Задачки по группам (Винберг)

[Null]

http://dxdy.ru/topic36792.html?hilit=%20%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F

[caxap]

Null, спасибо.

[caxap]

5.1. Пусть $G$ -- группа преобразований множества $X$, $G_x=\{g\in G\mid gx=x\}$ -- стабилизатор элемента $x\in X$. Доказать, что $G_{gx}=gG_x g^{-1}$.

Стабилизатор элемента $gx$ включает в себя множество $gG_x g^{-1}$ (переходим в точку $x=g^{-1}gx$, там преобразование из $G_x$ точку $x$ не меняет, а потом опять возвращаемся в $gx$). Надо доказать, что других преобразований, кроме этих, $G_{gx}$ не включает.

Если $|G|$ конечно, то по теореме Лагранжа $|G|=|G/G_x|\cdot |G_x|=|Gx|\cdot |G_x|$ ($Gx$ -- орбита $x$), значит $|G_x|$ одинаково для любой точки $x$ орбиты $Gx$, в том числе для $gx$, т. е. $|G_x|=|G_{gx}|$, поэтому в $G_{gx}$ не может быть других преобразований, кроме $gG_x g^{-1}$ (т. к. $|gG_x g^{-1}|=|G_x|$).

А что делать, если $G$ бесконечна?

-- 26 фев 2011, 20:00 --

4.2. Доказать, что группа $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ порождается матрицами

$$R=\begin{pmatrix} 0&-1\\1&1\end{pmatrix},\quad S=\begin{pmatrix} 0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$

Пусть $M=\langle R,S\rangle$. Я нашёл (пальцем в небо), что $S^3=S^{-1}\in M$. Отсюда получаем единичную матрицу $S^4=E\in M$. Сделать $R^{-1}$ не получается.

Вобщем, идея у меня такая: доказать, что $R^{-1}, S^{-1}, E\in M$. А затем научиться из каждой матрицы из $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ путём умножения с одной стороны на $R,S$ получить единичную. Отсюда потом получаем разложение любой матрицы из $\mathrm{SL}_2(\mathbb Z)$ через $R^{-1}, S^{-1}$, а значит, через $R,S$.

[caxap]

А может так можно 5.1 доказать:

$G_{gx}=gG_x g^{-1}\iff g^{-1}G_{gx}g=G_x$. Из первого равенства следует, что $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}$, а из второго -- $G_{x}\supseteq g^{-1}G_{gx} g$. Поэтому $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}\supseteq gg^{-1}G_{gx} gg^{-1}=G_{gx}\Rightarrow G_{gx}=gG_x g^{-1}$.

[Padawan]

Продолжите цепочку $h\in G_{gx}\iff hgx=gx\iff\ldots$

[caxap]

$\ldots\iff g^{-1}hgx=x\iff g^{-1}hg\in G_x$, отсюда получаем $G_x=g^{-1}G_{gx}g\iff G_{gx}=gG_x g^{-1}$. Так?

А в моём прошлом доказательстве где ошибка?

-- 27 фев 2011, 11:02 --

P. S. К помогающим: так как все эти задачки имеют образовательную цель, я буду рад не только советам по решению задач, но и указания на ошибки в моих попытках. (По-моему, исследование своих ошибок даже полезней...)

[Null]

caxap в сообщении #417666 писал(а):

Сделать $R^{-1}$ не получается.

По-моему оно туда входит по определению порожденной группы.

[caxap]

Null
Ага, точно. Первый вопрос снят. А вообще идея доказательства правильна?

Я пробовал умножать $R,S$ на произвольную матрицу, напр.

$$R\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-c&-d\\a+c&b+d\end{pmatrix},\quad S\cdot\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-c&-d\\a&b\end{pmatrix}$$

и т. п., но как из этого получить произвольную матрицу -- не могу догадаться

[Null]

Попробуйте вашими операциями привести первый столбец к виду (1,0)

[Padawan]

caxap в сообщении #417706 писал(а):

А может так можно 5.1 доказать:

$G_{gx}=gG_x g^{-1}\iff g^{-1}G_{gx}g=G_x$. Из первого равенства следует, что $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}$, а из второго -- $G_{x}\supseteq g^{-1}G_{gx} g$. Поэтому $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}\supseteq gg^{-1}G_{gx} gg^{-1}=G_{gx}\Rightarrow G_{gx}=gG_x g^{-1}$.

Ничего не понятно. Вы при доказательстве используете то, что надо доказать?

[caxap]

Padawan
Первое предложение я не подумав написал Его нужно убрать. Вот заново и подробно:

Стабилизатор $G_{gx}$ включает в себя множество $gG_xg^{-1}$, ведь любое преобразование вида $ghg^{-1}$ ($h\in G_x$) оставляет на месте точку $gx$: $ghg^{-1}(gx)=ghx=gx$. С другой стороны, $G_x$ включает в себя множество $g^{-1}G_{gx}g$: ведь если $h\in G_{gx}$, то $g^{-1}hgx=g^{-1}gx=x$. То есть $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}$ и $G_{x}\supseteq g^{-1}G_{gx} g$. Значит, $G_{gx}\supseteq gG_x g^{-1}\supseteq~ gg^{-1}G_{gx} gg^{-1}=G_{gx}$, отсюда $G_{gx}=gG_x g^{-1}$.

[Padawan]

caxap
Правильно.

[caxap]

Padawan, спасибо!

[caxap]

Null в сообщении #417905 писал(а):

Попробуйте вашими операциями привести первый столбец к виду (1,0)

Не получается...

Ещё вопросик: вот пример из Винберга



Разве конечный результат не следует сразу из того, что $f$ гомоморфизм и $|\mathrm{Sym}\,\Delta|=|S_3|$?

[caxap]

Последний вопрос снимается. Разобрался: гомоморфизм может быть "в". (А книге как раз доказывается, что $\operatorname{Im}f=S_3$.)

Вопросы по терминологии:
1. Как называются отображения $X\to X$, оставляющие на месте точку $x\in X$? (Стабилизатор $x$ -- это множество таких отображений.)
2. Множество левых смежных классов $G$ по $H$ -- это $G/H$, а как обозначается множество правых?