Второй ребёнок в теории вероятностей.

[Mihajlo]

Всё-таки окончательный ответ не сформулирован. Может быть, имеет смысл подойти с другой стороны? Имею ввиду другую формулировку задачи, чтобы сохранился её смысл, но объектами были бы, например, монеты (герб - мальчик, решка - девочка) или карты (черная масть - мальчик, красная - девочка). Тогда можно бы было проверить экспериментально (как задачу Бюффона). К сожалению, мне не удалось придумать равнозначную модель.

[Lorens]

Действительно, это очень интересная задача, которой в такой её формулировке почти сто лет. Её часто приводят в качестве примеров, её описывают в учебниках. Я прочитал с интересом обсуждение в теме. И вот, что хочу сказать.
Вариант (1) один из них мальчик (= хотя бы один из них мальчик) после коротких пояснений преподавателя(учителя, "знающего") почти никогда споров не вызывает: 1/3 и 2/3.

А вот вариант с Сергеем не так прост. Резонный вопрос (уже здесь заданный): какую информацию (дополнительную информацию - в "наивном" смысле этого слова) мы получаем, зная что один из них мальчик Сергей, а не просто мальчик?

На второй странице обсуждений --mS-- привела вероятностное пространство с именами, на котором были получены итоговые условные вероятности по 1/2. Действительно, в таком представлении в результатах сомнений нет.

НО!!! Сделано одно неявное предположение - тот самый секрет, который можно сформулировать так:
*детей в семье одинаковыми именами не называют!
или более конкретно
*...один из них мальчик Сергей, а второй, если и мальчик, то не Сергей.

Именно это умолчание формирует то вероятностное пространство, которое получено. Именно в этом предположении и есть ключевое отличие от варианта (1)!


В случае отказа от этого принципа имя более не будет являться признаком, который упорядочивает наборы. В отличие от старшинства, которое упорядочивает наборы не только (и не столько) в силу биологичности, сколько в существовании отрицания значения признака: старший, нестарший (=младший). Но: один Сергей, не значит, что другой не Сергей!

И задача будет драматически усложнена! Теперь можно, если, например, ввести предположение о том, имя любого мальчика с вероятностью p Сергей, то (после перебора событий, составления отношения вероятностей и упрощения) получим формулу:
P(2 мальчика/ один из детей Сергей) $= (2-p)/(4-p)$
Причём, если мальчиков можно называть только Сергей (мальчик = Сергей), что задаёт p = 1, то мы непротиворечиво приходим к случаю "хотя бы один из них мальчик" и вероятности 1/3. Если же вероятность p будет маленькой (есть много почти равновероятных имён), то искомая вероятность будет близка к 1/2, и будет к этому значению стремиться с уменьшением p. Однако же замечу, что при p = 0 указанное выражение потеряет смысл, так будет следовать из его алгебраического вывода (из физического смысла тоже).

Понятно, что задачу можно ещё немного усложнить, введя отдельно вероятность того, что родители дают одинаковые имена (что с точки здравого смысла происходит довольно редко). Наверно, можно усложнить и как-то ещё.

Вот такой секрет скрыт в этой формулировке задачи с мальчиком, чьё имя известно.

[tess]

Ставлю точку в споре: МД, ДМ или ММ, $\frac{1}{3}$. Дальше: у меня четверо детей. Что вероятней: два мальчика и две девочки или три ребёнка одного пола. Ответы соответственно: $\frac{6}{16}$.$\frac{8}{16}$.

-- 08.07.2011, 19:10 --

Здесь всего три варианта: ММ, ДМ или МД, для ММ возраст неважен, поэтому
$\frac{1}{3}$. Продолжу: в семье 4 детей, что вероятней 2М и 2Д или три ребёнка одного пола? Ответы соответственно:$\frac{6}{16}$,
$\frac{8}{16}$.

[tess]

Рассуждаем: в семье было два рождения (монету подбрасывали дважды). Один раз родился мальчик (один раз выпал герб). Какова вероятность, что родились два мальчика (что дважды выпал герб)? Варианты: ММ, ДМ или МД (ГГ, РГ или ГР). Ответ: $\frac{1}{3} (\frac{1}{3}).$
Дополнение: в семье четверо детей. Что вероятней: два сына и две дочери или трое детей одного пола? Ответ $\frac{6}{16} (\frac{8}{16})$ соответственно.

[ewert]

tess в сообщении #466589 писал(а):

Ставлю точку в споре: МД, ДМ или ММ, $\frac{1}{3}$.

Выйдя на улицу -- какова вероятность встретить динозавра?

-- ответ: одна вторая. То ли встречу, то ли нет.

[tess]

В семье дважды рождались дети (монету бросали дважды). Родился один мальчик (один раз выпал герб). Какова вероятность, что родились два мальчика (дважды выпал герб)?
ММ, ДМ или МД (ГГ, РГ или ГР): один к трём.

[ewert]

tess в сообщении #466915 писал(а):

ММ, ДМ или МД (ГГ, РГ или ГР): один к трём.

ewert в сообщении #466844 писал(а):

Выйдя на улицу -- какова вероятность встретить динозавра?

-- ответ: одна вторая. То ли встречу, то ли нет.

[Mihajlo]

tess в сообщении #466589 писал(а):

Ставлю точку в споре: МД, ДМ или ММ, $\frac{1}{3}$.

