Мистика чисел

[VAL]

Отнесем натуральное число к классу $k$, если оно:
квадрат;
сумма двух натуральных квадратов;
сумма трех натуральных квадратов;
. . . . . . . .
сумма $k$ натуральных квадратов;
не представляется суммой $k+1$ натуральных квадратов

Число 169 относится к классу 155, в то время как каждое из меньших чисел - не более, чем к классу 2.
Впечатляющий скачок, не правда ли?

[VAL]

Пусть из вершины острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника проведена биссектриса. Тогда отношение площадей кругов, вписанных в образовавшиеся два треугольника будет...

(ничего сосбенного, но симпатично)

$$\frac{\left(\sqrt{2+\sqrt2}+\sqrt2+2\right)^2}{\left(\sqrt2\sqrt{2+\sqrt2}+\sqrt2+2\right)^2}$$

[worm2]

VAL в сообщении #660457 писал(а):

Впечатляющий скачок, не правда ли?

Сначала не поверил. Потом впечатлился. Потом решил, что это весьма обыденный факт Хотя и красивый.

[nnosipov]

$1/3 \bmod{1999}=1333$; $1/6 \bmod{1999}=1666$; $1/9 \bmod{1999}=1777$; $1/18 \bmod{1999}=1888$.

[Nataly-Mak]

У меня тоже мистика чисел, точнее магия



Ничего особенного, выбраны 49 попарно различных простых чисел и размещены в матрице 7х7 так, что суммы чисел во всех строках, столбцах и всевозможных диагоналях равны (всего 28 сумм).

[для изображения воспользовалась программой проходящего сейчас международного конкурса программистов; автор программы Ed Mertensotto; на картинке не отображаются числа большие 49, так как в конкурсе квадраты надо заполнять числами от 1 до $n^2$.]

Головоломка опубликована здесь:
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_663.htm

Но задача не решена до конца. Требуется добиться того, чтобы магическая константа квадрата (в приведённом квадрате она равна 1597) была минимальной или же доказать, что уменьшить её невозможно.

Кстати, VAL, неплохая задача для вашего Математического Марафона.
Помнится, очень давно я предлагала вам сделать спецвыпуск Марафона, посвящённый магическим квадратам. Увы, предложение не принято. А почему?

Вот задачи уже потихоньку выходят на мировую сцену, а в родном Отечестве они почти никого не интересуют (не считая 2-3 коллег).

Задача не заканчивается на квадрате 7-го порядка.
Мне удалось составить подобные квадраты порядков 11 и 13. Тут, как нетрудно видеть, речь идёт о квадратах порядков, являющихся простым числом. Для других порядков построение таких квадратов выполняется проще, работают другие алгоритмы.
Составить квадрат 13-го порядка было непросто. Тут мне очень помогла программа, написанная EtCetera (тема тут есть про выборку).
Однако квадрат 17-го порядка мне составить не удалось. Чем не задача для Марафона?

Недавно на ПЕН тему новую увидела о NP-полных задачах. Оценивается сложность различных алгоритмов.
Как оценить сложность алгоритма составления пандиагонального квадрата 17-го порядка из простых чисел? Надо выбрать 289 попарно различных простых чисел и разместить их в матрице 17х17, чтобы выполнялись условия для пандиагонального магического квадрата. Ничего об этих числах неизвестно, кроме того, что они простые. А простых чисел бесконечно много.
Какова же сложность такого алгоритма?

Мой алгоритм базируется на алгоритме Россера, но... есть существенное добавление - алгоритм смешанного достраивания (здесь и нужна программа выборки).

[Nataly-Mak]

А это атимагический квадрат Стенли 7-го порядка с индексом 1597:



Нетрудно увидеть, что этот квадрат связан с приведённым выше пандиагональным квадратом 7-го порядка некоторым преобразованием (а именно - преобразованием Россера, превращающим примитивный квадрат в пандиагональный квадрат).

Но если в пандиагональном квадрате мы имеем только 28 одинаковых сумм (1597), то в квадрате Стенли одинаковых сумм 5040. Впечатляет?

На иллюстрации выделен один из вариантов получения суммы 7 элементов квадрата, равной 1597, - ходом шахматного коня.

