Второй ребёнок в теории вероятностей.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #469011 писал(а):

Да, оба случая очень похожи, тем не менее их два!

На самом деле их четыре!
А вы решаете не ту задачу.
Вот представьте себе что у нас есть картотека,
в которую занесены все семьи, допустим, одного микрорайона.
Отбираем все семьи, в которых двое детей.
Пусть, например таких семей 60.
Из них примерно 15 будет тех, в которых два мальчика, примерно 15 в которых две девочки, примерно 15 где старший мальчик, младшая - девочка, и примерно 15 где старшая девочка, а младший - мальчик.
Выкидываем 15 карточек, где две девочки.
Остаётся 45 семей, где "хотя бы один мальчик".
Из этих 45 примерно 15 - семьи, где два мальчика. $P=\frac{15} {45}=\frac13$
Теперь Ваш эксперимент.
Вместо того, чтобы возиться с карточками, Вы вылавливаете на улице каждого из 60 этих мальчишек, причём только мальчишек,
"железно" мальчишек, девчонок вы ни о чём не спрашиваете.
И спрашиваете у каждого мальчишки, есть ли у него брат или сестра.
Естественно половина из них скажет, что у него есть брат, и другая половина мальчишек скажет, что у него есть сестра.
Только вот беда:те 30 мальчишек, у которых есть брат, они ведь из 15 семей, а
другие 30 мальчишек, у которых есть сестра - они из 30 семей. $P=\frac{15}{(15+30)}=\frac13$
Так понятно?
Если бы вы опросили ещё и 60 девчонок,
то узнали бы, что у 30 из них есть брат...
Тогда $P=\frac {(30)}{(60+30)}=\frac13$

[Александрович]

Лукомор в [url=http://dxdy.ru/post469060.html#p469060] писал(а):

Вот представьте себе что у нас есть картотека,
в которую занесены все семьи, допустим, одного микрорайона.
Отбираем все семьи, в которых двое детей.
Пусть, например таких семей 60.

Так нельзя делать в матстатистике. Это выборка говорит ни о чём.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Александрович в сообщении #469124 писал(а):

Это выборка говорит ни о чём.

А кто её спрашивает?!

Александрович в сообщении #469124 писал(а):

Так нельзя делать в матстатистике.

Здесь рассматривается задачка по теории вероятностей.
Причём тут матстатистика?
И, кстати, хотелось бы узнать Ваше мнение, как нужно делать в "матстатистике", чтобы определить:
1. Процент семей, в которых есть "хотя бы один мальчик",
от общего количества семей, в которых ровно два ребёнка,
и
2. Процент семей в которых два мальчика, от числа семей, в которых два ребёнка, и "хотя бы один из них мальчик".

-- Пн июл 18, 2011 08:59:31 --

[Александрович]

Лукомор в сообщении #469253 писал(а):

Здесь рассматривается задачка по теории вероятностей.
Причём тут матстатистика?

Вы определяете параметры распределения по результатам выборочных испытаний. Выборка объёмом 60 недостаточна. Вероятности 1/2 и 1/3 могут оказаться статистически неразличимы.

[Mihajlo]

В одном из учебников есть такая задача:
1.22. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятность того, что в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой — все четыре.
Само решение приводить не буду. Посмотрите, как рассуждает автор. Цитирую:
Событие может осуществиться двумя способами: либо в первой пачке будут все четыре туза, а во второй — ни одного, либо наоборот.
Т.е. рассматриваются два случая:
Случай 1. В первой пачке будут все четыре туза, а во второй — ни одного.
Случай 2. Во второй пачке будут все четыре туза, а в первой — ни одного.
Вот так поступают заведомо умные люди. И я поступил так, на старших глядя. Ваш ответ 1/3 ошибочен. Это даже интуитивно видно: всё зависит от того одного броска, о котором заранее неизвестен результат. Рассматривать ОБА случая!

[Лукомор]

Александрович в сообщении #469299 писал(а):

Вы определяете параметры распределения по результатам выборочных испытаний. Выборка объёмом 60 недостаточна. Вероятности 1/2 и 1/3 могут оказаться статистически неразличимы.

(Оффтоп)

Это один в один из старого анекдота:"Температура кипения воды 100 градусов, а 90 градусов, это прямой угол. При малых количествах воды разница в 10 градусов может быть неразличима!"

Специально для статистиков повторюсь ещё раз.
Пусть у нас имеется выборка из $3\cdot10^9$ семей, в каждой из которых два ребёнка.
Причём в $\approx1\cdot10^9$ семей оба ребёнка - мальчики,
в $\approx1\cdot10^9$ семей старший ребёнок - мальчик, младшая - девочка.
в $\approx1\cdot10^9$ семей старшая - девочка, младший - мальчик.
Вот и различите статистически вероятность того, что в семье оба мальчики, от вероятности того, что у мальчика есть брат.

-- Вт июл 19, 2011 07:11:02 --

Mihajlo в сообщении #469389 писал(а):

Это даже интуитивно видно: всё зависит от того одного броска, о котором заранее неизвестен результат. Рассматривать ОБА случая!

