Вариант проблемы Брокарда
Ограничимся пока простыми числами-близнецами и рассмотрим эту проблему
с помощью свойств ПСВ по модулю
![$M(p_r)$ $M(p_r)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/3/f733b26d42238783d6d86fb6a7a970e082.png)
.
Действительно, числа
![$p^2_{r+1},\;p^2_{r+2}$ $p^2_{r+1},\;p^2_{r+2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/e/5ee4298ec665465abe86d08ceba29e0d82.png)
являются вычетами этой ПСВ.
Между ними всегда существуют другие вычеты. Т.к. указанные числа квадраты
близнецов, то между ними обязательно есть один составной вычет
но остальные - простые числа.
Допустим, что их число равно 4.
На числовой оси это будет выглядеть так:
![$p^2_{r+1},\;p_s,\;p_t,\;p_{r+1}p_{r+2},\;p_i,\;p_j,\; p^2_{r+2}$ $p^2_{r+1},\;p_s,\;p_t,\;p_{r+1}p_{r+2},\;p_i,\;p_j,\; p^2_{r+2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/3/e33e1d2b1f9b091cf27fb48a63ca02a282.png)
Это группа 7-го размера, которую надо проверять по критерю существования
по модулям
![$p=3,\;p=5,\;p=7. $p=3,\;p=5,\;p=7.](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/f/b4f54689fc5ae217ce967c1e51562db582.png)
По модулю
![$p=3$ $p=3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/c/39cd1e5f222b0b87f4a26f8b97296bd282.png)
проблем нет, но по модулям
![$p=5,\;p=7$ $p=5,\;p=7$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/0/9b0fbe2332aed4d6d706b80e6beb312382.png)
возможны проблемы.
Чтобы избежать их, разделим эту группу на две смежные группы 4-го размера:
1)
![$p^2_{r+1},\;p_s,\;p_t,\;p_{r+1}\cdot p_{r+2}$ $p^2_{r+1},\;p_s,\;p_t,\;p_{r+1}\cdot p_{r+2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/0/3e012a8485dbd9f6c106bdb97a5090f182.png)
,
2)
![$p_{r+1}\cdot p_{r+2},\;p_i,\;p_j,\;p^2_{r+2}$ $p_{r+1}\cdot p_{r+2},\;p_i,\;p_j,\;p^2_{r+2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/9/a691368dbb673ed9c10549c8c802cd3082.png)
.
Эти группы достаточно проверить по критерию существования
![$K(p)$ $K(p)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/8/ba806248588a6109044b2871ddaff15d82.png)
только при
![$p=3.$ $p=3.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/3/da340606e509518235046b9a7572463b82.png)
Необходимо заметить, что такое расположение вычетов возможно только
в ПСВ по модулю
![$M>30,$ $M>30,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/6/436190fcf03f6ed91e9610cd3656c2ab82.png)
т.к. при
![$M\leqslant 30$ $M\leqslant 30$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/805ccea90d3882150c3475305b794c2d82.png)
вычет
![$p^2_{r+1}$ $p^2_{r+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/c/ecc36845514fb8cf0cce1aa9718bae4782.png)
находится за пределами ПСВ,
поэтому мы будем иметь в виду, что между квадратами чисел 3 и 5, 5 и 7
есть 5 и 6 простых чисел соответственно.
Теперь упростим задачу рассмотрением только группы 1),
т.е. оценкой числа простых чисел между
![$p^2_{r+1}$ $p^2_{r+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/c/ecc36845514fb8cf0cce1aa9718bae4782.png)
и
![$p_{r+1}\cdot p_{r+2}.$ $p_{r+1}\cdot p_{r+2}.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/4/874ab7cc5db965a8e95cb0fa8201630582.png)
В этом случае под числами
![$p_{r+1},\;p_{r+2}$ $p_{r+1},\;p_{r+2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/0/c/30c083b05c574b91ffb7c5abbafd87ce82.png)
можно понимать
не только числа близнецы и рассматривать их как вариант проблемы Брокарда,
который можно определить так:
"Между числами
![$p^2_{r+1}$ $p^2_{r+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/c/ecc36845514fb8cf0cce1aa9718bae4782.png)
и
![$p_{r+1}\cdot p_{r+2}$ $p_{r+1}\cdot p_{r+2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/b/ecbf5f25f8bd71bc94638373a1d1147982.png)
всегда есть два простых числа".
Создадим группу вычетов из этих чисел, включая два простых числа
![$p_s,\;p_t$ $p_s,\;p_t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/e/c3e21a74ec46521804353b7c13d8f8ed82.png)
между ними.
![$D[4]=(p^2_{r+1},\; p_s,\;p_t,\; p_{r+1}\cdot p_{r+2})$ $D[4]=(p^2_{r+1},\; p_s,\;p_t,\; p_{r+1}\cdot p_{r+2})$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/8/7687c89e604eee7d27caaef9119cbd2382.png)
Вычеты ПСВ из двух классов
![$6k\pm 1$ $6k\pm 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/8/fc8f5a495ecdb64179b5874b1ab5124082.png)
.
Вычет
![$p^2_{r+1}$ $p^2_{r+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/c/ecc36845514fb8cf0cce1aa9718bae4782.png)
из класса
![$6k+1$ $6k+1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/e/c5e2161f895d785d65f1c988ff89d9dd82.png)
, остальные могут быть из разных классов.
Критерий существования групп в ПСВ
![$K(p)=p-n+m(p),$ $K(p)=p-n+m(p),$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/2/1629410c9e9e427891c8714aef6c76e882.png)
где
![$m(p)$ $m(p)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/3/9/c3913a8aac129b8327e4355b16d717b882.png)
- число вычетов группы, сравнимых по модулю р.
Вычеты из одного класса (
![$6k\pm1$ $6k\pm1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/7/b8762d7966d76cffee8e269e23ecebfc82.png)
) - сравнимы по модулю
![$p=3.$ $p=3.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/3/da340606e509518235046b9a7572463b82.png)
Единственный случай, когда все вычеты группы могут быть из одного класса.
В этом случае
![$m(p)=3,\;K(3)=3-4+3=2.$ $m(p)=3,\;K(3)=3-4+3=2.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/5/c05edcd17f63dfbb8b2ec19f20419bcd82.png)
Во всех других случаях
![$m(3)=2,\;K(3)=3-4+2=1,$ $m(3)=2,\;K(3)=3-4+2=1,$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/5/e25e7ee12dbf78281480c40e16d889e682.png)
т.е. в любом случае группа существует в ПСВ.
Таким образом, в любой ПСВ между вычетами
![$p^2_{r+1}$ $p^2_{r+1}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/c/ecc36845514fb8cf0cce1aa9718bae4782.png)
и
![$p_{r+1}\cdot p_{r+2}$ $p_{r+1}\cdot p_{r+2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/b/ecbf5f25f8bd71bc94638373a1d1147982.png)
есть два простых числа.