Задачки по группам (Винберг)

[caxap]

3.3. Доказать, что группа $\mathbb Z_n^*$ обратимых элементов кольца $\mathbb Z_n$ является циклической при $n\le 7$ и $n=9$ и не является циклической при $n=8$.

Элемент $[k]_n$ обратим $\iff$ $k$ и $n$ взаимно просты. Дальше я проверил все указанные группы в лоб.

А нет ли какого-нибудь универсального критерия, чтобы по $n$ определить -- циклическая $\mathbb Z_n^*$ или нет?

P.S. Вопросы из прошлого поста и про задачу с матрицами $R,S$ актуальны.

[mihailm]

caxap в сообщении #419385 писал(а):

...
А нет ли какого-нибудь универсального критерия, чтобы по $n$ определить -- циклическая $\mathbb Z_n^*$ или нет?
...

Строение группы $\mathbb Z_n^*$ описано хорошо в классической книге
Виноградова Основы теории чисел

[Joker_vD]

Конечно есть, и приводится в любом более-менее полном курсе теории чисел.

Вкратце: $\mathbb Z_n^*$ циклическая тогда и только тогда, когда: $n = 2,\,n=4,\,n=p^k,\,n=2p^k$, где $p$ — нечетное простое число. Доказывается с помощью свойств экспонент и разложения $\mathbb Z_n^*$ в прямое произведение групп.

[caxap]

Спасибо.

[caxap]

5.4. Доказать, что всякая факторгруппа циклической группы является циклической.

Всякая циклическая группа изоморфна $\mathbb Z$ или $\mathbb Z_n$.
а) $\simeq \mathbb Z$. Всякая подгруппа $\mathbb Z$ имеет вид $m\mathbb Z$, $m\in\mathbb Z_{\ge 0}$, а $\mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z_m$ циклическая.
б) $\simeq \mathbb Z_n$. $\mathbb Z_n=\{[0]_n,[1]_n,...,[n-1]_n\}$. (Далее индекс $n$ опускаю.) Пусть $\mathbb Z\supseteq H=\{[0],[m],[2m],...,[dm]\}$, где $d|n$. Она нормальная, т. к. $\mathbb Z_n$ абелева, значит $\mathbb Z_n/H$ факторгруппа и операция $+$ согласована с отношением сравнимости по модулю $H$, значит можно работать с классами эквивалентности через представителей.

$$\begin{align}\mathbb Z_n/H =\{&\{[0],[m],...,[dm]\},\\ &\{[1],[m+1],...,[dm+1]\},\\ &\ldots,\\ &\{[m-1],[2m-1],...,[dm+m-1]\}\}=:\{G_0,G_1,...,G_{m-1}\}\end{align}$$

Тогда $G_1+G_1$ равно классу, содержащему $[1+1]=[2]$, то есть $G_2$. $G_1+G_1+G_1=G_2+G_1=G_3$ и т. д., поэтому $\mathbb Z_n/H=\langle G_1\rangle$.

У меня сомнения с б).

[caxap]

6.1. Вывести следующую формулу для знака циклической подстановки: $\mathrm{sgn}\,(i_1~i_2~\ldots~i_p)=(-1)^{p-1}$.

(Терминология)

Знак подстановки $\sigma\in S_n$ -- это количество инверсий в нижней строке в её стандартной записи $\sigma=\begin{pmatrix}1&2&...&n\\k_1&k_2&...&k_n\end{pmatrix}$. Цикл $(i_1~i_2~\ldots~i_p)$ -- это подстановка, отображающая $i_1$ в $i_2$, $i_2$ в $i_3$, ..., $i_p$ в $i_1$.

Наверное нужно доказать, что знак зависит только от длины цикла (а знак цикла $(1~2~...~p)$ легко находится). Но доказать это не выходит.

Вопрос. В учебнике написано

Винберг. Курс алгебры. 2011. Гл. 4, пар. 6, пример 18 писал(а):

Путь $G$ -- какая-либо подгруппа, содержащие движения плоскости, меняющие ориентацию.

