Второй ребёнок в теории вероятностей.

[Mihajlo]

Где-то в инете наткнулся на такие две задачки.
1. У Иванова двое детей. Старший ребенок - девочка. Какова вероятность того, что оба ребенка - девочки?
2. У Сидорова, как ни странно, тоже двое детей. Известно, что, как минимум, один из них - мальчик, какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики?
Было приведено и решение:
В первом случае 50% (один из двух вариантов - "старшая девочка +младший мальчик" И "Старш.Дев+Младш.Дев"). Во втором, если брать по аналогии, выходит одно из 3-х (ММ, МД, ДМ) - 33.3%).
1-е понятно. А вот 2-е вызывает сомнение, потому что автор рассматривает только один вариант появления второго мальчика. По условию у Сидорова один мальчик уже есть. Вторым ребёнком может быть девочка (старше или младше этого мальчика - два случая) или мальчик (старше или младше этого мальчика - тоже же 2 случая!). Т.е. всего 4 допустимых случая: ММл, МстМ, МД, ДМ. Из них 2 благоприятных и вероятность = 1/2, а не 1/3. В отношении второго ребёнка, если это девочка, автор рассматривает случаи старше-младше, а к мальчикам старшинство почему-то не рассматривается. Кто прав? Может меня испугал синдром Даламбера? Помните знаменитую задачу: монета бросается 2 раза. Какова вероятность, что герб выпадет хотя бы один раз? Гениальный Даламбер решил так: всего три варианта - либо выпадут оба герба (ГГ), либо обе решки (РР), либо разные (ГР). Герб встречается в двух случаях из трёх, сл-но вер-сть равна 2/3. Решение это оказалось ошибочным, т.к. всего вариантов 4: ГГ, ГР, РГ, РР. Правильный ответ: 3/4.

[gris]

Здесь надо аккуратно рассмотреть все случаи, учитывая равновероятность, независимость. В реальности существуют некоторые чисто биологические корреляции между полом детей. А как насчёт близнецов?

Идеально — задача сводится к монетной схеме. Два раза подброшена монетка. Известно, что второй раз выпал герб или известно, что один раз выпал герб. Найти вероятность того, что обе монетки выпали гербом.
Реально — вероятности для детей будут немного отличаться.

А как насчёт такой задачи: две абсолютно неразличимые монетки бросаются на стол. Какова вероятность двух гербов?

Я думаю, что Д'Аламбер не прокололся, а просто прикололся. В те времена теорию вероятностей тщательно проверяли на опытах, десятки тысяч раз бросая иголки и монеты.

[ewert]

Mihajlo в сообщении #417866 писал(а):

Во втором, если брать по аналогии, выходит одно из 3-х (ММ, МД, ДМ) - 33.3%).

Аналогия сомнительна, но ответ станет несомненным, если подойти к делу сугубо формально. Имеем событие $A$: "хоть один мальчик", $P(A)=\frac34$ и событие $B$: "оба мальчики", $P(B)=\frac14$. А найти требуется условную вероятность $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac13$, вот и всё.

[--mS--]

Mihajlo в сообщении #417866 писал(а):

Т.е. всего 4 допустимых случая: ММл, МстМ, МД, ДМ. Из них 2 благоприятных и вероятность = 1/2, а не 1/3.

Что-то пространство элементарных исходов у Вас непонятно из скольких исходов состоит. В нём всего-то 4 равновозможных исхода: ММ, МД, ДМ, ДД. И событие "как минимум один из детей - мальчик" состоит из первых трёх, из которых нас затем интересует один.

[Mihajlo]

--mS-- в сообщении #417881 писал(а):

всего-то 4 равновозможных исхода: ММ, МД, ДМ, ДД.

Вариант ДД исключается, по условию как минимум ОДИН МАЛЬЧИК уже есть. И вопрос задачи только о ДВУХ мальчиках!

gris в сообщении #417871 писал(а):

Я думаю, что Д'Аламбер не прокололся, а просто прикололся.

Однако же, после публикации статьи с неверным решением автор жил ещё 20 лет и ни он и ни кто другой не возникал.

ewert в сообщении #417872 писал(а):

событие $A$: "хоть один мальчик", $P(A)=\frac34$

ewert в сообщении #417872 писал(а):

событие $B$: "оба мальчики", $P(B)=\frac14$.

В том-то и соль вопроса, что появление чисел 3/4 и 1/4 надо обосновать.

-- Вс фев 27, 2011 20:02:38 --

gris в сообщении #417871 писал(а):

Идеально — задача сводится к монетной схеме.

Никак нет. Вариант ГГ или РР в монетах считается однозначным. А у детей вариант ДД не однозначен, см. 1-ю задачу, решение которой не вызывает сомнений ни у кого.

[ewert]

Mihajlo в сообщении #417987 писал(а):

появление чисел 3/4 и 1/4 надо обосновать.

Пространство событий состоит из четырёх равновероятных исходов. Именно четырёх, если равновероятных (а если трёх, то они равновероятными не будут). Поскольку условие задачи подразумевает, что ребёнки рождаются независимо друг от друга.

Вот ровно так же и птички монетки.

[Mihajlo]

ewert в сообщении #417992 писал(а):

Пространство событий состоит из четырёх равновероятных исходов.

