Перебраться через яму

[Утундрий]

dvorkin_sacha в сообщении #379389 писал(а):

и людям сведущим все должно быть понятно

Ну, сведующим и будет понятно, что автор задачи затруднился досчитать до двух...

[dvorkin_sacha]

Утундрий в сообщении #379601 писал(а):

dvorkin_sacha в сообщении #379389 писал(а):

и людям сведущим все должно быть понятно

Ну, сведующим и будет понятно, что автор задачи затруднился досчитать до двух...

Да, на козленка, который умел считать до 10, я определенно не тяну. А сведущие прежде всего посмотрят на решение, которое я получил для этого случая, и может быть зададутся еще вопросом, из каких физических соображений я получил квадратное уравнение. Ну, может быть пожурят за описку. Хотя великие и не такие ляпы допускали.

[Munin]

И не великие не такие ляпы допускали. Тут вот в чём штука: не ляпы служат критерием для определения великости.

[zbl]

Если уж научились строить траектории, то не мешало бы нарисовать их?
Мы можем смело положить $R=1$ и $g=1$: будем измерять все длины в единицах $R$, а все времена в единицах $\sqrt{R/g}$.

Проще искать не время, а скорость: если знаем конечную (начальную) скорость для любой пары ударов, то время полёта между ними мы тоже знаем.
Кстати, тогда всё только в рамках школьных формул будет:
$x-x_0=v_{0x}t$, $h-h_0=v_{0h}t+\frac{t^2}{2}$
Выбросим отсюда $t$ совсем:
$v_{0h}=\frac{h-h_0}{x-x_0}v_{0x} - \frac{x-x_0}{2v_{0x}}$
Пишу подробно, потому что мог наврать, а проверить, как следует, лень.
В конце полёта у нас похожая зависимость:
$v_{1h}=\frac{h-h_0}{x-x_0}v_{0x} + \frac{x-x_0}{2v_{0x}}$
$v_{1x}=v_{0x}$.

Теперь нужно поменять знак у компоненты вдоль радиуса ямы.
$v_h=v_{1x}\sin 2\phi + v_{1h}(\cos^2\phi - \sin^2\phi)$
$v_x=v_{1h}\sin 2\phi - v_{1x}(\cos^2\phi - \sin^2\phi)$

Ещё тогда уж вместо $h,h_0,x,x_0$ использовать углы $\phi_0,\phi$:
$h-h_0=\sin\phi - \sin\phi_0$
$x-x_0=\cos\phi_0 - \cos\phi$
Я угол сдвинул на $\pi$, чтобы начальная точка была при $\phi=0$.

Если собрать теперь всё вместе, то получим функцию $v_x=v_x\left(v_{0x},\phi_0,\phi\right)$.
Задаём мы тут $\phi_0,\phi$ и место на кривой $\vec v$, так как компоненты $v_{0x}$ и $v_{0h}$ у нас завязаны (время полёта только тут один произвольный параметр).
Если мы фиксируем $v_{0h}$ (по условию она равна 0 в самой первой точке), то сразу фиксируется этим и $v_{0x}$ и всё остальное для данных $\phi_0,\phi$.
Но может статься, что не существует $v_{0x}$ для выбранного нами $v_{0h}$.
Проверить бы это на примере удара о самое дно...

Соответственно, если нужно три удара, то просто будет
$w_x\left(v_{0x},\phi_0,\phi_1,\phi_2\right)= v_x\left( v_x\left(v_{0x},\phi_0,\phi_1\right), \phi_1, \phi_2)$.
И так далее, причём мы $v_h$ тоже всегда имеем похожим способом в каждой точке, в том числе и в первой.

