2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение03.03.2011, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
3.3. Доказать, что группа $\mathbb Z_n^*$ обратимых элементов кольца $\mathbb Z_n$ является циклической при $n\le 7$ и $n=9$ и не является циклической при $n=8$.

Элемент $[k]_n$ обратим $\iff$ $k$ и $n$ взаимно просты. Дальше я проверил все указанные группы в лоб.

А нет ли какого-нибудь универсального критерия, чтобы по $n$ определить -- циклическая $\mathbb Z_n^*$ или нет?

P.S. Вопросы из прошлого поста и про задачу с матрицами $R,S$ актуальны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение03.03.2011, 22:03 


19/05/10

3940
Россия
caxap в сообщении #419385 писал(а):
...
А нет ли какого-нибудь универсального критерия, чтобы по $n$ определить -- циклическая $\mathbb Z_n^*$ или нет?
...


Строение группы $\mathbb Z_n^*$ описано хорошо в классической книге
Виноградова Основы теории чисел

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение03.03.2011, 22:04 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Конечно есть, и приводится в любом более-менее полном курсе теории чисел.

Вкратце: $\mathbb Z_n^*$ циклическая тогда и только тогда, когда: $n = 2,\,n=4,\,n=p^k,\,n=2p^k$, где $p$ — нечетное простое число. Доказывается с помощью свойств экспонент и разложения $\mathbb Z_n^*$ в прямое произведение групп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение03.03.2011, 22:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение06.03.2011, 12:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
5.4. Доказать, что всякая факторгруппа циклической группы является циклической.

Всякая циклическая группа изоморфна $\mathbb Z$ или $\mathbb Z_n$.
а) $\simeq \mathbb Z$. Всякая подгруппа $\mathbb Z$ имеет вид $m\mathbb Z$, $m\in\mathbb Z_{\ge 0}$, а $\mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z_m$ циклическая.
б) $\simeq \mathbb Z_n$. $\mathbb Z_n=\{[0]_n,[1]_n,...,[n-1]_n\}$. (Далее индекс $n$ опускаю.) Пусть $\mathbb Z\supseteq H=\{[0],[m],[2m],...,[dm]\}$, где $d|n$. Она нормальная, т. к. $\mathbb Z_n$ абелева, значит $\mathbb Z_n/H$ факторгруппа и операция $+$ согласована с отношением сравнимости по модулю $H$, значит можно работать с классами эквивалентности через представителей.
$$\begin{align}\mathbb  Z_n/H =\{&\{[0],[m],...,[dm]\},\\
&\{[1],[m+1],...,[dm+1]\},\\
&\ldots,\\
&\{[m-1],[2m-1],...,[dm+m-1]\}\}=:\{G_0,G_1,...,G_{m-1}\}\end{align}$$
Тогда $G_1+G_1$ равно классу, содержащему $[1+1]=[2]$, то есть $G_2$. $G_1+G_1+G_1=G_2+G_1=G_3$ и т. д., поэтому $\mathbb Z_n/H=\langle G_1\rangle$.

У меня сомнения с б).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение06.03.2011, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
6.1. Вывести следующую формулу для знака циклической подстановки: $\mathrm{sgn}\,(i_1~i_2~\ldots~i_p)=(-1)^{p-1}$.

(Терминология)

Знак подстановки $\sigma\in S_n$ -- это количество инверсий в нижней строке в её стандартной записи $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&...&n\\k_1&k_2&...&k_n\end{pmatrix}$. Цикл $(i_1~i_2~\ldots~i_p)$ -- это подстановка, отображающая $i_1$ в $i_2$, $i_2$ в $i_3$, ..., $i_p$ в $i_1$.

Наверное нужно доказать, что знак зависит только от длины цикла (а знак цикла $(1~2~...~p)$ легко находится). Но доказать это не выходит.

Вопрос. В учебнике написано
Винберг. Курс алгебры. 2011. Гл. 4, пар. 6, пример 18 писал(а):
Путь $G$ -- какая-либо подгруппа, содержащие движения плоскости, меняющие ориентацию.

