2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение02.07.2009, 15:03 


23/01/07
3415
Новосибирск
Оценка погрешности функции $ \Phi (5, p_j) $ применительно к расчету количества пар простых-близнецов.

Для расчета принимаем $N=p_{j+1}^2$.
Рассчитываем количество пар простых-близнецов по формуле:
$ \pi_2(N) = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{N+2}{3} \cdot \Phi (5, p_j) = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{N+2}{3}\cdot \dfrac {(5-2)(7-2)(11-2)(13-2)....(p_j-2)}{5\cdot 7\cdot 11\cdot13 \cdot ...\cdot  p_j} $
Полученные результаты сводим в таблицу:
\small
\begin{tabular}{|p{1.8cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|}
\hline
Число N & Фактическое число пар простых-близнецов & Количество пар простых-близнецов по формуле & Погрешность 
& \\
\hline
25 & 3 & 2,7 & -0,3 & \\
\hline
49 & 5 & 3,642857143
 & -1,357142857
 &  \\
\hline
121 & 9 & 7,188311688
 & -1,811688312 & \\
\hline
169 & 11 & 8,456043956 & -2,543956044& \\
\hline
289 & 18 & 12,69715579 &-5,302844215& \\
\hline
361 & 20 & 14,17148641 &-5,828513592 & \\
\hline
529 & 24 & 18,92756557 &-5,072434431
& \\
\hline
841 & 32 & 27,97651276 &-4,023487244 & \\
\hline
961 & 34 & 29,89706776 &-4,102932242 & \\
\hline
1369 & 45 & 40,2629956 &-4,737004395 & \\
\hline
1681 & 52 & 47,01468116 &--4,985318843 & \\
\hline
1849 & 55 & 49,30275626 &-5,697243742 & \\
\hline
2209 & 66 & 56,38559645 &-9,614403555
 & \\
\hline
2809 & 79 & 68,98181043 &-10,01818957
 & \\
\hline
3481 & 92 & 82,57528117 &-9,424718828 & \\
\hline
3721 & 97 & 85,37128129 &-11,62871871 & \\
\hline
4489 & 113 & 99,90802465 &-13,09197535 & \\
\hline
5041 & 122 & 109,0277444 & -12,97225558 & \\
\hline
5329 & 127 & 112,0965458 & -14,90345415 & \\
\hline
6241 & 141 & 127,9500667 & -13,04993328
& \\
\hline
6889 & 153 & 137,8276522 & -15,17234784
 & \\
\hline
7921 & 167 & 154,9077016 & -12,09229843
 & \\
\hline
9409 & 189 & 180,2067269 & -8,79327308
 & \\
\hline
10201 & 205 & 191,5035957 & -13,49640431
 & \\
\hline
10609 & 212 & 195,2942739 &-16,70572615
 & \\
\hline
11449 & 223 & 206,8150461 & -16,18495386
 & \\
\hline
11881 & 229 & 210,67941 & -18,32059002
 & \\
\hline
12769 & 240 & 222,4156981 & -17,5843019
 & \\
\hline
16129 & 282 & 276,5082635 & -5,491736477
 & \\
\hline
17161 & 294 & 289,7066344
 & -4,293365644
 & \\
\hline
18769 & 321 & 312,223688 & -8,776312003
& \\
\hline
19321 & 327 & 316,7807337 & -10,21926626
& \\
\hline
... & ...& ... & ... & \\
\hline
97969 & 1200 & 1205,611474
 & 5,611474469
 & \\
\hline
100489 & 1224 & 1228,820057
 & 4,820056887 & \\
\hline
\end{tabular}

Втайне надеялся, что погрешность всегда будет отрицательной, но в некоторый момент она "перевалила" через нуль и стала положительной. Далее проверить нет технической возможности. :(
Приведенные расчеты показывают, что оценка по функции $ \Phi $ достаточно близка к реальному, а относительная погрешность достаточно мала.