Хотелось бы картинку для нескольких значений $v$: очень малых, средних и очень больших.
Начальную скорость можно брать не обязательно горизонтальной.
Я ожидаю, что при малых $v$ шарик полупрокатится по яме, двигаясь только вперёд (ламинарное течение с гладкой зависимостью времени от $v$), а при очень больших $v$ может быть тоже нечто подобное, но в этом я уверен меньше.
Для промежуточных значений $v$ будет хаос в котором, тем не менее, есть островки значений $v$, дающих малое число ударов об яму (одно такое мы знаем).

Нет большого смысла строить хаотичные траектории с большим числом ударов: и в ударах, и в полёте даже накапливается погрешность, начальная скорость тоже задана с погрешностью -- после большого числа ударов мы уже не скажем, ни где находится шарик, ни какая у него скорость.
Конечно, хотелось бы оценить предельное число ударов, зная скорость и её погрешность...

[Утундрий]

zbl в сообщении #381257 писал(а):

Если уж научились строить траектории, то не мешало бы нарисовать их?

Вы точно уверены, что хотите это видеть?






и т.д. и т.п.

[Munin]

Замечательно! А что за лишний отрезок в первом круге?

-- 02.12.2010 01:33:11 --

И ещё. Теперь можно рассмотреть вопрос о траекториях, которые возвращаются в точку старта (или перелетают яму) строго горизонтально.

[Утундрий]

Munin в сообщении #382647 писал(а):

А что за лишний отрезок в первом круге?

Это я с целью упростить себе жизнь отрисовывал всегда по пять кусков.

[zbl]

Утундрий в сообщении #382641 писал(а):

Вы точно уверены, что хотите это видеть?

Да; то, что надо.
Кстати, если их строить программулиной, то не надо ею решать кубическое уравнение -- можно обойтись и без этого.

Но Вы взяли слишком большие скорости.
Мне больше всего интересны очень малые скорости: первый удар недалеко от стартовой точки.
Будет ли шарик при всех достаточно малых скоростях двигаться только вперёд?
При какой скорости примерно он в каком-то месте отразится назад?

[ewert]

zbl в сообщении #382999 писал(а):

Будет ли шарик при всех достаточно малых скоростях двигаться только вперёд?

При сколь угодно малых скоростях существуют такие их значения, при которых шарик выскакивает из правого края ямы, двигаясь по симметричной траектории.

Если теперь взять скорость чуть ниже одной из таких критических -- шарик чуть недопрыгнет до правого края и отскочит почти горизонтально назад.

[Munin]

А вот интересно, может ли шарик при малых скоростях перепрыгнуть через правый край? Имея меньшую горизонтальную скорость и кинетическую энергию, чем при старте, но большую потенциальную?

[Утундрий]

zbl в сообщении #382999 писал(а):

если их строить программулиной, то не надо ею решать кубическое уравнение -- можно обойтись и без этого

Каким, интересно, образом? Я решал.

zbl в сообщении #382999 писал(а):

Но Вы взяли слишком большие скорости.
Мне больше всего интересны очень малые скорости: первый удар недалеко от стартовой точки.
Будет ли шарик при всех достаточно малых скоростях двигаться только вперёд?
При какой скорости примерно он в каком-то месте отразится назад?

Большие скорости проще, так как количество ударов до выхода куда-нибудь обычно мало (хотя есть там зоны, намекающие на точки сгущения). Сами же говорили, что слишком большое количество отскоков рассматривать смысла нет, хотя бы только из-за накопления погрешностей от начальных условий.

[ewert]

Munin в сообщении #383141 писал(а):

А вот интересно, может ли шарик при малых скоростях перепрыгнуть через правый край?

Может конечно. Он там попрыгает, попрыгает -- да и перепрыгнет. Математически существование такого решения очевидно. (хотя Вы, конечно, математику ненавидите, это я в курсе)

[Munin]

ewert в сообщении #383157 писал(а):

Математически существование такого решения очевидно.

Мне тоже очевидно. Но привести было бы интересно.