Как $G$ может быть группой? Ведь композиция двух движений, меняющих ориентацию, не меняет её.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение06.03.2011, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Значит, содержащая не только такие движения. Там же нет слова "только"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение06.03.2011, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
ИСН
Ааа. Теперь всё встало на место. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение06.03.2011, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
6.5. Доказать, что $\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_2)\simeq S_3$.

Можно доказать "в лоб". Порядки групп равны. Тождественной подстановке соответствует единичная матрица. Так как квадрат транспозиции равен тождественной подстановке, можно найти множество матриц, годящихся для транспозиций, и т. д. А нельзя ли как нибудь "по умному" решить? Может какой-нибудь гомоморфизм хороший существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение06.03.2011, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Последние задачки:

6.2. Доказать, что для любого $n\in \mathbb N$ имеет место следующий "парадоксальный" изоморфизм: $\mathbb C^*/C_n\simeq \mathbb C^*$. [$\mathbb C^*$ -- мультипликативная группа комплексных чисел (кроме нуля); $C_n\in\mathbb C^*$ -- группа корней $n$-й степень из единицы.]

Рассмотрим отображение $f:x\mapsto x^n$. Это гомоморфизм, т. к. $f(x)f(y)=x^n y^n=(xy)^n=f(xy)$. $\mathrm{ker}\,f=C_n$, $\mathrm{im}\,f=\mathbb C^*$, поэтому по теореме о гомоморфизме $\mathbb C^*/C_n\simeq \mathbb C^*$. Так можно?

Вопрос. Почему он парадоксальный?

Вопрос. Я всё больше замечаю, что значок $/$ в обозначении множества смежных классов похоже на деление: теорема Лагранжа; аффинная группа $\mathrm{GA}_n\,(K)$-- это "произведение" группы параллельных переносов $\mathrm{Trans}\,(K^n)$ с общей линейной группой $\mathrm{GL}_n\,(K)$ (в смысле каждый элемент аффинной группы является произведением пар. переноса и невыр. лин. преобразования), а $\mathrm{GA}_n\,(K)/\mathrm{Trans}\,(K^n)\simeq \mathrm{GL}_n\,(K)$; $\mathbb C/\mathbb R\simeq \mathbb R$ и т. д. Это совпадение или есть глубокий смысл?

6.3. Пусть $p$ -- простое число. Найти порядки групп $\mathrm{GL}_2\,(\mathbb Z_p)$ и $\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_p)$.

Обозначим $g:=|\mathrm{GL}_2\,(\mathbb Z_p)|$, $s:=|\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_p)|$. Так как $\mathrm{GL}_n\,(K)/\mathrm{SL}_n\,(K)\simeq K^*$, то можно найти $g$, а поделив на $|\mathbb Z_p^*|=p-1$, получим $s$.

Найдём $g$. Либо на главное диагонали не нули, либо на побочной: вариантов $2(p-1)^2$. В верхнем угле может быть любой элемент: вариантов $p$. В нижнем угле может быть любой элемент, но нам нужно, чтобы определитель был не нуль, то есть произведение диагональных элементов различалось... Не соображу, сколько здесь вариантов... Подскажите, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение06.03.2011, 22:47 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
caxap в сообщении #420006 писал(а):
6.5. Доказать, что $\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_2)\simeq S_3$.

Можно доказать "в лоб". Порядки групп равны. Тождественной подстановке соответствует единичная матрица. Так как квадрат транспозиции равен тождественной подстановке, можно найти множество матриц, годящихся для транспозиций, и т. д. А нельзя ли как нибудь "по умному" решить? Может какой-нибудь гомоморфизм хороший существует?
Не знаю, потянет ли это на "по-умному". Но "по-простому" можно оттолкнуться от того, что (с точностью до изоморфизма) существует всего две группы порядка 6. Одна их них циклическая. А наши обе не циклические.