Да, мистика, магия... Однако, дело делать никто помочь не хочет
Тема "Антимагические квадраты" - театр одного актёра. Заданный там недавно вопрос о том, какая формула квадратов Стенли 6-го порядка предпочтительнее для программной реализации, повис в воздухе.
Сейчас у меня аналогичный вопрос о квадратах Стенли 7-го порядка.
Для порядка 6 вроде установила, что квадрата Стенли (из простых чисел) с индексом меньше 774 не существует. Конечно, ошибка не исключена. Моя программа такой квадрат не нашла. Но очень не мешало бы независимое исследование вопроса. Так учил maxal.
Кстати, где он? Я в последнее время совсем не вижу его сообщений. Может быть, просто не смотрю те темы, где он активен.

Сейчас пытаюсь найти квадрат Стенли 7-го порядка из простых чисел с индексом меньше 1597. Это надо для построения наименьшего пандиагонального квадрата 7-го порядка из простых чисел. Задача "висит" очень и очень давно. Мои коллеги ею занимались, но бросили. Я не привыкла бросать нерешённые задачи.

В этой последовательности не хватает четвёртого члена - минимальной магической константы пандиагонального квадрата 7-го порядка из простых чисел: A179440.
Всего три члена в последовательности! Нашли общими усилиями наименьшие пандиагональные квадраты порядков 4-6 из простых чисел. Дальше всем надоело

[vasili]

о "мистике" чисел.
Если мы рассмотрим числа вида $6n + 5$, то обнаружим, что для всех составных чисел этого вида число n может быть представлено формулой $n = k(6i + 5)+ i$ , k- натуральное число, $6i + 5$ - простое число.
А для составных чисел вида 6n + 7 число $n = k(6j + 7) + j$ или $n = 3 + 5(i_1 + i_2) + 6i_1i_2 $ , где $(6j + 7) $ и
$(6i_1 + 5) $ - простые числа, а $(6i_2 + 5)$ - простое либо составное число.

[nnosipov]

vasili в сообщении #667772 писал(а):

Если мы рассмотрим числа вида $6n + 5$, то обнаружим, что для всех составных чисел этого вида число n может быть представлено формулой $n = k(6i + 5)+ i$ , k- натуральное число, $6i + 5$ - простое число.

Это одна из задач XII Кубка памяти Колмогорова. Вся "мистика" заключается в том, что число вида $6m+5$ обязано иметь простой делитель такого же вида.

[VAL]

Как замечательная тройка чисел 23, 391, 6877 связана с еще более замечательной парой натуральных чисел? И что это за пара?

[Nataly-Mak]

VAL в сообщении #699593 писал(а):

Как замечательная тройка чисел 23, 391, 6877 связана с еще более замечательной парой нарой натуральных чисел? И что это за пара?

"...парой нарой..." - это что такое?
Я сильно поотстала в математике?

[VAL]

Nataly-Mak в сообщении #699625 писал(а):

"...парой нарой..." - это что такое?
Я сильно поотстала в математике?

Нары убрал

[Tod Leben]

RIP в сообщении #131519 писал(а):

Мне больше нравится
$111111111^2=12345678987654321$.

...и мне.

$1+1+1+1+1+1+1+1+1=9$
$1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=81=9^2$

[alexo2]

Ну, или хоть и известный факт, но интересный - треугольное число с порядковым номером, равным наибольшему числу с игральной рулетки или количеству карт в колоде... Сдается мне, что неспроста, да и "мистика" определенная в этом есть...

[megamix62]

В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12

-- 24.03.2013, 20:48 --

$2^{19\cdot 47\cdot 5263229}\equiv 3\pmod{19\cdot 47\cdot 5263229}$

$2^{19\cdot 47}\equiv 3\pmod{ 5263229}$

$2^{19}\equiv 3\pmod{ 47}$

$2^{5263229}\equiv 2\pmod{47\cdot 5263229}$

-- 24.03.2013, 20:57 --



Кол-во (нечетных) составных = кол-ву простых (с 2) в посл-сти 1 - 100

[VAL]

VAL в сообщении #699593 писал(а):

Как замечательная тройка чисел 23, 391, 6877 связана с еще более замечательной парой натуральных чисел? И что это за пара?

Надеялся, хоть кто-то заинтересуется этой загадкой. Зря надеялся
Теперь надеюсь, хоть кто-нибудь заинтересуется разгадкой:

$$184+345=23^2$$

$$184^2+345^2=391^2$$

$$184^3+345^3=6877^2$$

184 и 345 не уникальная пара натуральных чисел с подобными свойствами.
Но весьма редкая. Следующая парочка (если не считать тех, которые можно получить из предыдущих умножением на квадрат) - 147916017521041 и 184783370001360.
Третья - 53160561724398540948189501125090985 и 221277040503926652746669502425642824.