Мистика чисел

[PAV]

Nataly-Mak в сообщении #140052 писал(а):

На форум моего сайта как-то прислали ссылку:

Уже обсуждали здесь. С точки зрения математики элементарщина.

Добавлено спустя 2 минуты 19 секунд:

Nataly-Mak в сообщении #140052 писал(а):

Уже с 21-ого члена числа последовательности Фибоначчи больше куба их номера.

Вы не поняли. Нужно указать такой номер, для которого можно доказать, что начиная с него утверждение выполняется. Доказательство это основывается на известных фактах о скорости роста чисел Фибоначчи (или на явной формуле). Это число может оказаться и больше 21. Для всех же чисел меньших этого нужно проверить вручную.

[Nataly-Mak]

Теперь ещё больше не поняла! У меня по программе получилось, что с 21-ого члена числа в последовательности Фибоначчи больше куба своего номера. Вы хотите сказать, что после 21-ого члена это может ещё и нарушиться где-то на 122-ом члене? Тогда с какого же номера это будет железно выполняться? А до 21 члена нет числа равного кубу своего номера.
И зачем же вручную проверять, когда это прекрасно делает компьютер за долю секунды

[Anton Nonko]

Nataly-Mak писал(а):

Теперь ещё больше не поняла! У меня по программе получилось, что с 21-ого члена числа в последовательности Фибоначчи больше куба своего номера. Вы хотите сказать, что после 21-ого члена это может ещё и нарушиться где-то на 122-ом члене? Тогда с какого же номера это будет железно выполняться? А до 21 члена нет числа равного кубу своего номера.
И зачем же вручную проверять, когда это прекрасно делает компьютер за долю секунды

Доказать нужно аналитически, а не перебором (не важно, ручным или машинным).

[PAV]

Nataly-Mak в сообщении #140124 писал(а):

Вы хотите сказать, что после 21-ого члена это может ещё и нарушиться где-то на 122-ом члене?

Пока не приведено доказательство обратного, этого исключать нельзя.

Под "перебором вручную" я имел в виду любой перебор. Неважно, делается ли он на бумажке, арифмометре или компьютере.

[VAL]

juna писал(а):

VAL писал(а):

$$ 7442 + 28658 = 190^2 $$ $$ 7442 + 148583 = 395^2 $$ $$ 7442 + 177458 = 430^2 $$ $$ 7442 + 763442 = 878^2 $$ $$ 28658 + 148583 = 421^2 $$ $$ 28658 + 177458 = 454^2 $$ $$ 28658 + 763442 = 890^2 $$ $$ 148583 + 177458 = 571^2 $$ $$ 148583 + 763442 = 955^2 $$ $$ 177458 + 763442 = 970^2 $$

Интересно, это минимально возможные решения?

Да. По крайней мере, если сравнивать самые большие числа в пятерках.

Цитата:

Интересно также, как Вы их нашли - формировали базу из более коротких типа (104, 296, 380) и потом искали пересечения или по-другому?

Вот слегка подредактированная цитата из обсуждения ММ27

Цитата:

Теперь займемся поиском четырехвершинных клик. Пусть вершины x, y, z и t образуют
клику. Тогда они удовлетворяют системе:
x + y = a
y + z = b
z + t = c
x + z = d
x + t = e
y + t = f,
где a, b, c, d, e, f - различные квадраты (кубы).
Легко видеть, что эта система разрешима тогда и только тогда, когда
a + c = b + e = d + f. (1)
Таким образом, для отыскания клики нужно найти число, представимое в виде суммы
квадратов (кубов) не менее чем тремя способами. В случае разрешимости решением
системы будет набор:
((a-b+d)/2, (a+b-d)/2, (-a+b+d)/2, (a-b+2c-d)/2).
Поэтому выполнения только условия (1) мало для построения клики. Необходимо,
чтобы все числа набора (2) были целыми и положительными. Ясно, что в минимальном решении
a, b, c, d не могут быть одновременно четны (иначе бы оно не было минимальным).
Поэтому для того, чтобы все числа в (2) были целыми, надо чтобо среди чисел a, b,
d было ровно одно четное.
Вопросы о представимости натуральных чисел суммой двух квадратов и количестве
таких представлений не вызывают затруднений (см., например, А.А.Бухштаб.
Теория чисел). Перебирая небольшие числа, имеющие достаточное количество
представлений в виде суммы двух квадратов, находим, что четырехвершинная клика
впервые встречается в графе G(2,n) при n = 3362.
Вот эта клика: 2, 359, 482, 3362.
Значительно сложнее обстоит дело с поиском четырехвершинных клик в графах G(3,n).
Я искал числа, имеющие не менее трех представлений в виде суммы двух кубов,
перебором (глядя на приводимый ниже ответ легко понять, что этот
перебор был существенно оптимизирован). Основная трудность заключается в том,
что кубы даже близких между собой чисел отличаются весьма существенно. Поэтому
достаточно сложно подыскать представление (1), удовлетворяющее условию положительности
всех чисел набора (2). Сложно, но можно. Итак, впервые четырехвершинная клика
встречается в графе G(3,n) при n = 51114333631. Вот эта клика:
1493580092, 2510949380, 7071213244, 51114333631.

PS:
Борис Бух любезно указал мне книгу, в которой изложена теория представления чисел в виде суммы двух кубов:
Melvyn Nathanson "Additive number theory: classical bases"
volume 164 of Graduate Texts in Mathematics, Springer

Что же касается пятивершинных клик, то я действительно искал их, стартуя с четырехвершинных.

[juna]

Nataly-Mak в сообщении #139946 писал(а):

Я думала, вы действительно сами алгоритм сочинили! Laughing Если вам алгоритм был уже известен, зачем было ставить эту задачу.