Только не спрашивайте, как доказать, выделенное. Поскольку тогда это будет точно не "по-простому" :)

-- 06 мар 2011, 22:58 --

caxap в сообщении #420094 писал(а):
6.3. Пусть $p$ -- простое число. Найти порядки групп $\mathrm{GL}_2\,(\mathbb Z_p)$ и $\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_p)$.

Обозначим $g:=|\mathrm{GL}_2\,(\mathbb Z_p)|$, $s:=|\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_p)|$.

Найдём $g$. Либо на главное диагонали не нули, либо на побочной: ариантов $2(p-1)^2$. В верхнем угле может быть любой элемент: вариантов $p$. В нижнем угле может быть любой элемент, но нам нужно, чтобы определитель был не нуль, то есть произведение диагональных элементов различалось... Не соображу, сколько здесь вариантов... Подскажите, пожалуйста.
Как-то путанно...
Первая строка может быть любой ненулевой. Итого $p^2-1$ вариант. Остается подобрать вторую строку так, чтобы она не была пропорциональна первой. А это легко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение06.03.2011, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
VAL в сообщении #420096 писал(а):
существует всего две группы порядка 6

Запомню! Я просто думал, может существует какой-то гомоморфизм, чтобы по теореме о том, что факторгруппа по ядру изоморфна образу получить требуемый изоморфизм. В простом решении в лоб какая ценность? Наверное, какое-то умное решение предполагалось.

VAL в сообщении #420096 писал(а):
Первая строка может быть любой ненулевой. Итого $p^2-1$ вариант

Для второй строки: первый элемент может быть любым, а у второго один случай исключается, то есть $p(p-1)$. Итого $g=p(p-1)(p^2-1)$, $s=p(p^2-1)$. Так? Со случаем $p=2$ сходится: тут $g=s=6$ (это я знаю из задачи 6.5).

-- 06 мар 2011, 23:19 --

Ещё не разобрался с задачами 5.4, 6.1 и двумя порциями мелких вопросов (тыц, тыц).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение07.03.2011, 00:37 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
caxap в сообщении #420094 писал(а):
Вопрос. Почему он парадоксальный?

Ну как же, факторизуем группу по ненулевой подгруппе и получаем... ту же самую группу :shock:

caxap в сообщении #420094 писал(а):
Вопрос. Я всё больше замечаю, что значок $/$ в обозначении множества смежных классов похоже на деление... Это совпадение или есть глубокий смысл?

Именно что глубокий смысл :) Сами видите, что факторизация — это в некотором роде деление группы на подгруппу, вот и значок соответствующий подогнали: $(A\times B)/A \simeq B$, $(A\times B)/B \simeq A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение07.03.2011, 10:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/01/10
2015
Joker_vD
Joker_vD в сообщении #420123 писал(а):
Сами видите, что факторизация — это в некотором роде деление группы на подгруппу

Ясно. А вот, скажем, в $\mathbb R/\mathbb Z\simeq \mathbb T$ на "деление" совсем не похоже... ($\mathbb T$ -- это единичная комплексная окружность (группа относительно умножения). Тот изоморфизм получается из рассмотрения гомоморфизма $\mathbb R\to\mathbb T$, $x\mapsto \cos 2\pi x+i\sin 2\pi x$.) А где можно подробнее почитать про эту аналогию факторизации с делением?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачки по группам (Винберг)
Сообщение07.03.2011, 11:16 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
caxap в сообщении #420166 писал(а):
Joker_vD
Joker_vD в сообщении #420123 писал(а):
Сами видите, что факторизация — это в некотором роде деление группы на подгруппу

Ясно. А вот, скажем, в $\mathbb R/\mathbb Z\simeq \mathbb T$ на "деление" совсем не похоже...
Ну, во-первых, это как посмотреть...
А во-вторых, никто ведь и не утверждает, что факторизация - это деление. Речь идет о неком аналоге.
Цитата:
А где можно подробнее почитать про эту аналогию факторизации с делением?
Эта аналогия возникла с самого появления понятия "факторизация". Впервые оно возникло у Галуа. И не случайно, что первое название нормальной подгруппы (т.е. подгруппы пригодной для построения факторгруппы) - "нормальный делитель".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 68 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group