2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение25.02.2011, 02:07 
Заслуженный участник


12/08/10
1606
http://dxdy.ru/topic36792.html?hilit=%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение25.02.2011, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Null, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение26.02.2011, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
5.1. Пусть $G$ -- группа преобразований множества $X$, $G_x=\{g\in G\mid gx=x\}$ -- стабилизатор элемента $x\in X$. Доказать, что $G_{gx}=gG_x g^{-1}$.

Стабилизатор элемента $gx$ включает в себя множество $gG_x g^{-1}$ (переходим в точку $x=g^{-1}gx$, там преобразование из $G_x$ точку $x$ не меняет, а потом опять возвращаемся в $gx$). Надо доказать, что других преобразований, кроме этих, $G_{gx}$ не включает.

Если $|G|$ конечно, то по теореме Лагранжа $|G|=|G/G_x|\cdot |G_x|=|Gx|\cdot |G_x|$ ($Gx$ -- орбита $x$), значит $|G_x|$ одинаково для любой точки $x$ орбиты $Gx$, в том числе для $gx$, т. е. $|G_x|=|G_{gx}|$, поэтому в $G_{gx}$ не может быть других преобразований, кроме $gG_x g^{-1}$ (т. к. $|gG_x g^{-1}|=|G_x|$).

А что делать, если $G$ бесконечна?

-- 26 фев 2011, 20:00 --

4.2. Доказать, что группа $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ порождается матрицами
$$R=\begin{pmatrix} 0&-1\\1&1\end{pmatrix},\quad S=\begin{pmatrix} 0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$

Пусть $M=\langle R,S\rangle$. Я нашёл (пальцем в небо), что $S^3=S^{-1}\in M$. Отсюда получаем единичную матрицу $S^4=E\in M$. Сделать $R^{-1}$ не получается.

Вобщем, идея у меня такая: доказать, что $R^{-1}, S^{-1}, E\in M$. А затем научиться из каждой матрицы из $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ путём умножения с одной стороны на $R,S$ получить единичную. Отсюда потом получаем разложение любой матрицы из $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ через $R^{-1}, S^{-1}$, а значит, через $R,S$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение26.02.2011, 20:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
А может так можно 5.1 доказать:

$G_{gx}=gG_x g^{-1}\iff g^{-1}G_{gx}g=G_x$. Из первого равенства следует, что $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}$, а из второго -- $G_{x}\supseteq g^{-1}G_{gx} g$. Поэтому $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}\supseteq  gg^{-1}G_{gx} gg^{-1}=G_{gx}\Rightarrow G_{gx}=gG_x g^{-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение27.02.2011, 09:15 
Заслуженный участник


13/12/05
4516
Продолжите цепочку $h\in G_{gx}\iff hgx=gx\iff\ldots$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение27.02.2011, 10:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
$\ldots\iff g^{-1}hgx=x\iff g^{-1}hg\in G_x$, отсюда получаем $G_x=g^{-1}G_{gx}g\iff G_{gx}=gG_x g^{-1}$. Так?

А в моём прошлом доказательстве где ошибка?

-- 27 фев 2011, 11:02 --

P. S. К помогающим: так как все эти задачки имеют образовательную цель, я буду рад не только советам по решению задач, но и указания на ошибки в моих попытках. (По-моему, исследование своих ошибок даже полезней...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение27.02.2011, 11:20 
Заслуженный участник


12/08/10
1606
caxap в сообщении #417666 писал(а):
Сделать $R^{-1}$ не получается.

По-моему оно туда входит по определению порожденной группы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение27.02.2011, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Null
Ага, точно. Первый вопрос снят. А вообще идея доказательства правильна?

Я пробовал умножать $R,S$ на произвольную матрицу, напр.
$$R\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-c&-d\\a+c&b+d\end{pmatrix},\quad S\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-c&-d\\a&b\end{pmatrix}$$
и т. п., но как из этого получить произвольную матрицу -- не могу догадаться :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение27.02.2011, 12:38 
Заслуженный участник


12/08/10
1606
Попробуйте вашими операциями привести первый столбец к виду (1,0)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение27.02.2011, 13:14 
Заслуженный участник


13/12/05
4516
caxap в сообщении #417706 писал(а):
А может так можно 5.1 доказать:

$G_{gx}=gG_x g^{-1}\iff g^{-1}G_{gx}g=G_x$. Из первого равенства следует, что $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}$, а из второго -- $G_{x}\supseteq g^{-1}G_{gx} g$. Поэтому $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}\supseteq  gg^{-1}G_{gx} gg^{-1}=G_{gx}\Rightarrow G_{gx}=gG_x g^{-1}$.

Ничего не понятно. Вы при доказательстве используете то, что надо доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение27.02.2011, 13:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Padawan
Первое предложение я не подумав написал :oops: Его нужно убрать. Вот заново и подробно:

Стабилизатор $G_{gx}$ включает в себя множество $gG_xg^{-1}$, ведь любое преобразование вида $ghg^{-1}$ ($h\in G_x$) оставляет на месте точку $gx$: $ghg^{-1}(gx)=ghx=gx$. С другой стороны, $G_x$ включает в себя множество $g^{-1}G_{gx}g$: ведь если $h\in G_{gx}$, то $g^{-1}hgx=g^{-1}gx=x$. То есть $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}$ и $G_{x}\supseteq g^{-1}G_{gx} g$. Значит, $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}\supseteq~ gg^{-1}G_{gx} gg^{-1}=G_{gx}$, отсюда $G_{gx}=gG_x g^{-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение27.02.2011, 13:53 
Заслуженный участник


13/12/05
4516
caxap
Правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение27.02.2011, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Padawan, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение01.03.2011, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Null в сообщении #417905 писал(а):
Попробуйте вашими операциями привести первый столбец к виду (1,0)

Не получается...

Ещё вопросик: вот пример из Винберга

Изображение

Разве конечный результат не следует сразу из того, что $f$ гомоморфизм и $|\mathrm{Sym}\,\Delta|=|S_3|$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение02.03.2011, 12:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Последний вопрос снимается. Разобрался: гомоморфизм может быть "в". (А книге как раз доказывается, что $\operatorname{Im}f=S_3$.)

Вопросы по терминологии:
1. Как называются отображения $X\to X$, оставляющие на месте точку $x\in X$? (Стабилизатор $x$ -- это множество таких отображений.)
2. Множество левых смежных классов $G$ по $H$ -- это $G/H$, а как обозначается множество правых?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group