Каких именно? Было два варианта с 4 исходами на данном форуме:
1) вариант --mS-- (см. пост выше) не проходит из-за ДД.
2) а в моём варианте вер-сть=1/2. Вопрос: Кто прав? висит родимый.

[ewert]

Хорошо. Объясните, что это за загадка природы:

Mihajlo в сообщении #417866 писал(а):

мальчик (старше или младше этого мальчика - тоже же 2 случая!

Какого именно "этого"?...

[--mS--]

Mihajlo в сообщении #417987 писал(а):

--mS-- в сообщении #417881 писал(а):

всего-то 4 равновозможных исхода: ММ, МД, ДМ, ДД.

Вариант ДД исключается, по условию как минимум ОДИН МАЛЬЧИК уже есть. И вопрос задачи только о ДВУХ мальчиках!

Я полагаю, что тут речь идёт (как всегда, когда возникает дискуссия по этой задаче) о полном незнании того, что такое есть условная вероятность. Не позорьтесь, откройте книжку.

Пространство элементарных исходов в данном эксперименте состоит из четырёх (4) равновозможных событий. Событие $B$ - в семье есть хотя бы один мальчик - вырезает три (3) равновозможных исхода из этих четырёх. Событие $A$ - оба мальчика - образует один (1) исход из этих трёх (3). Соответственно, $\mathsf P(A\,|\,B)=1/3$.

[Mihajlo]

--mS-- в сообщении #418024 писал(а):

Событие $B$ - в семье есть хотя бы один мальчик

Вопроса хотя бы один мальчик в условии задачи нет. Вопрос о двух М.

--mS-- в сообщении #418024 писал(а):

состоит из четырёх (4) равновозможных событий.

Перечислите их. Только без ДД, которого тоже нет.

[ewert]

Mihajlo в сообщении #418031 писал(а):

Только без ДД, которого тоже нет.

Вы путаете постановку опыта (просто рождение двух детей) -- и зафиксированное событие (появление в результате опыта хоть одного мальчика). Единственное для Вас утешение, что Вы не один такой; но это утешение слабое.

[--mS--]

Mihajlo в сообщении #418031 писал(а):

--mS-- в сообщении #418024 писал(а):

Событие $B$ - в семье есть хотя бы один мальчик

Вопроса хотя бы один мальчик в условии задачи нет. Вопрос о двух М.

Mihajlo в сообщении #417866 писал(а):

2. У Сидорова, как ни странно, тоже двое детей. Известно, что, как минимум, один из них - мальчик, какова вероятность того, что оба ребенка - мальчики?

Слова "известно, что..." описывают событие $B$, а вероятность, что Вы собираетесь вычислять, называется условной. При условии, что событие $B$ случилось в эксперименте, который без этого знания может завершиться одним из четырёх равновозможных исходов. Перечислены они выше: ММ, МД, ДМ, ДД.

Mihajlo в сообщении #418031 писал(а):

--mS-- в сообщении #418024 писал(а):

состоит из четырёх (4) равновозможных событий.

Перечислите их. Только без ДД, которого тоже нет.

Будете изучать понятие условной вероятности, или будете продолжать троллить?

[Mihajlo]

Мы ушли в сторону от поставленного вопроса: нужно ли рассматривать одно ММ или их два? Добавляемая девочка к имеющемуся мальчику становится то старшей, то младшей, получается 2 варианта. А когда добавляется мальчик, то вопрос старшинства почему-то не рассматривается. Может быть так и надо. Мне не понятен именно этот и только этот момент. Условная вероятность здесь ни причём.

[gris]

Главное, чтобы все элементарные исходы были равновероятны (либо с известными вероятностями) и представляли собой непересекающиеся события.
В записи РР предполагается, что дети отсортированы по старшинству, пусть с точностью до минуты. Поэтому добавлять признак ст или мл нет смысла. МД уже означает, что мальчик младший, а девочка старшая. При этом мы предполагаем, что вероятность пола каждого ребёнка равна 1/2. Хотя в реальности вероятность рождения мальчика немного выше 1/2, но это биологические мелочи.
Получается, извините, схема с монеткой.
Варианты для двух детей ММ, МД, ДМ, ДД не пересекаются и равновероятны, что и требуется.

[ewert]

Mihajlo в сообщении #418069 писал(а):

Мы ушли в сторону от поставленного вопроса: нужно ли рассматривать одно ММ или их два? Добавляемая девочка к имеющемуся мальчику становится то старшей, то младшей, получается 2 варианта. А когда добавляется мальчик, то вопрос старшинства почему-то не рассматривается. Может быть так и надо. Мне не понятен именно этот и только этот момент. Условная вероятность здесь ни причём.

Что-то мне тоже всё больше кажется, что это троллинг. Ну нельзя же быть настолько нечувствительным к ответам.

-----------------------------------
А-а, я понял, откуда ник:

"Убирайся!
Как же мне ты надоел.
Собирайся,
У меня так много дел.
О, сколько же я
Терпела тебя --
Убирайся, пока цел,
Михайло.

Hоо-но-о,
Если ты появишься опять.
Hоо-но-о,
Попытаешься обнять --
По шее крутой
Получишь, друг мой.
Убирайся лучше спать!
Михайло.

$\copyright$ А.Дольский