Вместе с тем, если $ \pi_2 (N) $, рассчитанную по приведенной формуле, рассматривать в виде функции, то видно, что она монотонно возрастающая и по своей величине не ограничена.
Доказательством данного факта может служить ее сравнение с другой монотонно возрастающей функцией, а именно:
$ \dfrac{N+2}{3}\cdot\Phi (5, p_j) =  \dfrac{N+2}{3}\cdot \dfrac {3\cdot 5\cdot 9\cdot ...\cdot {p_j-2}}{5\cdot 7\cdot 11\cdot...\cdot p_j} >  \dfrac{N+2}{3}\cdot \dfrac {3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot ...\cdot {(p_{j+1}-2)}}{5\cdot 7\cdot 9\cdot11\cdot 13\cdot 15\cdot ...\cdot p_{j+1}} > \dfrac {N}{p_{j+1}} = \sqrt N $.
Например, для чисел $N$ порядка $10^{10}$ левая часть неравенства более, чем в $500$ раз превышает правую. Относительная же погрешность расчета по приведенной формуле, как мне видится, на всей числовой оси не может превышать нескольких процентов и полагаю, что вполне реально сделать предположение, что фактическое число пар простых-близнецов:

$ \pi_2(N)> \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{N+2}{3} \cdot \Phi (5, p_j) $.

И уж тем более, - что для $N \ge 289$:

$ \pi_2(N) > \sqrt N $.

 Профиль  
                  
 
 Уточняющие вопросы
Сообщение07.07.2009, 09:52 


24/05/05
278
МО
Батороев в сообщении #224131 писал(а):
Есть функция
$\Phi (p_i, p_j) = \dfrac{p_i-2}{p_i}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}}...\dfrac{p_j-2}{p_j} \cdot N$, (2)
которая при ее умножении на $N$ считает, также с некоторой погрешностью, количество взаимнопростых чисел с простыми числами от $p_i$ до $p_j$, которые создают пары, чья сумма равна $N$
.
Что значит "создают пары, чья сумма равна $N$"? Правильно ли я понял, что это пары чисел $a, b$, такие что $a+b=N$ и оба числа $a, b$ при этом взаимно просты с $p_i, ..., p_j$? Различаются ли при этом пары $(a, b)$ и $(b, a)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уточняющие вопросы
Сообщение07.07.2009, 20:05 


23/01/07
3415
Новосибирск
sceptic в сообщении #227054 писал(а):
Правильно ли я понял, что это пары чисел $a, b$, такие что $a+b=N$ и оба числа $a, b$ при этом взаимно просты с $p_i, ..., p_j$?

Да, Вы правильно поняли.
sceptic в сообщении #227054 писал(а):
Различаются ли при этом пары $(a, b)$ и $(b, a)$?

На эти числа можно наложить условие: $a<b$.


В отношении гипотезы Гольдбаха обоснование применения функции $\Phi (3, p_j)$ может выглядеть следующим образом:

Рассмотрим числа вида $ N=2P$, где $P$ - простое число.
Т.к. $N$ простое, то оно может иметь остаток либо $ 1\pmod 3$, либо $ 2\pmod 3$.
Например, $N\equiv 1\pmod 3$
Тогда числа, кратные $3$, могут давать в сумме число $N$ в паре только с числами, имеющими остаток $ 1\pmod 3$. Такие пары чисел исключаются из последующего рассмотрения.

Числа, имеющие остаток $2\pmod 3$, образуют пары между собой ($ 2\pmod 3 + 2\pmod 3 = 1\pmod 3$)
Таких нечетных чисел $\dfrac{N}{2}\cdot\dfrac {(3-2)}{3}= \dfrac{N}{2}\cdot \dfrac{1}{3}$.

Допустим, $N\equiv 1\pmod 5$.
Тогда оставшиеся в рассмотрении числа, кратные $5$, образуют пары с числами, имеющими остаток $1\pmod 5$.
Также исключаем их из дальнейшего рассмотрения:
$\dfrac{N}{2}\cdot\dfrac {1}{3} - \dfrac{N}{2}\cdot\dfrac {1}{3}\cdot\dfrac {2}{5} = \dfrac{N}{2}\cdot\dfrac {1}{3}\cdot \dfrac {(5-2)}{5} $
Среди оставшихся чисел
- числа, имеющие остаток $2\pmod 5$, образуют пары с числами, имеющими остаток $4\pmod $,
- числа, имеющие остаток $3\pmod 5$, образуют пары между собой.

Продолжая аналогичные рассуждения в отношении последующих простых чисел, мы всегда будем исключать из рассмотрения $ \dfrac {2}{p} $ чисел, оставляя для дальнейшего рассмотрения $ \dfrac{(p-2)}{p} $ чисел.
Если число имеет вид, отличный от $N=2P $ и содержит простой делитель , меньший $p_j$, то из рассмотрения исключается $\dfrac{1}{p}$ чисел, соответственно, в рассмотрении остается $\dfrac{(p-1)}{p}$ чисел.
Необходимо отметить, что в результате таких исключений мы теряем возможные пары с участием простых от $3$ до $p_j$, но оказывается, что и при этом - еще остаются пары других простых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение10.08.2009, 07:53 


23/01/07
3415
Новосибирск
По гипотезе Гольдбаха, предлагаю рассмотреть следующее "решето".