Я, к сожалению, не Лиувилль и, к счастью, не Литлвуд.
А хорошую задачу грех не поставить, если контекст располагает.
VAL
Спасибо за ММ27.

[juna]

Nataly-Mak писал(а):

Легенду про Фибоначчи знаете? Вот она:
Прослышав о необыкновенных способностях Леонардо, в 1225 году в Пизу прибыл государь Римской империи Фридрих II в сопровождении группы математиков. желающих публично испытать Фибоначчи. Одна из задач, предложенных на турнире, имела следующее содержание: "Найти полный квадрат, остающийся полным квадратом как после уменьшения, так и после увеличения его на 5 (полным квадратом называется число, из которого точно извлекается квадратный корень)".
Фибоначчи после некоторых размышлений нашёл это число. А вы можете найти его так, как нашёл Фибоначчи, то есть "после некоторых размышлений"?

Nataly-Mak заходите иногда в олимпиадный раздел
http://dxdy.ru/topic11820.html

[Nataly-Mak]

Спасибо, как-нибудь зайду на досуге...
В свою очередь приглашаю вас зайти в раздел
http://dxdy.ru/topic15897.html
Может, поможете квадрат повернуть по-Чебраковски

[VAL]

$(54349, 54379)$
$(54509, 54905)$
$(72703, 72713)$
В каждой из этих парочек числа похожи не только внешне.
У них одинаковые значения функций Эйлера и Мёбиуса, поровну делителей, одинаковые суммы делителей и структура канонического разложения. Кроме того количества квадратов по модулям чисел из каждой парочки равны.

[Nataly-Mak]

Недавно обнаружила в Сети свой любимый журнал “Наука и жизнь”. Полистав его, нашла кое-что интересное. Вот, например, статья о свойствах целых положительных чисел:
http://nauka.relis.ru/52/9711/52711143.htm
Правда, не поняла, за какой год журнал.
Цитата из статьи:
“Представляет большой интерес поиск доказательства невозможности представления степеней двойки в виде суммы чисел отрезка натурального ряда, а также того, что простое число может быть представлено в виде суммы чисел отрезка натурального ряда только в случае, если отрезок включает два числа. Уверен, что доказательство этих интересных теорем (пока это только гипотезы) могло бы стать вкладом в теорию чисел”.
Не знаю, какую пользу могли бы принести эти доказательства для теории чисел, но вот пользу для мозгов они точно могут принести. Докажем?
А, может быть, эти утверждения уже доказаны?

[maxal]

Nataly-Mak писал(а):

“Представляет большой интерес поиск доказательства невозможности представления степеней двойки в виде суммы чисел отрезка натурального ряда, а также того, что простое число может быть представлено в виде суммы чисел отрезка натурального ряда только в случае, если отрезок включает два числа. Уверен, что доказательство этих интересных теорем (пока это только гипотезы) могло бы стать вкладом в теорию чисел”.
Не знаю, какую пользу могли бы принести эти доказательства для теории чисел, но вот пользу для мозгов они точно могут принести. Докажем?

Оба утверждения тривиально следуют из формулы для суммы арифметической прогрессии.

[Nilenbert]

Ну это просто, ответ такой - число представлений данного числа в виде суммы последовательных натуральных чисел равно количеству его нечётных делителей, за исключением единицы. Как это доказать? Построим соответствие между нечётными делителями и представлениями.
Итак, пусть $n=(2k+1)s$. Тогда поставим ему в соответствие представление $n=(s-k)+(s-k+1)+...+(s+k)$. Действительно, по формуле для суммы арифметической прогрессии получим:$(s-k)+(s-k+1)+...+(s+k)=\frac{(s-k+s+k)(s+k-s+k+1)}{2}=s(2k+1)=n$. Тут правда нюанс - иногда начальные члены этой прогрессии оказываются отрицательными. Например, для числа 18 и для его нечётного делителя 9 мы получим такое представление:$(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5+6$. Ничего страшного - как нетрудно заметить отрицательные члены в сумме с первыми положительными дают $0$, и их можно отбросить, оставив только $3+4+5+6$. В обратную сторону примерно так же, только операции в обратную сторону.
P.S. Пока писал, опередили...

[VAL]

Давно собирался оживить рубрику.
Вот, для затравки:
$36363636364^2 = 13223140496\ 13223140496$,
$45454545455^2 = 20661157025\ 20661157025$,
$54545454546^2 = 29752066116\ 29752066116$,
$63636363637^2 = 40495867769\ 40495867769$,
$72727272728^2 = 52892561984\ 52892561984$,
$81818181819^2 = 66942148761\ 66942148761$,
$90909090910^2 = 82644628100\ 82644628100$.

[maxal]

VAL в сообщении #238634 писал(а):

Давно собирался оживить рубрику.
Вот, для затравки:
$36363636364^2 = 13223140496\ 13223140496$,
$45454545455^2 = 20661157025\ 20661157025$,
$54545454546^2 = 29752066116\ 29752066116$,
$63636363637^2 = 40495867769\ 40495867769$,
$72727272728^2 = 52892561984\ 52892561984$,
$81818181819^2 = 66942148761\ 66942148761$,
$90909090910^2 = 82644628100\ 82644628100$.

Таких примеров много: A106497

[VAL]

maxal в сообщении #241777 писал(а):

VAL в сообщении #238634 писал(а):

$36363636364^2 = 13223140496\ 13223140496$,
$45454545455^2 = 20661157025\ 20661157025$,
$54545454546^2 = 29752066116\ 29752066116$,
$63636363637^2 = 40495867769\ 40495867769$,
$72727272728^2 = 52892561984\ 52892561984$,
$81818181819^2 = 66942148761\ 66942148761$,
$90909090910^2 = 82644628100\ 82644628100$.

Таких примеров много:

Я догадывался!