Рассматривать надо все возможные случаи.
А у Вас некоторые случаи оказались утеряны.
Например:"Первый бросок - железно Г, два случая ГГ и ГР".
Это не верно, т.к. есть ещё вариант: первый бросок Р, второй -Г.
Этот вариант вы почему-то не учитываете.
Ещё Ваше:"Второй бросок - железно Г, два случая ГГ и РГ".
Опять не верно.
Есть третий вариант: Второй бросок Р, первый бросок Г.
Опять Вы его потеряли.
Поэтому вместо трёх возможных вариантов для первого броска у вас всего два,
и для второго броска то же самое.
"Вот так поступают заведомо умные люди!"

[Lukin]

Mihajlo в сообщении #469011 писал(а):

Задача: Монету подбрасывали два раза. В одном из бросков выпал герб. Какова вероятность, что выпали оба герба?

Я бы предложил провести пару экспериментов.

Первый, ассистент подбрасывает за ширмой пару монет и сообщает, что на одной из монет герб. Какова вероятность, что заглянув за ширму мы увидим на второй монете герб ?
Т.к. события независимы, информация о результатах первого броска никак не влияет на вероятность второго исхода. Пространство событий $\{G\}$ и $\{G,R\}$ Ответ: $P(GG)=\frac{1}{2}$.
Второй эксперимент, ассистент подбрасывает за ширмой пару монет и наблюдая результат, сообщает, что две решки не выпали. Какова вероятность, что увидев монеты, мы обнаружим два орла ? Пространство событий $\{GG,GR,RG,RR\}$, отбрасываем $RR$, получаем $\{GG,GR,RG\}$. Очевидно, $P=\frac{1}{3}$.
Получается, что “в одном из бросков выпал герб” не эквивалентно “две решки не выпали ”, а как-то так:
“две решки не выпали ” $\subseteq$ “в одном из бросков выпал герб”.
Так же, как и события “на второй монете герб” не эквивалентно событию “герб на обоих монетах”. На практике, ассистент будет обязан отсеивать вариант $RR$, и при оставшихся вариантах $\{RG,GR,GG\}$ сообщая, что на одной из монет герб, он превращает указанное пространство событий в вариант $\{RG,GR\}, \{GG\}$, т.е. сводит все к событию со второй монетой. Если бы он ничего не сказал, а просто отсеивал $RR$, вероятность обнаружить два герба была бы равна $\frac{1}{3}$.

[Лукомор]

Lukin в сообщении #469567 писал(а):

Получается, что “в одном из бросков выпал герб” не эквивалентно “две решки не выпали ”

Не получается!
Пространство событий в данном случае : $(GG; GR; RG)$
Соответственно, $P=\frac13$

[Lukin]

Это пространство событий, если бы ассистент просто отсеивал вариант $RR$ и ничего нам не говорил.
Если же он говорит, что на одной из монет герб, остается только одно событие "что на второй монете", событие "что на двух монетах" уже наполовину состоялось.

[gris]

Lukin, а у Вас смысл слов "вторая монета" не определён. Из-за этого путаница. Вторая — по какому счёту?

[Lukin]

gris в сообщении #469582 писал(а):

Lukin, а у Вас смысл слов "вторая монета" не определён. Из-за этого путаница. Вторая — по какому счёту?

Точно, это он не у меня не определен, он просто не определен, а ассистент сообщая об одной из монет делает ее первой, привносит упорядочение, дополнительную информацию.
Можно на практике проверить.
Уверен, что вероятность обнаружить $GG$ до сообщения равна $\frac{1}{3}$, а после сообщения об одном из $G$ становиться $\frac{1}{2}$. Мы имеем дело с двумя разными событиями.

[Лукомор]

Lukin в сообщении #469583 писал(а):

а ассистент сообщая об одной из монет делает ее первой, привносит упорядочение, дополнительную информацию.

Жулик ваш ассистент.
Вторая монета выпала гербом, первая решкой, а ассистент утверждает, что гербом выпала первая.
Пусть даже так.
Но, в целом, вариант ГР будет встречаться в два раза чаще, чем ГГ.

[gris]

Что значит "до сообщения"?
Вероятность $GG$ до сообщения равна 1/4, а после сообщения равна 1/3.
Если монеты правильные и ассистент правильный.

[Lukin]

Мы же договорились, что ассистент отсеивает вариант $RR$, иначе, с определенной вероятностью $\frac{1}{4}$ он не сможет сделать своего сообщения не став жуликом.
Есть пространство событий $\{GG,GR,RG,RR\}$. Когда ассистент сообщает, что "на одной из монет герб", он во-первых, сообщает, что "две решки не выпало" - остается пространство $\{GG,GR,RG\}$ (это не упорядоченное множество), во-вторых, он этим же сообщением делает одну из монет первой, упорядочивая пространство событий и удаляя из него вариант $RG$, остается только $\{GR,GG\}$.

-- 19.07.2011, 15:19 --

Лукомор в сообщении #469585 писал(а):

Lukin в сообщении #469583 писал(а):

а ассистент сообщая об одной из монет делает ее первой, привносит упорядочение, дополнительную информацию.

Жулик ваш ассистент.
Вторая монета выпала гербом, первая решкой, а ассистент утверждает, что гербом выпала первая.
Пусть даже так.
Но, в целом, вариант ГР будет встречаться в два раза чаще, чем ГГ.

Если будет так, то Ваш ассистент жулик в $\frac{1}{4}$ случаев.

[gris]

Вот именно в этом и путаница. В первом пространстве событий названия монет определяются порядком их бросания, а во втором — порядком идентификации их ассистентом.
А Вы ещё намекаете на то, что варианта $RR$ как бы и не может быть. Тогда это уже другая процедура.