальными по абсолютной величине вычетами

$F(6)=(-p_t,4-p_t,6-p_t,p_t-6,p_t-4,p_t)$

или как натуральную группу в ПСВ по модулю $M(1/2M,3/2M)$

$f(6)=(M-p_t,M+4-p_t,M+6-p_t,M+p_t-6,M+p_t-4,M+p_t)$

Особенности таких групп.
1) Числа $p_t$ должны быть из класса $6k-1.$
2) Числа $p_t$ могут быть только $10x\pm3$

Теорема. Число триплетов (2,4) и (4,2) в ряду простых чисел бесконечно.
Доказательство. Прежде всего надо доказать, что такие группы из двух триплетов существуют в ПСВ.
Рассмотрим приведенную группу $F(6)=(0,\;4,\;6,\;2p_t-6,\;2p_t-4,\;2p_t)$
Т.к. число вычетов в группе $n=6$ то нам надо проверить критерий существования групп
$K(p)=p-n+m(p)$ в ПСВ по модулям $p=3,\;p=5.$
Здесь $m(p)$ - число вычетов группы, сравнимых по модулю $p$, входящем в модуль М.
При $p>5,\;K(p)>0.$ -

Определяем модули сравнений вычетов группы $F(6).$,

$0,2p_t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4,2p_t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;6,2p_t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2p_t-6,2p_t\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2p_t-4,2p_t,$
$0,2p_t-4\;\;\;\;4,2p_t-4\;\;\;\;6,2p_t-4\;\;\;2p_t-6,2p_t-4,$
$0,2p_t-6\;\;\;\;4,2p_t-6\;\;\;\;6,2p_t-6$
$0,6\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;4,6$
$0,4$

Сводная таблица модулей сравнения.
Числитель - модули, знаменатель - их число.,

$(p_t-2)/2,\;(p_t-3)/2,\;(p_t-5)/2,\;\;6/2,\;\;4/2,\;\;2/2,$

$p_t/1,\;(p_t-4)/1,\;(p_t-6)/1$

Непарные модули $p_t,\;p_t-4,\;p_t-6$ - вычеты ПСВ взаимно простые с модулем М, следовательно для них $K(p)=1.$

Модуль $p=3,\;K(3)-6+m(3).$
Мы имеем два модуля 6 и два модуля $p_t-2,$ (т.к. $p_t=6k-1$) сравнимых с $p=3,$ т.е. всего 4. Отсюда
$m(3)=4,\;K(3)=3-6+4=1>0$.
По модулю $p=3$ группа проходит в ПСВ.

Модуль $p=5,\;K(5)=5-6+m(5).$ Т.к. $p_t=10x\pm3$, то при $p_t=10x+3$ есть два модуля $p_t-3$ и
при $p_t=10x-3$ есть два модуля $p_t-2$, т.е. $m(5)=2,\;K(5)=5-6+2=1>0.$

Группа $F(6)$ существует в любой ПСВ.

Теперь надо доказать, что число таких групп в ПСВ нечетное.

Число групп $F(6)$ в ПСВ определяется формулой $A_6\varphi_6(M).$
Функция $\varphi_6(M)$ нечетная. Коэффициент $A_6=\prod K(p)/\varphi_6(p)$ для тех $p,$ когда $K(p)>\varphi_6(p).$
Критерий существования групп $K(p)=p-n+m(p)$ нечетный при четных $n,\;m(p).$
В нашем случае $n=6, m(p)$ - четная, т.к. модули сравнений вычетов группы $F(6)$ парные.
Таким образом, число групп $F(6)$ c триплетами нечетное при любом модуле.
Т.к. вычеты ПСВ расположены симметрично относительно центра ПСВ(1/2M,3/2M),
то одна из групп обязательно должна быть в центре этой ПСВ. Это группа:

$(M-p_r,M-(p_r-4),M-(p_r-6),M+(p_r-6),M+(p_r-4),M+p_r)$

или иначе, среди простых чисел ПСВ(-1/2M,+1/2M)

$(-p_r,\;4-p_r,\;6-p_r,\;p_r-6,\;p_r-4,\;p_r)$

В выборе модуля ПСВ мы не ограничены. Следовательно, число триплетов (2,4) и (4,2) среди простых чисел бесконечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки близнецов.
Сообщение21.05.2013, 09:26 


31/12/10
1555
Цепочки близнецов.

