Если уж научились строить траектории, то не мешало бы нарисовать их?
Мы можем смело положить

и

: будем измерять все длины в единицах

, а все времена в единицах

.
Проще искать не время, а скорость: если знаем конечную (начальную) скорость для любой пары ударов, то время полёта между ними мы тоже знаем.
Кстати, тогда всё только в рамках школьных формул будет:

,

Выбросим отсюда

совсем:

Пишу подробно, потому что мог наврать, а проверить, как следует, лень.
В конце полёта у нас похожая зависимость:


.
Теперь нужно поменять знак у компоненты вдоль радиуса ямы.


Ещё тогда уж вместо

использовать углы

:


Я угол сдвинул на

, чтобы начальная точка была при

.
Если собрать теперь всё вместе, то получим функцию

.
Задаём мы тут

и место на кривой

, так как компоненты

и

у нас завязаны (время полёта только тут один произвольный параметр).
Если мы фиксируем

(по условию она равна 0 в самой первой точке), то сразу фиксируется этим и

и всё остальное для данных

.
Но может статься, что не существует

для выбранного нами

.
Проверить бы это на примере удара о самое дно...
Соответственно, если нужно три удара, то просто будет

.
И так далее, причём мы

тоже всегда имеем похожим способом в каждой точке, в том числе и в первой.
Хотелось бы картинку для нескольких значений

: очень малых, средних и очень больших.
Начальную скорость можно брать не обязательно горизонтальной.
Я ожидаю, что при малых

шарик полупрокатится по яме, двигаясь только вперёд (ламинарное течение с гладкой зависимостью времени от

), а при очень больших

может быть тоже нечто подобное, но в этом я уверен меньше.
Для промежуточных значений

будет хаос в котором, тем не менее, есть островки значений

, дающих малое число ударов об яму (одно такое мы знаем).
Нет большого смысла строить хаотичные траектории с большим числом ударов: и в ударах, и в полёте даже накапливается погрешность, начальная скорость тоже задана с погрешностью -- после большого числа ударов мы уже не скажем, ни где находится шарик, ни какая у него скорость.
Конечно, хотелось бы оценить предельное число ударов, зная скорость и её погрешность...