Как $G$ может быть группой? Ведь композиция двух движений, меняющих ориентацию, не меняет её.

[ИСН]

Значит, содержащая не только такие движения. Там же нет слова "только"?

[caxap]

ИСН
Ааа. Теперь всё встало на место. Спасибо.

[caxap]

6.5. Доказать, что $\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_2)\simeq S_3$.

Можно доказать "в лоб". Порядки групп равны. Тождественной подстановке соответствует единичная матрица. Так как квадрат транспозиции равен тождественной подстановке, можно найти множество матриц, годящихся для транспозиций, и т. д. А нельзя ли как нибудь "по умному" решить? Может какой-нибудь гомоморфизм хороший существует?

[caxap]

Последние задачки:

6.2. Доказать, что для любого $n\in \mathbb N$ имеет место следующий "парадоксальный" изоморфизм: $\mathbb C^*/C_n\simeq \mathbb C^*$. [$\mathbb C^*$ -- мультипликативная группа комплексных чисел (кроме нуля); $C_n\in\mathbb C^*$ -- группа корней $n$-й степень из единицы.]

Рассмотрим отображение $f:x\mapsto x^n$. Это гомоморфизм, т. к. $f(x)f(y)=x^n y^n=(xy)^n=f(xy)$. $\mathrm{ker}\,f=C_n$, $\mathrm{im}\,f=\mathbb C^*$, поэтому по теореме о гомоморфизме $\mathbb C^*/C_n\simeq \mathbb C^*$. Так можно?

Вопрос. Почему он парадоксальный?

Вопрос. Я всё больше замечаю, что значок $/$ в обозначении множества смежных классов похоже на деление: теорема Лагранжа; аффинная группа $\mathrm{GA}_n\,(K)$-- это "произведение" группы параллельных переносов $\mathrm{Trans}\,(K^n)$ с общей линейной группой $\mathrm{GL}_n\,(K)$ (в смысле каждый элемент аффинной группы является произведением пар. переноса и невыр. лин. преобразования), а $\mathrm{GA}_n\,(K)/\mathrm{Trans}\,(K^n)\simeq \mathrm{GL}_n\,(K)$; $\mathbb C/\mathbb R\simeq \mathbb R$ и т. д. Это совпадение или есть глубокий смысл?

6.3. Пусть $p$ -- простое число. Найти порядки групп $\mathrm{GL}_2\,(\mathbb Z_p)$ и $\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_p)$.

Обозначим $g:=|\mathrm{GL}_2\,(\mathbb Z_p)|$, $s:=|\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_p)|$. Так как $\mathrm{GL}_n\,(K)/\mathrm{SL}_n\,(K)\simeq K^*$, то можно найти $g$, а поделив на $|\mathbb Z_p^*|=p-1$, получим $s$.

Найдём $g$. Либо на главное диагонали не нули, либо на побочной: вариантов $2(p-1)^2$. В верхнем угле может быть любой элемент: вариантов $p$. В нижнем угле может быть любой элемент, но нам нужно, чтобы определитель был не нуль, то есть произведение диагональных элементов различалось... Не соображу, сколько здесь вариантов... Подскажите, пожалуйста.

[VAL]

caxap в сообщении #420006 писал(а):

6.5. Доказать, что $\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_2)\simeq S_3$.

Можно доказать "в лоб". Порядки групп равны. Тождественной подстановке соответствует единичная матрица. Так как квадрат транспозиции равен тождественной подстановке, можно найти множество матриц, годящихся для транспозиций, и т. д. А нельзя ли как нибудь "по умному" решить? Может какой-нибудь гомоморфизм хороший существует?

Не знаю, потянет ли это на "по-умному". Но "по-простому" можно оттолкнуться от того, что (с точностью до изоморфизма) существует всего две группы порядка 6. Одна их них циклическая. А наши обе не циклические.

