Перебраться через яму

[zbl]

Утундрий в сообщении #383545 писал(а):

zbl в сообщении #383289 писал(а):

Чтобы быть уверенным, нужно вычислить одно и тоже дважды: один раз с одинарной точностью, другой раз тоже самое, но с двойной точностью.

На самом деле не нужно делать ничего подобного. Нужно с самого начала считать точно.

Ошибки округления в численных экспериментах как раз ту же природу имеют, что "погрешность модели".
Если мы возьмём "машинную точность", то какова будет ошибка округления в ответе? пренебрежимо мала? три первых разряда уж точно верные? и пять?
Строго говоря, математики должны нас расстрелять за такое поведение -- и будут правы.
Некая ошибка округления всегда присутствует и, если мы её не знаем, то и ответ мы просто не знаем: плюс-минус сколько не указано.
Как говорил один вычислитель (наверно, Хемминг, но могу ошибаться), молодой инженер обычно берёт точность чисел с плавающей точкой по-больше в надежде, что ошибка округления не скажется тогда, и это действительно работает, но только до определённого неприятного момента в его жизни, после которого он из молодого инженера окончательно превращается в зрелого.

[dvorkin_sacha]

Munin в сообщении #382647 писал(а):

Теперь можно рассмотреть вопрос о траекториях, которые возвращаются в точку старта (или перелетают яму) строго горизонтально.

Я этот вопрос уже освещал. И решения (компьютерные) нашел. 2 простейших из них мною выложено в аналитческом виде. К сожалению, сейчас конец года и мне не до игрушек. В январе постараюсь все привести в божеский вид и представить вашему взору сии решения.

[Утундрий]

zbl в сообщении #383635 писал(а):

Ошибки округления в численных экспериментах как раз ту же природу имеют, что "погрешность модели".

В Природе вообще очень мало погрешностей округления.

zbl в сообщении #383635 писал(а):

Если мы возьмём "машинную точность", то какова будет ошибка округления в ответе? пренебрежимо мала? три первых разряда уж точно верные? и пять?

Что я написал, то написал, а обосновать можно будет на пенсии. Можете поверить на слово, или же поискать на картинках ощутимой грубости ошибку, нахождение коей меня, впрочем, несказанно удивит, ибо теория этого дела весьма развито проработана и применяется без напряга.

И хотя от шибок не застрахован никто...

zbl в сообщении #383635 писал(а):

Как говорил один вычислитель (наверно, Хемминг, но могу ошибаться), молодой инженер обычно берёт точность чисел с плавающей точкой по-больше в надежде, что ошибка округления не скажется тогда, и это действительно работает, но только до определённого неприятного момента в его жизни, после которого он из молодого инженера окончательно превращается в зрелого.

...это неверное все-таки не тот момент.

P.S. Пока добрался до 0,9 (с учетом не более 4-х столкновений). Нудное это дело все-таки... Когда домучаю до 0, выложу спектр.

[Утундрий]

Вот пока то, что к настоящему времени удалось визуально и органолептически углядеть:

$?$
$[0,93495;0,9545] \leftarrow _2$
$?$
$[0,96106;0,96233] \to _4 $
$?$
$[0,96737;0,96954] \to _4$
$?$
$[0,970868;0,971093] \leftarrow _4$
$?$
$[0,97145;0,97168] \to _4$
$?$
$[0,973;0,9752] \leftarrow _3$
$?$
$[0,98031;0,98163] \leftarrow _4$
$?$
$[0,9881;1,0108] \to _2$
$?$
$[1,0521;1,05404] \to _4$
$?$
$[1,05617;1,05783] \leftarrow _4$
$?$
$[1,06386;1,0792] \to _4$
$?$
$[1,1032;1,1135] \to _4$
$?$
$[1,14;+\infty ] \leftarrow _1$

Здесь вопросики означают шарики за четыре отскока так никуда и не выскочившие, стрелочки - направление выскока, индекс у стрелочек - количество отскоков для выскока потребовавшееся. Так, например, $\to _4$ означает, что шарик четыре раза о стенки ямы бумкнулся, после чего ускакал вправо (перелетел, то есть).

Ввиду простоты поведения при больших скоростях, очевидно, что шагать по скорости лучше справа налево.

[zbl]

Нда, я тоже загорелся, но времени до отпуска совсем нет... отпусков два: один зимой, другой -- летом... о каком из них тут идёт речь... пожалуй, говорить не стану...
Надо построить этот фрактальный график $t=t(v)$ с очень большим количеством точек.
Потом вместо $v$ подставить случайную величину с равномерным (или гауссовым, если хотите) распределением в интервале и посмотреть, каковы шансы перебраться через яму за разумное время для разных интервалов значений $v$.
Дефекты можем учесть, вводя случайный шум не только в $v$, но и в удары.
Эта задача физична, конечно, только, если тут есть что-то устойчивое к таким издевательствам.

[BISHA]

whiterussian в сообщении #370317 писал(а):

1. Первое, что приходит в голову: $v=\sqrt{\frac{Rg}{2}}$

Да. По всему видно - это самое верное решение, что следует и из приведенных графиков, с учетом минимальности времени.