А обоснование?

tess в сообщении #466842 писал(а):

Рассуждаем: в семье было два рождения (монету подбрасывали дважды). Один раз родился мальчик (один раз выпал герб). Какова вероятность, что родились два мальчика (что дважды выпал герб)? Варианты: ММ, ДМ или МД (ГГ, РГ или ГР). Ответ: $\frac{1}{3} (\frac{1}{3}).$

Здесь моделирование на монетах немного хромает. В условии сказано, что один из двух детей мальчик. А был ли он первым или вторым ребёнком - не известно. Может быть такое моделирование будет лучше?
Монету подбрасывали два раза. В одном из бросков выпал герб. Какова вероятность, что выпали оба герба?
Но тогда решение 1/2.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #468054 писал(а):

Может быть такое моделирование будет лучше?
Монету подбрасывали два раза. В одном из бросков выпал герб. Какова вероятность, что выпали оба герба?
Но тогда решение 1/2.

Неверно.
А где решение?

[Mihajlo]

Лукомор в сообщении #468179 писал(а):

А где решение?

По моим соображениям решение должно быть таким. По условию герб выпал в одном из двух бросков. Если это в 1-м броске, то во втором может произойти либо Г, либо Р. Т.е. после таких двух бросков возможны только две ситуации: ГГ или ГР. Верояность ГГ составит 1/2. Если же герб в обязательном порядке выпадет во втором броске, то в первом опять два случая Г или Р. А после двух бросков возможны ситуации РГ или ГГ. Опять вероятность 1/2. Общая вероятность: 1/2(1/2+1/2)=1/2.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #468852 писал(а):

Если же герб в обязательном порядке выпадет во втором броске, то в первом опять два случая Г или Р.

Но случай Г в первом броске вы уже рассмотрели полностью выше.
Таким образом, случай ГГ вы посчитали дважды.
А случай РР при этом не учли.
Отсюда ошибка.
Надо было сразу отбросить случай РР, который может произойти с вероятностью $P=\frac14$
Оставшиеся три случая ГГ, ГР, РГ равновероятны.
Поэтому вероятность ГГ при условии, что хотя бы одна из монет выпала гербом $P=\frac13$

[Mihajlo]

Лукомор в сообщении #468904 писал(а):

Таким образом, случай ГГ вы посчитали дважды.

Так и нужно считать дважды!
1. Герб в первом броске выпал точно. Железно. Безусловно. Во втором броске может либо Г либо Р.
2. Герб во втором броске выпал точно. Железно. Безусловно. В первом броске может либо Г либо Р.
Условием дано, что Г выпал точно! Вариант РР условием ЗАПРЕЩЁН.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #468923 писал(а):

Так и нужно считать дважды!

(Оффтоп)

А почему бы не трижды?

Ещё раз, по порядку.
Первый ребёнок - мальчик, либо девочка. Вероятность - $P=\frac12$
Теперь второй ребёнок...
Мальчик и ... ещё мальчик $P=\frac14$
Мальчик и девочка $P=\frac14$
Девочка и мальчик $P=\frac14$
Две девочки $P=\frac14$
Никто не запрещает вариант с двумя девочками...
Теперь вопрос задачи:
"Какова вероятность ММ при условии, что хотя бы один ребёнок - мальчик?"
Вот теперь находим вероятность того, что хотя бы один ребёнок в семье - мальчик.
Она равна $P=\frac34$, потому что две девочки уносят $P=\frac14$
И из оставшихся трёх четвертей одна четверть - это ММ.
Делим одну четверть на три четверти, получаем правильный ответ.

-- Сб июл 16, 2011 18:12:20 --

Mihajlo в сообщении #468923 писал(а):

2. Герб во втором броске выпал точно. Железно. Безусловно. В первом броске может либо Г либо Р.

Может то он может, но вариант ГГ мы уже учли в первом броске.
Так что, если во втором броске точно Г, то в первом может быть только Р.
Потому как в первом броске Вы рассматривали только Г. Железно. Безусловно.
А надо было учесть ещё вариант РГ.

[Mihajlo]

Лукомор в сообщении #468995 писал(а):

Может то он может, но вариант ГГ мы уже учли в первом броске. (выделено мной - М.). Так что, если во втором броске точно Г, то в первом может быть только Р.

Мне кажется, что невольно как-то смешиваются у нас понятия вариант и бросок.
Разберёмся сначала с монетами. Задача: Монету подбрасывали два раза. В одном из бросков выпал герб. Какова вероятность, что выпали оба герба?
Мы обязаны рассмотреть два возможных случая.
Случай 1. Герб выпал в первом броске. Во втором броске возможны Г или Р. Случай 2. Герб выпал во втором броске . В первом броске возможны Г или Р.
Я считаю, что это РАЗНЫЕ случаи. А вы считаете, что Случай 2 не стоит рассматривать ввиду того, что уже рассмотрен Случай 1. Да, оба случая очень похожи, тем не менее их два! Это первое наше противоречие. Но пока не будем переходить к другим. Вот что ЗДЕСЬ не так?

[Александрович]

Mihajlo в сообщении #469011 писал(а):

Задача: Монету подбрасывали два раза. В одном из бросков выпал герб. Какова вероятность, что выпали оба герба?

ГР,РГ,ГГ. 1/3.