Среди простых чисел можно выделить числа-близнецы,
образующие арифметические прогрессии.
Например:

$5,7......11,13......17,19$ с разностью $d=6$

$5,7......17,19......29,31......41,43$ с разностью $d=12$

$11,13......41,43.......71,73......101,103$ с разностью $d=30$ и т.д.

Есть ли в этом какая-то закономерность ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение10.06.2013, 21:08 
Заблокирован


27/09/10

248
Россия г.Тюмент
vorvalm в сообщении #726525 писал(а):
Есть ли в этом какая-то закономерность ?

Разница между двумя любыми парами близнецов 6к это единственное математически допустимое значение. Вот, пожалуй, и вся закономерность

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение11.06.2013, 12:35 


31/12/10
1555
serega57 в сообщении #735128 писал(а):
Разница между двумя любыми парами близнецов 6к это единственное математически допустимое значение. Вот, пожалуй, и вся закономерность

Это очевидная закономерность. Я имел в виду число элементов цепочки из близнецов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение11.06.2013, 13:08 
Заблокирован


27/09/10

248
Россия г.Тюмент
vorvalm в сообщении #735343 писал(а):
Это очевидная закономерность. Я имел в виду число элементов цепочки из близнецов

Уверен количество пальчиков на одной руке больше чем количество элементов подумайте почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение11.06.2013, 13:37 


31/12/10
1555
Интересно, почему ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение11.06.2013, 14:30 
Заблокирован


27/09/10

248
Россия г.Тюмент
vorvalm в сообщении #735371 писал(а):
Интересно, почему ?

Если к не кратно 5 то цепочка не больше 3х пар. Вот когда в 6к к кратна 5 то подумайте почему не больше 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение11.06.2013, 15:44 


31/12/10
1555
Извините, но

$5,7,.....17,19,.....29,31,.....41,43$

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение11.06.2013, 16:02 
Заблокирован


27/09/10

248
Россия г.Тюмент
vorvalm в сообщении #735422 писал(а):
Извините, но

$5,7,.....17,19,.....29,31,.....41,43$

Пара 5,7 Вами была взята изначально поэтому к полученному ряду отношения не имеет Полученных пар только три. Я имел в виду это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение11.06.2013, 16:34 


31/12/10
1555
Чем же эта пара вам не угодила ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение11.06.2013, 16:46 
Заблокирован


27/09/10

248
Россия г.Тюмент
vorvalm в сообщении #735435 писал(а):
Чем же эта пара вам не угодила ?

Не только эта но и любая пара изначально взятая не является результатом получения. Но если Вам так более удобно то считайте что не получить более 4х и 5и.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых чисел-близнецов
Сообщение11.06.2013, 17:00 


31/12/10
1555
Дело не в удобстве, но в принципе, по которому вы отсеиваете эти пары.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки близнецов.
Сообщение06.10.2013, 10:21 


31/12/10
1555
Ранее было показано (тема "Цепочки простых чисел"), что максимальное
число простых чисел, составляющих арифметические прогрессии с разностью
$K\cdot p_r\#$ не превышает $\varphi(p_{r+1})=p_{r+1}-1$
Смысл ограничения заключается в том, что члены такой прогрессии являются
вычетами ПСВ по модулю $p_{r+1}$ и следующий по очереди член будет
кратен числу $p_{r+1}.$
Переходя к цепочкам простых близнецов необходимо учитывать, что
очередные члены прогрессии не могут одновременно быть кратны числу $p_{r+1},$
т.е. отдельные цепочки каждого из близнецов не могут совпадать. При самом
лучшем раскладе эти цепочки могут не совпадать на одну ступень. В этом случае
цепочка из близнецов будет состоять из $p_{r+1}-2$ членов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепочки близнецов.
Сообщение06.10.2013, 12:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
vorvalm в сообщении #771309 писал(а):
Ранее было показано (тема "Цепочки простых чисел"), что максимальное
число простых чисел, составляющих арифметические прогрессии с разностью
$K\cdot p_r\#$ не превышает $\varphi(p_{r+1})=p_{r+1}-1$

$p_r=2$ - 3,5,7
$p_r=3$, - 5,11,17,23,29

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 608 ]  На страницу Пред.  1 ... 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 ... 41  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group