Второй ребёнок в теории вероятностей.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #470718 писал(а):

Где ошибка в фразе, набранной курсивом?

Ошибка в том что "коль один мальчик уже есть".
А если "уже есть" - девочка?
Тогда вторым ребёнком в семье вполне может быть мальчик.
Вот возьмём четыре семьи.
У Ивановых - две дочки.
У Петровых - старший сын, младшая дочка.
У Сидоровых - Старшая дочка и младший сын.
У Михайловых - два сына.
Всего в трёх семьях из четырех имеется хотя бы один мальчик.
Из них только в одной, два мальчика. $P=\frac13$

Теперь Ваш вариант.
У Петоровых и у Михайловых - старший сын.
Из них двоих - в одной семье - два мальчика.
У Сидоровых и опять же у Михайловых - младший сын.
Из них, опять же, у тех же самых Михайловых, те же самые два сына.
Так кто из нас считает по два раза?!
Получается, это Вы нам сыночков Михайловых дважды втюхали.
Видите ли:
просто старший брат,
младший брат старшего брата,
просто младший брат и
старший брат младшего брата - это на самом деле два ребёнка из одной семьи, а не четыре ребёнка из двух семей...
Отсюда и результат.

[Mihajlo]

Пример 4-х семей очень убедителен. А если ещё вспомнить практическое испытание на модели задачи Александровича, то ДА, искомая вероятность действительно = 1/3, а не 1/2. Осталась маленькая загвоздка: где ошибка в набранной курсивом фразе?

Лукомор в сообщении #470842 писал(а):

Ошибка в том что "коль один мальчик уже есть".
А если "уже есть" - девочка?

Но мы же вынуждены следовать условию задачи, в которой М УЖЕ есть. И этот М может быть либо 1-м либо 2-м и никаким третьим. И всё! Два случая уже рассматривались. С какой стати мы должны ещё и девочку учитывать как главного фигуранта? Тем более она в КАЖДОМ из приведенных двух случаях всесторонне учитывалась.

P.S. Мужик что бык: втемяшится
В башку какая блажь —
Колом ее оттудова
Не выбьешь... (Н. А. Некрасов).
Прошу прощения, если напоминаю этого мужика. Но действительно хочется докопаться до полного логического конца.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #470928 писал(а):

Но мы же вынуждены следовать условию задачи, в которой М УЖЕ есть. И этот М может быть либо 1-м либо 2-м и никаким третьим. И всё! Два случая уже рассматривались.

Ещё раз подробно!
В прошлом посте я привёл решение для четырёх семей.
Вы же пытаетесь рассмотреть 8 детей, то есть по два раза каждую семью.
Чтобы это сделать правильно, нужно рассмотреть не "М уже есть", как у Вас всё время получается.
Нужно рассмотреть:"старший ребёнок уже есть", или "младший ребёнок уже есть", не сваливая их в одну кучу.
Итак:
1. "Старший ребёнок уже есть".
С вероятностью 1/2 старший - мальчик.
Тогда, с вероятностью 1/4 будет два мальчика, с вероятностью 1/4 - мальчик и девочка.
Но, с вероятностью 1/2 старшая - девочка, и тогда с вероятностью 1/4 младший - мальчик.
Таким образом, в трёх случаях будет хотя бы один мальчик, причём в одном случае из трёх будет оба мальчика.
2. "Младший ребёнок уже есть".
С вероятностью 1/2 младший - мальчик.
Тогда, с вероятностью 1/4 будет два мальчика, с вероятностью 1/4 - мальчик и старшая девочка.
Но, с вероятностью 1/2 младшая - девочка, и тогда с вероятностью 1/4 старший - мальчик.
Таким образом, в трёх случаях будет хотя бы один мальчик, причём в одном случае из трёх будет оба мальчика.
Оба варианта приводят к той же вероятности, что была озвучена выше.
Ваша ошибка в том, что Вы неправильно складываете вероятности.
У Вас $P(A+B)=P(A)+P(B)=\frac12+\frac12=1$, в то время как правильно будет:
$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac12+\frac12-\frac14=\frac34$

[Mihajlo]

Лукомор в сообщении #471025 писал(а):

Чтобы это сделать правильно, нужно рассмотреть не "М уже есть", как у Вас всё время получается.

Любой человек, менее эрудированный чем Вы, будет исходить из условия задачи, что М уже есть! И будет ставить М то первым, то вторым. Это же так естественно. Вы приводите другие способы решения, которые не вызывают споров. А в чём ошибка утверждения, что М уже есть? Как выбраться из данного, возможно порочного, логического круга?

[Лукомор]

(Оффтоп)

Mihajlo в сообщении #471125 писал(а):

Как выбраться из данного, возможно порочного, логического круга?

