2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение29.04.2011, 17:23 


02/04/11
956
caxap в сообщении #414042 писал(а):
Получилось только $ea^{-1}=a^{-1}$, но не знаю, чем это полезно...

Тем, что любой элемент - правообратный к какому-то, значит $e$ - и левая единица тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение29.04.2011, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015

(Оффтоп)

Kallikanzarid
Эту задачу я уж давно решил. Теперь тема превратилась в помойку, куда я задаю вопросы по группам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение29.04.2011, 18:30 


02/04/11
956

(Оффтоп)

Ну, вдруг :)


-- Пт апр 29, 2011 22:50:24 --

caxap в сообщении #421416 писал(а):
Вопрос. В обозначении $f:A\to B$, $A=\mathrm{dom}\,f$-- область определения, $f(A)=\mathrm{im}\,f$ -- область значений, а как называется $B$?

$\operatorname{cod}f$, кодомен $f$, см. Маклейн, "Категории для работающего математика".

Padawan в сообщении #428731 писал(а):
Не подскажите страницу? Я нашёл только предложение 1 на стр. 24 (советское издание, оно одно). Там для конечных мощностей только.

Подтверждаю, у меня издание новое, английское. Но для любой мощности все также: т.к. классы смежности не пересекаются, выполняется теоретико-множественное соотношение $$G = \bigsqcup_{gH}gH \cong \bigsqcup_{gH}H \cong \{gH\} \times H$$, откуда получаем искомое.

caxap в сообщении #439957 писал(а):
Что такое размерность группы?

Есть порядок группы и ранг абелевой группы, см. Википедию. Если $F$ - поле, то $\operatorname{rank}F^n = \operatorname{dim}F^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение10.05.2011, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Kallikanzarid
Спасибо за ответ. (Только сейчас прочитал. Ваше сообщение приклеилось к предыдущему и, соответственно, никакого уведомления я не получил.)

Kallikanzarid в сообщении #440027 писал(а):
Есть порядок группы и ранг абелевой группы

Это, похоже, не то. В "Математических методах классической механики" написано, что размерность группы преобразований Галилея равна 10. И даже расписано: поворот (3) + сдвиг (4) + движение (3). Но всё равно не понял. Например, почему размерность группы поворота равна 3 (ну тут я догадываюсь: преобразования из $\rm O_3$ являются линейными операторами в 3-мерном векторном пространстве)? А, скажем, размерность группы $\mathbb Z_n$ чему равна?

(Маленький вопрос)

Пусть, к примеру, $(G,*)$ и $(H,\circ)$ -- группы, а $f$ -- гомоморфизм из первой во вторую. Как правильно писать: $f:G\to H$ или $f:(G,*)\to(H,\circ)$? С теоретико-множественной точки зрения мы должны отображать множество $G$ в множество $H$ (а условие $a*b=f(a)\circ f(b)$ является просто "довеском" сверху), то есть надо писать первым способом. С категорной точки зрения, $(G,*)$ и $(H,\circ)$ -- это цельные объекты в категории групп, а $f$ -- морфизм между этими объектами, то есть надо писать вторым способом. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение10.05.2011, 11:44 
Заслуженный участник


09/09/10
3729

(Маленький ответ)

caxap в сообщении #444237 писал(а):
Пусть, к примеру, $(G,*)$ и $(H,\circ)$ -- группы, а $f$ -- гомоморфизм из первой во вторую. Как правильно писать: $f:G\to H$ или $f:(G,*)\to(H,\circ)$? С теоретико-множественной точки зрения мы должны отображать множество $G$ в множество $H$ (а условие $a*b=f(a)\circ f(b)$ является просто "довеском" сверху), то есть надо писать первым способом. С категорной точки зрения, $(G,*)$ и $(H,\circ)$ -- это цельные объекты в категории групп, а $f$ -- морфизм между этими объектами, то есть надо писать вторым способом. Противоречие.

Первым способом. Когда неясно, что это — например, гомоморфизм групп или модулей, — уточняют. Обыкновенные же отображения, не являющиеся гомоморфизмами, между группами, по-моему, вообще никто не рассматривает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение10.05.2011, 12:01 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Joker_vD в сообщении #444267 писал(а):

(Маленький ответ)

Обыкновенные же отображения, не являющиеся гомоморфизмами, между группами, по-моему, вообще никто не рассматривает.

(Оффтоп)

Так уж и не рассматривают?
Может, нам надо какое-нибудь нормирование ввести...
Мне кажется, в зависимости от контекста, можно писать и так и так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение10.05.2011, 12:21 


02/04/11
956
caxap в сообщении #444237 писал(а):
Это, похоже, не то. В "Математических методах классической механики" написано, что размерность группы преобразований Галилея равна 10.

Группа Галилея - это группа Ли, она является одновременно и группой, и гладким многообразием. Под размерностью здесь подразумевается ее размерность как многообразия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение09.02.2022, 08:31 


29/11/16
14
Общая схема решения (по крайней мере, одна из возможных) задачи 4.4.2 (про группу $SL_2(\mathbb{Z})$).

1. Исследовать, как на произвольную матрицу действует ее умножение на матрицы $R$, $S$ и их степени.
2. Заметить, что если элементы какого-либо одного столбца матрицы из $SL_2(\mathbb{Z})$ оба не нулевые, то они взаимно просты (то же справедливо и для строк).
3. Выбрать какой-либо столбец или строку. Пусть, для определенности, это будет первый столбец. Рассмотреть матрицы, у которых оба элемента в первом столбце не нулевые.
4. Используя результаты пункта 1, реализовать алгоритм Евклида для элементов первого столбца. Матрица приводится к виду, в котором первый столбец равен либо $(1, 0)$, либо $(0, 1)$.
5. Снова используя результаты пункта 1, привести полученную матрицу к единичной. Здесь же уместно будет рассмотреть остальные матрицы из $SL_2(\mathbb{Z})$, у которых есть нуль в первом столбце - они приводятся к единичной почти так же, как матрицы полученные на выходе пункта 4.
6. Осталось только вспомнить, что мы на всем протяжении использовали умножение на матрицы $R$ и $S$, и что обратные к ним являются их же степенями. И задача решена!

Я понимаю, что автор топика уже давно решил эту задачу, но думаю что данная схема решения будет полезна другим, кто затрял с решением и ищет помощи.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group