[zbl]

Утундрий в сообщении #383931 писал(а):

Ввиду простоты поведения при больших скоростях, очевидно, что шагать по скорости лучше справа налево.

Да; похоже, я, как обычно, угадал с точностью до наоборот: при больших скоростях зависимость глаже, чем при малых.
Что очень странно: если скорость бесконечно мала, то шарик просто прокатится до другого края, чуть подпрыгивая.

Нарисуйте мне $v=1.5$ для самоконтроля, а то в этом случае получается не совпадение с некоторыми предыдущими умозрительными заключениями.

[Munin]

zbl в сообщении #385123 писал(а):

Да; похоже, я, как обычно, угадал с точностью до наоборот: при больших скоростях зависимость глаже, чем при малых.Что очень странно: если скорость бесконечно мала, то шарик просто прокатится до другого края, чуть подпрыгивая.

Рассмотрите предпоследнее столкновение такого прокатившегося шарика.

[dvorkin_sacha]

Munin

У меня есть что сказать и показать: только надо все в надлежащий вид привести (например, для оценки точности решения я обращал движение). Если бы не дурацкий конкурс Зиммермана, на который я отвлекся и потратил достаточно свободного времени, все было бы уже в ажуре. Хотя потратил время не зря: нашел элегантное решение для тождественных перестановок, два из которых здесь и выложил.

[zbl]

Munin в сообщении #385148 писал(а):

Рассмотрите предпоследнее столкновение такого прокатившегося шарика.

Похоже, после него шарик делает свечу с высшей точкой левее края ямы и потом падает ниже края с отрицательным углом падения.

Но тогда выходит, что, если мы изготавливаем похожий механизм какой-нибудь (маленькое колёсико медленно катается внутри большого колеса), то чуть пыли попадёт, маленькое колёсико чуть подпрыгнет на своём пути, и амба: через уже не очень большое время механизм разболтается так, что колёсико зачертит своими траекториями всю площадь полукруга (плюс сверху небольшую полоску, равную по высоте кинетической энергии).
Бедные инженеры...

[Munin]

zbl в сообщении #385425 писал(а):

Похоже, после него шарик делает свечу с высшей точкой левее края ямы и потом падает ниже края с отрицательным углом падения.

А теперь пошевелите точку предпоследнего столкновения, увидите ещё несколько вариантов. Они и будут часто-часто чередоваться.

zbl в сообщении #385425 писал(а):

Но тогда выходит, что, если мы изготавливаем похожий механизм какой-нибудь (маленькое колёсико медленно катается внутри большого колеса), то чуть пыли попадёт, маленькое колёсико чуть подпрыгнет на своём пути, и амба

В реальном мире есть ещё и диссипация энергии :-)

[zbl]

Munin в сообщении #385444 писал(а):

В реальном мире есть ещё и диссипация энергии

А её компенсирует устройство, которое не даёт колебаниям затухнуть.
Вот, если машину пустить под откос, то она быстро начнёт подпрыгивать, перевернётся, покатится кубарем, но скоро и кубарём начнёт подпрыгивать и всё больше и больше.
А, если теперь в неё закачивать энергию, чтобы хватило подняться по противоположному склону, то эх она и забесится.
Примерно будет следующее:

Тут $v=0.05$ время выждано в 200 наших единиц времени.
Скорость настолько мала, что первый пробег даже глазом трудно отделить от поверхности ямы, но уже очень скоро шарик начинает прыгать с одного склона прямо на другой.

[Munin]

zbl в сообщении #385865 писал(а):

А её компенсирует устройство, которое не даёт колебаниям затухнуть.

Подогрев :-)

[zbl]

График $t(v)$ получился типа такой:

Отрицательные времена означают возврат, а не перелёт.
Дольше трёхсот единиц времени я не ждал, поэтому все точки около 300 означают "больше 300".
0.707 -- это наш $1/\sqrt{2}$.
Для $v>1.2$ шарик возвращается назад после одного отскока от противоположного склона.
Вижу глазом две критические скорости:
а) для $v>0.5$ шансов выбраться больше, чем застрять;
б) для $0.1<v<0.5$ шансов застрять больше, чем выбряться;
г) для $v<0.1$ выбраться можно особо не мечтать.
Похоже, когда шарик бесится, то шансов перелететь и вернуться назад примерно поровну.

Оценивать вероятность по этому графику нельзя: точки брались через равные промежутки, а тут никакой гладкости нет.
Чтобы оценить вероятность, придётся выбирать значение $v$ случайным образом в некотором диапазоне и подсчитывать частоту появления нужного события.
И не факт, что полученная так частота будет стремиться к определённому пределу при увеличении числа испытаний.

[Утундрий]

Поучительней было бы откладАть вертикально не время, малопоказательное само по себе, а число "тумсов". Положительное в случае перескока и отрицательное для возвращения взад. Шаг по скорости разумно взять не менее 0,01 и желательно 0,001.