Почитать книжку по элементарной теории вероятностей?! (Понимаю, что неспортивно! )

"Я спокоен, я абсолютно спокоен!"
Итак, ещё раз с самого начала.
Решаем геометрически.
Рисуем квадрат 1х1.
Делим его пополам горизонтальной линией.
Верхняя половина квадрата - вероятность того, что старший ребёнок - мальчик.
Нижняя половина - старший ребёнок - девочка.
Практически пополам разделили квадрат.
Теперь проводим вертикальную линию.
Левая половина квадрата - вероятность того, что младший - мальчик.
Правая половина - младшая девочка.
Четыре четвертушки получилось.
Левая верхняя четвертушка - это вероятность того, что в семье два мальчика.
Это будет числитель.
Теперь знаменатель.
В знаменателе должна быть вероятность того, что "хотя бы один мальчик".
Это будет левая половинка квадрата плюс верхняя половинка квадрата, (внимание!)
минус левая верхняя четвертушка, которая общая для двух прямоугольников.
Итак вероятность того, что хотя бы один пацан равна 3/4.
Ещё проще её можно найти, вычтя из единицы правую нижнюю четвертушку, (это вероятность двух девчёнок).

Осталось поделить 1/4 на 3/4 и получить правильный ответ.

[Лукомор]

Так будет лучше!

[Александрович]

Mihajlo! Вы согласны что события МД, ДМ и ММ - равновозможны?

[Лукомор]

Александрович в сообщении #471302 писал(а):

Mihajlo! Вы согласны что события МД, ДМ и ММ - равновозможны?

Фокус заключается в том, что Mihajlo рассматривает сначала верхнюю половину квадрата, что соответствует случаю "старший ребёнок - мальчик". А затем левую половину квадрата, что соответствует случаю "младший ребёнок - мальчик".
Очевидно, что один квадратик, соответствующий P(MM) посчитан дважды.
Таким образом у него получилось $P(MM)=\frac12$, а $P(Mx+xM)=1.0$ (в последней формуле $x$ означает любой пол).

[Lukin]

Лукомор, Mihajlo не желаете ли поразмышлять над такими вопросами:
1) один из детей (неважно какой именно) мальчик, какова вероятность, что другой ребенок (неважно какой именно) мальчик ?
2) один из детей (неважно какой именно) мальчик, какова вероятность, что младший ребенок -мальчик ?
3) один из детей (неважно какой именно) мальчик, какова вероятность, что именно этот мальчик -старший ребенок ?
4) один из детей (неважно какой именно) мальчик, какова вероятность, что оба ребенка мальчики (следует иметь в виду, что семья, в которой указанный в условии мальчик является младшим отличается от семьи, в которой указанный в условии мальчик является старшим) ?
5) один из детей (неважно какой именно, но либо старший, либо младший) мальчик, какова вероятность, что оба ребенка мальчики (не важно, является ли указанный в условии мальчик старшим, или младшим) ?
6) один из детей (неважно какой именно, или старший или младший или оба вместе) мальчик, какова вероятность, что оба ребенка мальчики (не важно, является ли указанный в условии мальчик старшим, или младшим) ?
Заодно и над эквивалентностью утверждений и событий с двумя детьми и со вторым ребенком (не тем, который по условию мальчик и не тем мальчиком, который "один из" по условию).

Mihajlo в сообщении #417866 писал(а):

2. У Сидорова, как ни странно, тоже двое детей. Известно, что, как минимум, один из них - мальчик, какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики?

Как Вы считаете, какой вопрос (1-6) можно было бы считать эквивалентным цитируемому (или может есть свой уточненный вариант) ?

[Лукомор]

Lukin в сообщении #471567 писал(а):

Лукомор, Mihajlo не желаете ли поразмышлять над такими вопросами:

(Оффтоп)

Вопросы небрежно сформулированы, поэтому размышлять пока не о чем.
Ежели их сформулировать чётко, размышлять уже будет не о чем.
Вот это:

Lukin в сообщении #471567 писал(а):

один из детей (неважно какой именно) мальчик

Нужно понимать как?
1.Хотя бы один - мальчик, то есть может быть 1, а может быть и 2 мальчика из двух, но не 2 девочки.
или
2. Точно 1 мальчик, но не 2 и не 0, а второй ребёнок - точно девочка.
Для начала определитесь с этим...

[Mihajlo]

Мы всё время уходим от сути. Не нужно приводить другие методы, способы, варианты с квадратами и без. Нужно найти ошибку в данной логической конструкции.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #472255 писал(а):

Нужно найти ошибку в данной логической конструкции.

Ошибка:
Вы неявно считаете, что старший мальчик, у которого есть младший брат, и младший мальчик, у которого есть старший брат - это четыре ребёнка из двух семей = два отдельных варианта, при этом у вас получается всего четыре варианта.
На самом деле: старший мальчик, у которого есть младший брат, и младший мальчик, у которого есть старший брат - это два ребёнка из одной семьи = и это один из трёх возможных вариантов.