Имеем натуральные числа, непревосходящие четное число $n$.
Вычеркиваем все числа, кратные каждому последовательному простому, а также числа в натуральном ряду симметричные относительно середины $\dfrac{n}{2}$ зачеркнутому (далее, называемые "симметричные").

1. Пройдем по указанному ряду, вычеркивая все числа, кратные $2$. В данном случае симметричные числа также кратны $2$. Оставшиеся числа - взаимнопросты числу $2$, их количество равно числу вычеркнутых.
2. Аналогичным образом вычеркивая числа, кратные второму простому $3$ и симметричные им, мы можем получить (с небольшой погрешностью) то, что число невычернутых составит либо две трети от числа невычеркнутых по п. 1, если $n$ кратно $3$, либо треть, если $n$ взаимнопростое по отношению к числу $3$. В первом случае количество невычеркнутых (взаимнопростых числам $2$ и $3$) по данному пункту будет больше числа вычеркнутых, а во втором случае - меньше.
3. Вычеркивая числа, кратные простому $5$ и симметричные им, мы уже при любом варианте (кратно $n$ простому $5$ или не кратно) получаем то, что количество невычеркнутых чисел будет больше числа вычеркнутых по данному пункту. Причиной этого служит то, что невычеркнутые по п.2 числа имеют остатки $0, 1, 2, 3, 4 \pmod 5$, а по данному пункту вычеркиваются числа, имеющие только остаток $0\pmod 5$ и симметричные им, имеющий остаток, равный остатку $ n\pmod 5$.

Таким образом, при проведении подобной процедуры вычеркивания чисел по отношению к следующим простым числам, количество невычеркнутых будет всегда превышать число вычеркнутых по данному пункту. Будем считать, что как минимум, на одну пару.
Когда процедура вычеркивания подойдет к концу, т.е. при приближении простых к $\sqrt {n}$ и вычеркивается, хотя бы одна пара чисел, то как минимум, должны остаться две пары невычеркнутых чисел.

С учетом того, что среди невычеркнутых может остаться пара $1$ и $(n-1)$, то имеется, как минимум, одна пара простых чисел, симметричных друг другу относительно середины числа $n$.
Которые в сумме дают число $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение10.08.2009, 11:08 


03/10/06
826
Чуть ли не в первой сотне (1000?) чисел есть чётное число, которое имеет лишь одну пару простых чисел, которые в сумме дают это число. Наверное нужно рассмотреть решето на этом числе для проверки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение10.08.2009, 12:09 


23/01/07
3415
Новосибирск
Как мне представляется, таких чисел всего четыре: $4, 6, 8, 12$, но их "решетить" не интересно. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение10.08.2009, 15:17 


03/10/06
826
Батороев в сообщении #234053 писал(а):
Как мне представляется, таких чисел всего четыре: $4, 6, 8, 12$, но их "решетить" не интересно. :)

И $38, 68$ ещё интересны, всего по две пары.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение10.08.2009, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/09
2086
Минск, Беларусь
В соседней теме я давал ссылку на наиболее полную базу данных по разбиениям Гольдбаха:
http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html

Там есть статистика, ссылки на исследования в этой области и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение10.08.2009, 15:47 


23/01/07
3415
Новосибирск
Droog_Andrey в сообщении #234085 писал(а):
В соседней теме я давал ссылку на наиболее полную базу данных по разбиениям Гольдбаха:
http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html

Там есть статистика, ссылки на исследования в этой области и т.п.

Я видел Вашу ссылку.
К сожалению не владею английским языком (французский со словарем), хотя чувствую, что статья очень интересная.
yk2ru в сообщении #234083 писал(а):
И $38, 68$ ещё интересны, всего по две пары.

Давайте попробуем*:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37
1, 7, 13, 19, 25, 31, 37
1, 7, 19, 31, 37 остаются две пары и число 19.
1+37 отбрасываем.
* Подчеркнутые - кратные простому числу, симметричные - выделены жирным шрифтом.

-- Пн авг 10, 2009 18:55:09 --

Если невычеркнутыми остается нечетное количество чисел, то рассматриваемое число относится к числам вида $n=2P$, где $P$ - простое число.

