Перебраться через яму

[zbl]

Задача, как по физике, так и по математике.
Имеется ров, каждое поперечное сечение которого -- половинка окружности радиуса $R$.
На одном краю находится маленький шарик с начальной горизонтальной скоростью $v$.
Имеется однородное поле силы тяжести с ускорением $g$.
Трение отсутствует, удары абсолютно упругие.
Тут несколько задач, как для детей, так и для взрослых:
а) какой должна быть величина $v$, чтобы время перелёта через яму было минимальным?
б) имеются ли такие значения скорости, при которых шарик не перелетит через яму?
в) как время перелёта через яму зависит от скорости $v$?

Решения у меня нет.
Эта задача была придумана лет пять назад в качестве иллюстрации того, чем глупая задача отличается от не глупой (длинная история, не относящаяся к делу)...

Самый лобовой способ решения -- попробовать сделать так, как с бильярдами.
То есть, можно, например, смудрить некую поверхность, по которой шарик бы двигался без изломов траектории, и сообразить, куда он попадает в результате.

Не трудно было бы выразить через скорость падения на данную точку окружности точку и скорость падения на следующую точку.
Тогда эту рекуррентную формулу можно сосчитать на компьютере численно, перебрав разные значения скорости $v$.

Но ведь тут есть ещё и законы физики (сумма потенциальной и кинетической энергий, например, сохраняется).
Нельзя ли их тут как-то использовать?

Есть ещё и соображения симметрии: например зависнуть-то в яме он как бы смог? -- никак?

[whiterussian]

1. Первое, что приходит в голову: $v=\sqrt{\frac{Rg}{2}}$
Но, может и не правильно....

[Gravist]

zbl в сообщении #370315 писал(а):

На одном краю находится маленький шарик...

Насколько маленький? Можно-ли считать, что он имеет $r$ и $m$?

[zbl]

Gravist в сообщении #370318 писал(а):

Можно-ли считать, что он имеет $r$ и $m$?

Не-не, точечный, махинький-махинький.
Масса его, если Вам нужна, то берите -- не жалко, а размеры -- нет, точечный.

-- 05 ноя 2010 04:14 --

whiterussian в сообщении #370317 писал(а):

1. Первое, что приходит в голову: $v=\sqrt{\frac{Rg}{2}}$

У меня без двойки: $v=\sqrt{Rg}$.
Но всё равно ещё нужно доказать, что время минимальное.

[venco]

У меня с двойкой.
Если рассмотреть один отскок и затем просто пересечение финишной вертикали (как если бы после первого отскока земля исчезала), то производная времени по точке отскока положительна, т.е. чтобы время уменьшилось, точка отскока должна быть до центра ямы (неудивительно), но при этом шарику не хватит высоты и он отскочит ещё раз - уже назад. Так что, похоже, один отскок посередине - оптимум.

[Munin]

zbl в сообщении #370315 писал(а):

б) имеются ли такие значения скорости, при которых шарик не перелетит через яму?

Такое впечатление, что значений скорости, при которых шарик перелетит яму - множество меры нуль. В остальных вариантах шарик залипает в яме навечно и хаотически. (Иногда вылетает обратно :-) )

zbl в сообщении #370315 писал(а):

Но ведь тут есть ещё и законы физики (сумма потенциальной и кинетической энергий, например, сохраняется).Нельзя ли их тут как-то использовать?

Боюсь, использовать их мешает круглая форма ямы. Я думаю, тут очень важно в качестве промежуточного шага целиком рассмотреть случай ямы прямоугольной.

Если бы шарик умел ещё и катиться, я бы сказал, что лучшая начальная скорость - нулевая :-)

[zbl]

venco в сообщении #370322 писал(а):

У меня с двойкой.

Ага, верно.
Я потерял двойку на пути снизу вверх.

venco в сообщении #370322 писал(а):

Если рассмотреть один отскок

Но ведь после удара горизонтальная составляющая скорости увеличится.
Значит ударом яма разгоняет таки шарик в горизонтальном направлении.
А тогда не очевидно, что несколькими ударами она его не разгонит так, чтобы он быстрее начальной скорости перелетел яму.

-- 05 ноя 2010 20:45 --

Munin в сообщении #370365 писал(а):

шарик залипает в яме навечно и хаотически. (Иногда вылетает обратно )

А не хаотически, но периодически он может зависнуть?
Что-то мне подсказывает, что в одни и те же точки периодически он биться не сможет.

А, кстати, допустим, что скорость задана с ошибкой.
Тут, наверно, будет та же ситуация, как и с шариком, бьющимся о две противоположные стенки: через достаточно длинное время мы уже не скажем, где именно он находится и какая у него скорость.
Отсюда можно считать время не бесконечным, а конечным, зависящем от ошибки, с которой дана скорость.
Может статься, что за небольшое конечное время он просто не успеет выскочить никогда, кроме тривиального решения.

Munin в сообщении #370365 писал(а):

Я думаю, тут очень важно в качестве промежуточного шага целиком рассмотреть случай ямы прямоугольной.

Своя рука владыка.
Можно поставить и вопрос о том, как малые шевеления формы ямы влияют на решение.
Исторически яма круглая только потому, что шарик первоначально был в трубе.

[venco]

zbl в сообщении #370609 писал(а):

venco в сообщении #370322 писал(а):

Если рассмотреть один отскок

Но ведь после удара горизонтальная составляющая скорости увеличится.

При этом вертикальной скорости станет не хватать на то, чтобы вылететь из ямы. Надо будет удариться, как минимум, ещё раз, чтобы на вылете горизонтальная скорость стала не больше начальной.
В предельном случае, когда шарик просто прокатывается по стенке, время точно больше.
Надо посчитать время при двух столкновениях (симметрично).

[zbl]

venco в сообщении #370674 писал(а):

вертикальной скорости станет не хватать на то, чтобы вылететь из ямы.

Сердцем это чувствуется, но умом нужно уравнение написать какое-то, из которого будет видно, что средняя горизонтальная скорость в яме не будет больше начальной.

[whiterussian]

сохранение момента вам в помощь!

[venco]

whiterussian в сообщении #370685 писал(а):

сохранение момента вам в помощь!

Вы хотели сказать "энергии".

[whiterussian]

Да нет, именно момента. Да энергия должна сохраняться тоже. Но величину компоненты определяет момент.

[venco]

whiterussian в сообщении #370688 писал(а):

Да нет, именно момента. Да энергия должна сохраняться тоже. Но величину компоненты определяет момент.

А почему момент должен сохраняться? У силы тяжести момент ненулевой.

[whiterussian]

сохранение момента в момент удара. (во как получилось )

[venco]

whiterussian в сообщении #370692 писал(а):

сохранение момента в момент удара. (во как получилось )

В момент удара то сохраняется, но в полёте ведь нет.