(Оффтоп)

ewert в сообщении #383157 писал(а):

(хотя Вы, конечно, математику ненавидите, это я в курсе)

Я математику люблю. И математиков люблю. И даже математическую строгость люблю. Я не люблю только одного: когда инструмент применяется не по назначению, за пределами оправданности, когда его применение приносит уже не пользу а вред, а тот, кто применяет этот инструмент, упорен до невменяемости, и не слушает аргументов и не намерен пересматривать свою позицию. Вообще любую невменяемость не люблю.

[zbl]

ewert в сообщении #383028 писал(а):

Если теперь взять скорость чуть ниже одной из таких критических -- шарик чуть недопрыгнет до правого края и отскочит почти горизонтально назад.

Тогда нужно оценить относительный размер таких интервалов значений скорости.
Мы скорость и координаты измеряем с ошибкой (вот в численных экспериментах это уже сильно заметно).
"Чуть-чуть" может не считаться.
Будут ли при сколь угодно малых начальных скоростях существовать такие значения, для которых при некотором ударе о правую сторону далеко от края направление движения будет левее вертикального?

-- 03 дек 2010 23:38 --

Утундрий в сообщении #383150 писал(а):

zbl в сообщении #382999 писал(а):

если их строить программулиной, то не надо ею решать кубическое уравнение -- можно обойтись и без этого

Каким, интересно, образом? Я решал.

Берёте небольшой интервал времени так, что точки траектории на картинке будут сливаться.
Начинаете тупо вычислять точки траектории от начальной прямо по параболе, которая известна, проверяя, не пересекли ли окружность или выскочили из ямы.
Как только пересекли, так берёте два последних значения времени и начинаете делением отрезка пополам искать место удара.
Обязательно тут нужно взять это место с точностью на много-много порядков выше, чем тот шаг по времени, потому что эта ошибка будет накапливаться.

Утундрий в сообщении #383150 писал(а):

Сами же говорили, что слишком большое количество отскоков рассматривать смысла нет, хотя бы только из-за накопления погрешностей от начальных условий.

Говорил.
Но это означает лишь, что для точности, скажем $10^{-5}$ есть своё предельное число ударов, а для точности $10^{-7}$ -- своё, причём, большее.
И нам надо быть уверенными, что мы это предельное число ударов не превышаем.
Чтобы быть уверенным, нужно вычислить одно и тоже дважды: один раз с одинарной точностью, другой раз тоже самое, но с двойной точностью.
Должно совпадать в ответах по крайней мере столько разрядов, сколько их в точности (а желательно -- минимум на два больше).

[Утундрий]

zbl в сообщении #383289 писал(а):

Берёте небольшой интервал времени так, что точки траектории на картинке будут сливаться.
Начинаете тупо вычислять точки траектории от начальной прямо по параболе, которая известна, проверяя, не пересекли ли окружность или выскочили из ямы.
Как только пересекли, так берёте два последних значения времени и начинаете делением отрезка пополам искать место удара.
Обязательно тут нужно взять это место с точностью на много-много порядков выше, чем тот шаг по времени, потому что эта ошибка будет накапливаться.

А, в энтом смыселе... Ну, а я тупо применил стандартную процедуру и она мне отыскала искомое за пару сотых долей секунды, с машинной точностью причем.

zbl в сообщении #383289 писал(а):

Чтобы быть уверенным, нужно вычислить одно и тоже дважды: один раз с одинарной точностью, другой раз тоже самое, но с двойной точностью.

На самом деле не нужно делать ничего подобного. Нужно с самого начала считать точно. Я говорил о точности самой модели. Уже на четырехударных выходах интервалы скоростей крайне узки и тенденция эта видимо простирается и далее. Результатом точного анализа будет какой-то дико фрактальный спектр с точками сгущения. Наложим теперь на него б.м. неупругость, сопротивление воздуха, шероховатость стенок, притяжение лун Юпитера... И выживут лишь сильнейшие, сиречь - простейшие. А все прочее - статистика...