Задачки по группам (Винберг)

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #414042 писал(а):

Получилось только $ea^{-1}=a^{-1}$, но не знаю, чем это полезно...

Тем, что любой элемент - правообратный к какому-то, значит $e$ - и левая единица тоже.

[caxap]

(Оффтоп)

Kallikanzarid
Эту задачу я уж давно решил. Теперь тема превратилась в помойку, куда я задаю вопросы по группам.

[Kallikanzarid]

(Оффтоп)

Ну, вдруг :)

-- Пт апр 29, 2011 22:50:24 --

caxap в сообщении #421416 писал(а):

Вопрос. В обозначении $f:A\to B$, $A=\mathrm{dom}\,f$-- область определения, $f(A)=\mathrm{im}\,f$ -- область значений, а как называется $B$?

$\operatorname{cod}f$, кодомен $f$, см. Маклейн, "Категории для работающего математика".

Padawan в сообщении #428731 писал(а):

Не подскажите страницу? Я нашёл только предложение 1 на стр. 24 (советское издание, оно одно). Там для конечных мощностей только.

Подтверждаю, у меня издание новое, английское. Но для любой мощности все также: т.к. классы смежности не пересекаются, выполняется теоретико-множественное соотношение

$$G = \bigsqcup_{gH}gH \cong \bigsqcup_{gH}H \cong \{gH\} \times H$$

, откуда получаем искомое.

caxap в сообщении #439957 писал(а):

Что такое размерность группы?

Есть порядок группы и ранг абелевой группы, см. Википедию. Если $F$ - поле, то $\operatorname{rank}F^n = \operatorname{dim}F^n$.

[caxap]

Kallikanzarid
Спасибо за ответ. (Только сейчас прочитал. Ваше сообщение приклеилось к предыдущему и, соответственно, никакого уведомления я не получил.)

Kallikanzarid в сообщении #440027 писал(а):

Есть порядок группы и ранг абелевой группы

Это, похоже, не то. В "Математических методах классической механики" написано, что размерность группы преобразований Галилея равна 10. И даже расписано: поворот (3) + сдвиг (4) + движение (3). Но всё равно не понял. Например, почему размерность группы поворота равна 3 (ну тут я догадываюсь: преобразования из $\rm O_3$ являются линейными операторами в 3-мерном векторном пространстве)? А, скажем, размерность группы $\mathbb Z_n$ чему равна?

(Маленький вопрос)

Пусть, к примеру, $(G,*)$ и $(H,\circ)$ -- группы, а $f$ -- гомоморфизм из первой во вторую. Как правильно писать: $f:G\to H$ или $f:(G,*)\to(H,\circ)$? С теоретико-множественной точки зрения мы должны отображать множество $G$ в множество $H$ (а условие $a*b=f(a)\circ f(b)$ является просто "довеском" сверху), то есть надо писать первым способом. С категорной точки зрения, $(G,*)$ и $(H,\circ)$ -- это цельные объекты в категории групп, а $f$ -- морфизм между этими объектами, то есть надо писать вторым способом. Противоречие.

[Joker_vD]

(Маленький ответ)

caxap в сообщении #444237 писал(а):

Пусть, к примеру, $(G,*)$ и $(H,\circ)$ -- группы, а $f$ -- гомоморфизм из первой во вторую. Как правильно писать: $f:G\to H$ или $f:(G,*)\to(H,\circ)$? С теоретико-множественной точки зрения мы должны отображать множество $G$ в множество $H$ (а условие $a*b=f(a)\circ f(b)$ является просто "довеском" сверху), то есть надо писать первым способом. С категорной точки зрения, $(G,*)$ и $(H,\circ)$ -- это цельные объекты в категории групп, а $f$ -- морфизм между этими объектами, то есть надо писать вторым способом. Противоречие.

Первым способом. Когда неясно, что это — например, гомоморфизм групп или модулей, — уточняют. Обыкновенные же отображения, не являющиеся гомоморфизмами, между группами, по-моему, вообще никто не рассматривает.

[VAL]

Joker_vD в сообщении #444267 писал(а):

(Маленький ответ)

Обыкновенные же отображения, не являющиеся гомоморфизмами, между группами, по-моему, вообще никто не рассматривает.

(Оффтоп)

Так уж и не рассматривают?
Может, нам надо какое-нибудь нормирование ввести...
Мне кажется, в зависимости от контекста, можно писать и так и так.

[Kallikanzarid]

caxap в сообщении #444237 писал(а):

Это, похоже, не то. В "Математических методах классической механики" написано, что размерность группы преобразований Галилея равна 10.

Группа Галилея - это группа Ли, она является одновременно и группой, и гладким многообразием. Под размерностью здесь подразумевается ее размерность как многообразия.

[JSBach]

Общая схема решения (по крайней мере, одна из возможных) задачи 4.4.2 (про группу $SL_2(\mathbb{Z})$).

1. Исследовать, как на произвольную матрицу действует ее умножение на матрицы $R$, $S$ и их степени.
2. Заметить, что если элементы какого-либо одного столбца матрицы из $SL_2(\mathbb{Z})$ оба не нулевые, то они взаимно просты (то же справедливо и для строк).
3. Выбрать какой-либо столбец или строку. Пусть, для определенности, это будет первый столбец. Рассмотреть матрицы, у которых оба элемента в первом столбце не нулевые.
4. Используя результаты пункта 1, реализовать алгоритм Евклида для элементов первого столбца. Матрица приводится к виду, в котором первый столбец равен либо $(1, 0)$, либо $(0, 1)$.
5. Снова используя результаты пункта 1, привести полученную матрицу к единичной. Здесь же уместно будет рассмотреть остальные матрицы из $SL_2(\mathbb{Z})$, у которых есть нуль в первом столбце - они приводятся к единичной почти так же, как матрицы полученные на выходе пункта 4.
6. Осталось только вспомнить, что мы на всем протяжении использовали умножение на матрицы $R$ и $S$, и что обратные к ним являются их же степенями. И задача решена!

Я понимаю, что автор топика уже давно решил эту задачу, но думаю что данная схема решения будет полезна другим, кто затрял с решением и ищет помощи.