Только не спрашивайте, как доказать, выделенное. Поскольку тогда это будет точно не "по-простому" :)

-- 06 мар 2011, 22:58 --

caxap в сообщении #420094 писал(а):

6.3. Пусть $p$ -- простое число. Найти порядки групп $\mathrm{GL}_2\,(\mathbb Z_p)$ и $\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_p)$.

Обозначим $g:=|\mathrm{GL}_2\,(\mathbb Z_p)|$, $s:=|\mathrm{SL}_2\,(\mathbb Z_p)|$.

Найдём $g$. Либо на главное диагонали не нули, либо на побочной: ариантов $2(p-1)^2$. В верхнем угле может быть любой элемент: вариантов $p$. В нижнем угле может быть любой элемент, но нам нужно, чтобы определитель был не нуль, то есть произведение диагональных элементов различалось... Не соображу, сколько здесь вариантов... Подскажите, пожалуйста.

Как-то путанно...
Первая строка может быть любой ненулевой. Итого $p^2-1$ вариант. Остается подобрать вторую строку так, чтобы она не была пропорциональна первой. А это легко.

[caxap]

VAL в сообщении #420096 писал(а):

существует всего две группы порядка 6

Запомню! Я просто думал, может существует какой-то гомоморфизм, чтобы по теореме о том, что факторгруппа по ядру изоморфна образу получить требуемый изоморфизм. В простом решении в лоб какая ценность? Наверное, какое-то умное решение предполагалось.

VAL в сообщении #420096 писал(а):

Первая строка может быть любой ненулевой. Итого $p^2-1$ вариант

Для второй строки: первый элемент может быть любым, а у второго один случай исключается, то есть $p(p-1)$. Итого $g=p(p-1)(p^2-1)$, $s=p(p^2-1)$. Так? Со случаем $p=2$ сходится: тут $g=s=6$ (это я знаю из задачи 6.5).

-- 06 мар 2011, 23:19 --

Ещё не разобрался с задачами 5.4, 6.1 и двумя порциями мелких вопросов (тыц, тыц).

[Joker_vD]

caxap в сообщении #420094 писал(а):

Вопрос. Почему он парадоксальный?

Ну как же, факторизуем группу по ненулевой подгруппе и получаем... ту же самую группу

caxap в сообщении #420094 писал(а):

Вопрос. Я всё больше замечаю, что значок $/$ в обозначении множества смежных классов похоже на деление... Это совпадение или есть глубокий смысл?

Именно что глубокий смысл :) Сами видите, что факторизация — это в некотором роде деление группы на подгруппу, вот и значок соответствующий подогнали: $(A\times B)/A \simeq B$, $(A\times B)/B \simeq A$.

[caxap]

Joker_vD

Joker_vD в сообщении #420123 писал(а):

Сами видите, что факторизация — это в некотором роде деление группы на подгруппу

Ясно. А вот, скажем, в $\mathbb R/\mathbb Z\simeq \mathbb T$ на "деление" совсем не похоже... ($\mathbb T$ -- это единичная комплексная окружность (группа относительно умножения). Тот изоморфизм получается из рассмотрения гомоморфизма $\mathbb R\to\mathbb T$, $x\mapsto \cos 2\pi x+i\sin 2\pi x$.) А где можно подробнее почитать про эту аналогию факторизации с делением?

[VAL]

caxap в сообщении #420166 писал(а):

Joker_vD

Joker_vD в сообщении #420123 писал(а):

Сами видите, что факторизация — это в некотором роде деление группы на подгруппу

Ясно. А вот, скажем, в $\mathbb R/\mathbb Z\simeq \mathbb T$ на "деление" совсем не похоже...

Ну, во-первых, это как посмотреть...
А во-вторых, никто ведь и не утверждает, что факторизация - это деление. Речь идет о неком аналоге.

Цитата:

А где можно подробнее почитать про эту аналогию факторизации с делением?

Эта аналогия возникла с самого появления понятия "факторизация". Впервые оно возникло у Галуа. И не случайно, что первое название нормальной подгруппы (т.е. подгруппы пригодной для построения факторгруппы) - "нормальный делитель".