-- Пн авг 10, 2009 19:13:18 --

Пропуская на решете число 68, мы исключим из рассмотрения пару 7+61, но задача не стояла рассчитать все пары, а показать, что должна быть, как минимум, одна пара простых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение28.06.2010, 06:21 


23/01/07
3415
Новосибирск
Батороев в сообщении #234022 писал(а):
По гипотезе Гольдбаха, предлагаю рассмотреть следующее "решето".

Имеем натуральные числа, непревосходящие четное число $n$.
Вычеркиваем все числа, кратные каждому последовательному простому, а также числа в натуральном ряду симметричные относительно середины $\dfrac{n}{2}$ зачеркнутому (далее, называемые "симметричные").

Похоже зря я приплел понятие "симметричные".
Можно "решето" организовать проще:

1. Вычеркиваем все четные числа.
2. Вычеркиваем числа, кратные последовательным простым числам $p_i < \sqrt n$, а также имеющие остаток по основанию $p_i$ такой же, что и $n$.

Оставшиеся числа и будут теми простыми, которые в сумме друг с другом дают четное число $n$.
Единственное, "решето" не определяет пары с участием самих простых $p_i$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение29.06.2010, 08:49 


23/01/07
3415
Новосибирск
Логические заключения, которые вытекают из представленного "решета":

1. При вычеркивания на шаге $p_i=3$ остаются невычеркнутыми не менее $\dfrac {n}{3}\pm 2$ чисел.
2. Начиная с $p_i=5$, невычеркнутых чисел всегда больше, чем вычеркнутых (т.к. вычеркивается числа с двумя остатками из $p_i$ остатков).
3. (Вытекает из заключения 2) По окончании работы "решета" в обязательном порядке останутся невычеркнутые числа.
4. Все невычеркнутые по окончании работы "решета" числа - простые.
5. Все невычеркнутые простые числа в сумме дают число $n$ (т.к. вычеркивались числа, также дающие в сумме число $n$).

Как мне кажется, на основе данных логических заключений вполне можно сделать вывод, что гипотеза Гольдбаха верна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение29.06.2010, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Не убеждает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение29.06.2010, 13:23 


23/01/07
3415
Новосибирск
Тогда будем дальше думать. Чтобы убедило.
Могу я узнать, какой пункт, на Ваш взгляд, вызывает наибольшие сомнения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение29.06.2010, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Второй.
Конечно, вычёркиваются числа только в двух классах вычетов, но ведь к этому времени уже очень много чисел вычеркнуто. Вдруг все оставшиеся собрались как раз в этих двух классах?

Но, конечно, справедливость гипотезы Гольдбаха весьма правдоподобна. Требуемое разложение чётного числа $n>2$ на два простых находится очень легко, даже если число $n$ довольно большое. В одной из тем автора "доказателства" просили представить в виде суммы двух простых число $8^{1000}$. Требуется несколько минут работы программы pfgw (не считая времени написания несложного скрипта), чтобы найти множество кандидатов, и минут 20 работы программы Primo, чтобы получить сертификат простоты для одного из кандидатов, и перед нами результат: $8^{1000}=2699+(8^{1000}-2699)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.
Сообщение29.06.2010, 20:59 


23/01/07
3415
Новосибирск
Someone в сообщении #336209 писал(а):
Второй.
Конечно, вычёркиваются числа только в двух классах вычетов, но ведь к этому времени уже очень много чисел вычеркнуто. Вдруг все оставшиеся собрались как раз в этих двух классах?

Для одного простого числа это невозможно, т.к. при любом простом $p_i>5$ количество всех оставшихся чисел (в случае равномерного распределения по классам вычетов предыдущих простых чисел) в несколько раз превосходит количество чисел, кратных этому простому, среди всех не превышающих $n$нечетных чисел, не кратных 3.
Например, для числа $p_i=7$ это соотношение уже близко к 2-м, а для простых, близких к 80 000 соотношение приближается к величине - почти 800 раз.
Поэтому для "обнуления" невычернутых чисел таких "хитрых" простых чисел, в двух классах вычетов которых концентрировалась бы значительная часть оставшихся чисел, должно быть много.

Вместе с тем, соглашусь с Вами, что п. 2 действительно является "слабым звеном" в рассуждениях. :-(

-- 30 июн 2010 01:08 --

А вот стало интересно, математическая наука что-нибудь говорит о равномерности/неравномерности распределения простых чисел по классам вычетов по основанию отдельно взятого простого числа?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 51 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group