[Mihajlo]

"Я спокоен, я абсолютно спокоен!"
Итак, ещё раз с самого начала.
Текст спорной задачи:
У Сидорова двое детей. Точно известно, что один из них мальчик. Какова вероятность, что у Сидорова оба мальчики?
Договоримся: следующее предложение обозначим буквой Z:
Здесь есть ошибка?
Всего два допустимых случая: Z
Случай 1. Ребёнок, о котором точно известно, что это мальчик, является первым у Сидорова. Z
Тогда вторым ребёнком может быть М или Д. Z
Случай 2. Ребёнок, о котором точно известно, что это мальчик, является вторым у Сидорова. Z
Тогда первым ребёнком может быть М или Д. Z
1) Вероятность того, что в случае 1 будут оба М, = 1/2. Z
2) Вероятность того, что в случае 2 будут оба М, = 1/2. Z
Т.е. имеет место точно либо 1) либо 2). Z
Третий (иной) случай быть не может. Z
Суммируя 1) и 2) выходим на 1/2. Z
Вопрос: в какой точке сего логического построения произошёл съезд с пути истинного?

-- Пн авг 01, 2011 10:21:31 --

Лукомор в сообщении #472488 писал(а):

Ошибка: Вы неявно считаете, что старший мальчик, у которого есть младший брат, и младший мальчик, у которого есть старший брат - это четыре ребёнка из двух семей = два отдельных варианта, при этом у вас получается всего четыре варианта.

Не просматривается ошибка. Имеется ввиду, что возможен вариант ОДИН из двух: или у Сидорова мальчик первый или второй. Про 4 ребёнка никто не думал. Каждый раз идёт речь только о двух и здесь возможны варианты. Только не надо напоминать о МД, ДМ и ММ. Нужно найти ошибку в приводимом выше решении.

[Лукомор]

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

Имеется ввиду, что возможен вариант ОДИН из двух: или у Сидорова мальчик первый или второй.

А тот вариант, что у Сидорова может быть и первый мальчик, и второй мальчик, вы не рассматриваете?

-- Пн авг 01, 2011 11:47:37 --

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

Всего два допустимых случая: Z

N - ну, допустим...

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

Случай 1. Ребёнок, о котором точно известно, что это мальчик, является первым у Сидорова. Z

Y - Первый ребёнок у Сидорова мальчик, или девочка.

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

Тогда вторым ребёнком может быть М или Д. Z

Y -Если первый - мальчик, то вторым может быть либо мальчик, либо девочка.
Если первая девочка, то вторым может быть только мальчик.

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

Случай 2. Ребёнок, о котором точно известно, что это мальчик, является вторым у Сидорова. Z

Y - Вторым ребёнком у Сидорова может быть либо мальчик, либо девочка.

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

Тогда первым ребёнком может быть М или Д. Z

Y - Если второй ребёнок - мальчик, то первым может быть либо мальчик, либо девочка.
Но если второй ребенок - девочка, то мальчик может быть первым.

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

1) Вероятность того, что в случае 1 будут оба М, = 1/2. Z

Y - Вероятность того, что в первом случае оба мальчика - 1/3.

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

2) Вероятность того, что в случае 2 будут оба М, = 1/2. Z

Y - Вероятность того, что во-втором случае будут оба мальчика - 1/3.

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

Т.е. имеет место точно либо 1) либо 2). Z

N - ну, допустим...

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

Третий (иной) случай быть не может. Z

N - ну, допустим...

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):

Суммируя 1) и 2) выходим на 1/2. Z

Y - Выходим на 1/3.
Но если Вы будете складывать 1/2 из первого случая, с 1/2 из второго случая, то у Вас обязано получится:$P=P_1+P_2-P_1 \cdot P_2=\frac12+\frac12-\frac1{2\cdot2}=\frac34$.
Но это не будет вероятность того, что в семье два мальчика.
Это как-раз и будет вероятность того, что в семье хотя бы один мальчик.

[Mihajlo]

Лукомор в сообщении #472547 писал(а):

А тот вариант, что у Сидорова может быть и первый мальчик, и второй мальчик, вы не рассматриваете?

Условием дано, что у Сидорова один мальчик есть точно. А другой ребёнок может быть как М, так и Д. И эти варианты все исследуются, включая ММ.

Лукомор в сообщении #472547 писал(а):

Mihajlo в сообщении #472520 писал(а):
Всего два допустимых случая: Z
N - ну, допустим...

Как понять "ну, допустим..."? Мальчик у Сидорова УЖЕ есть и он может быть первым или вторым. И всё! Без всякого "допустим".

Лукомор в сообщении #472547 писал(а):

Y - Первый ребёнок у Сидорова мальчик, или девочка.

Лукомор в сообщении #472547 писал(а):

Если первая девочка, то вторым может быть только мальчик.

Я же очень просил не рассматривать другие, быть может вполне правильные, решения. Давайте плясать не от девочки, положение которой по условию не ясно, а от мальчика, который точно есть. И точно есть другой ребёнок. Вероятность, что он М = 1/2. Открою секрет: так рассуждал мой ученик, а мне нечем было крыть. И вам всем пока не удаётся это крыть. Может вы и сильны, как математики, но методика преподавания у вас не важнецкая. Да и у меня тож, коль нечем крыть.