Дело в том, что для ограниченной монохроматической волны
![$k \neq\omega/c$ $k \neq\omega/c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/9/4c9fd950bce062ff66f0b2943482795482.png)
.
Не стоит это так формулировать. Дело в том, что ограниченная монохроматическая волна - это частный случай вообще волны (не обязательно монохроматической). Такую волну надо преобразовать по Фурье - по пространственным и по временной координате. Тогда получится некоторое распределение спектральных составляющих этой волны, и всё станет ясно.
1. Для плоской монохроматической волны спектральная составляющая будет только одна: при заданной величине волнового вектора
![$\mathbf{k}$ $\mathbf{k}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/1/9d152c065089da4147fb86e392670ac882.png)
и при заданной величине частоты
![$\omega.$ $\omega.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/d/65d9a211ce29ab15ecaedc9227aed26182.png)
Отсюда моментально следует, что строго плоской волной можно называть только волну неограниченную. Для этой спектральной составляющей, очевидно, будет выполняться
![$\mathbf{k}^2=\omega^2.$ $\mathbf{k}^2=\omega^2.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/2/1a2ea28b21ffed336ce6d482db7cbc0582.png)
2. Теперь откажемся от точного задания волнового вектора и величины частоты. Это можно делать в разных комбинациях. Но пока будем рассматривать почти тот же случай, то есть решения, сосредоточенные в малой области в пространстве волновых 4-векторов.
2.1. Отказавшись от точного задания величины частоты, мы получаем не монохроматическую, а почти монохроматическую волну, в частности, такой удобный случай, как волновой пакет. Этот волновой пакет ограничен по времени и в продольном направлении. Но мы можем сохранить
![$k_y=k_z=0,$ $k_y=k_z=0,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/9/0990707551ca220d0f12164bed3109bc82.png)
и у нас будет плоская поперечно неограниченная немонохроматическая плоская волна.
2.2. Отказавшись от точного задания волнового вектора, но сохранив точную величину частоты, мы получаем неплоскую волну, и в частности, поперечно ограниченную волну - пучок света. В частности, такой пучок, как гауссов. Но у нас всё равно сохраняется условие
![$\mathbf{k}^2=\omega^2$ $\mathbf{k}^2=\omega^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/1/a41d668feb7d2e2d623c0a725eed567582.png)
для каждой спектральной составляющей, так что волновые вектора могут отклоняться от центрального значения не в произвольную сторону, а только по поверхности сферы.
2.3. Наконец, сняв оба ограничения, мы можем получить волну, ограниченную и повдоль, и поперёк, и по времени. При этом можем, очевидно, выбирать и "короткий широкий" вариант, и "длинный узкий", и какой захотим.
Но. Обратите внимание, что во всех этих случаях для каждой спектральной составляющей продолжает выполняться дисперсионное соотношение
![$\mathbf{k}^2=\omega^2.$ $\mathbf{k}^2=\omega^2.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/2/1a2ea28b21ffed336ce6d482db7cbc0582.png)
В пространстве волновых 4-векторов плотность распределения перестаёт быть дельта-функцией в точке, расплывается во всех направлениях, но не сходит с поверхности, заданной этим соотношением, то есть всегда остаётся типа дельта-функции в сечении поперёк этой поверхности. Когда вы пишете
![$k \neq\omega/c,$ $k \neq\omega/c,$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/6/d26aa4e0334a956e340d14fa899e287882.png)
это на самом деле означает неравенство для неких средних значений:
![$\langle k\rangle\neq\langle\omega\rangle/c$ $\langle k\rangle\neq\langle\omega\rangle/c$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/1/401bcd195ccd897e8d49fa016a1b4dbb82.png)
(или для других способов усреднения, например,
![$\sqrt{\langle\mathbf{k}^2\rangle}$ $\sqrt{\langle\mathbf{k}^2\rangle}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/2/5b209e9d76d3ee23fd2738899fafa10d82.png)
) но для каждой отдельной спектральной составляющей соотношение между волновым вектором и частотой сохраняется строго
![$\mathbf{k}^2=\omega^2.$ $\mathbf{k}^2=\omega^2.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/2/1a2ea28b21ffed336ce6d482db7cbc0582.png)
3. Наконец, можно рассмотреть волны, существенно отходящие от представлений о плоской волне. Например, сферическую волну от точечного источника. Для таких волн плотность распределения будет размазана по широким областям пространства волновых 4-векторов, например, заполнять целую 3-сферу вида
![$\mathbf{k}^2=\mathrm{const}.$ $\mathbf{k}^2=\mathrm{const}.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/3/65334436b6f4c09df52583a30829d03882.png)
Но всё равно для каждой спектральной составляющей... понятно.
Например, при движении в статическом электрическом поле (B=0)у частицы в общем случае не сохраняется ни момент ни энергия ни импульс.Хотя импульса и момента у поля нет (вектор Поинтинга нулевой)...
Тут вообще всё просто. Кроме поля внешнего, заданного условиями задачи, есть ещё собственное поле частицы (в том числе излучение). Когда вы пишете, что "импульса и момента у поля нет", вы собственным полем частицы пренебрегаете. А именно оно (в сумме с внешним) и уносит энергию, импульс и момент самой частицы. Частица полагается "лёгковесной" по сравнению с полем, и в момент перехода к приближению, пренебрегающему её вкладом, вы теряете возможность рассматривать законы сохранения для этой частицы.
Там решается проблема нулевого момента рассмотрением 4-х плоских волн,распространяющихся под различными небольшими углами к оси z.
Это модель для совсем уж ленивых. Без разницы, рассматривать ли четыре дельта-функции или произвольное распределение в пространстве волновых векторов, если вы умеете это делать.
-- 01.04.2011 18:38:08 --P. S. Гауссов пучок привёл
Pulse, но конечности по времени и немонохроматичности в этом решении ещё нет, то есть это мой п. 2.2. Мне несколько странно слышать, что он конечен по энергии, поскольку в этом решении свет идёт по этому пучку вечно. Скорее, в нём ограничен только поток энергии. Для ограниченности самой энергии необходимо перейти к п. 2.3, и рассмотреть ограниченный по времени (и продольно) импульс света.