Мистика чисел

[worm2]

VAL писал(а):

Зря надеялся

Почему? Я заинтересовался.
Правда, я сразу мистику искать стал. Ну там по-английски их прочитал, по-русски, слева направо и справа налево, прикинул, что было в 6877-м году от сотворения мира (1369-й год, тоже, кстати, точный квадрат: $37^2$) и т.п. Но даже если знать, что задача чисто теоретико-числовая и нужно искать счастья в квадратах этих чисел, то зацепиться, имхо, не за что.

[VAL]

worm2 в сообщении #701567 писал(а):

VAL писал(а):

Зря надеялся

Почему? Я заинтересовался.

Цитата:

Правда, я сразу мистику искать стал.

Ну, про "мистическую мистику" я бы писать не стал Достаточно посмотреть мои предыдущие сообщения в этой теме.

Цитата:

Но даже если знать, что задача чисто теоретико-числовая и нужно искать счастья в квадратах этих чисел, то зацепиться, имхо, не за что.

Я сначала хотел сразу предложить пару 184, 345. Но потом решил немного усложнить. Вероятно, переусердствовал.

Кстати, интересно, что все известные примитивные (т.е. не полученные из других умножением на квадрат) пары $a, b$, такие что $a+b=u^2, a^2+b^2=v^2$ и $a^3+b^3=w^2$, имеют схожее строение: $a, b, v$ обязательно кратны $u$, а $w$ кратно даже $u^2$. Наверное, можно показать, что это необходимое условие.

-- 27 мар 2013, 12:14 --

[Nataly-Mak]

Безо всякой мистики ---
вот в этом антимагическом квадрате Стенли 17-го порядка из различных простых чисел

(Оффтоп)

9372688136871853,22455449468541883,35538210800211913,48620972131881943,61703733463551973,74786494795222003,87869256126892033,100952017458562063,114034778790232093,127117540121902123,140200301453572153,153283062785242183,166365824116912213,179448585448582243,192531346780252273,205614108111922303,218696869443592333
11735227242889999,24817988574560029,37900749906230059,50983511237900089,64066272569570119,77149033901240149,90231795232910179,103314556564580209,116397317896250239,129480079227920269,142562840559590299,155645601891260329,168728363222930359,181811124554600389,194893885886270419,207976647217940449,221059408549610479
76240762416222539,89323523747892569,102406285079562599,115489046411232629,128571807742902659,141654569074572689,154737330406242719,167820091737912749,180902853069582779,193985614401252809,207068375732922839,220151137064592869,233233898396262899,246316659727932929,259399421059602959,272482182391272989,285564943722943019
93490858594661729,106573619926331759,119656381258001789,132739142589671819,145821903921341849,158904665253011879,171987426584681909,185070187916351939,198152949248021969,211235710579691999,224318471911362029,237401233243032059,250483994574702089,263566755906372119,276649517238042149,289732278569712179,302815039901382209
114146343711853721,127229105043523751,140311866375193781,153394627706863811,166477389038533841,179560150370203871,192642911701873901,205725673033543931,218808434365213961,231891195696883991,244973957028554021,258056718360224051,271139479691894081,284222241023564111,297305002355234141,310387763686904171,323470525018574201
135651360264848653,148734121596518683,161816882928188713,174899644259858743,187982405591528773,201065166923198803,214147928254868833,227230689586538863,240313450918208893,253396212249878923,266478973581548953,279561734913218983,292644496244889013,305727257576559043,318810018908229073,331892780239899103,344975541571569133
195625258610971297,208708019942641327,221790781274311357,234873542605981387,247956303937651417,261039065269321447,274121826600991477,287204587932661507,300287349264331537,313370110596001567,326452871927671597,339535633259341627,352618394591011657,365701155922681687,378783917254351717,391866678586021747,404949439917691777
202860934798777373,215943696130447403,229026457462117433,242109218793787463,255191980125457493,268274741457127523,281357502788797553,294440264120467583,307523025452137613,320605786783807643,333688548115477673,346771309447147703,359854070778817733,372936832110487763,386019593442157793,399102354773827823,412185116105497853
223789213311833843,236871974643503873,249954735975173903,263037497306843933,276120258638513963,289203019970183993,302285781301854023,315368542633524053,328451303965194083,341534065296864113,354616826628534143,367699587960204173,380782349291874203,393865110623544233,406947871955214263,420030633286884293433113394618554323
224957853888083671,238040615219753701,251123376551423731,264206137883093761,277288899214763791,290371660546433821,303454421878103851,316537183209773881,329619944541443911,342702705873113941,355785467204783971,368868228536454001,381950989868124031,395033751199794061,408116512531464091,421199273863134121,434282035194804151
251672116721153519,264754878052823549,277837639384493579,290920400716163609,304003162047833639,317085923379503669,330168684711173699,343251446042843729,356334207374513759,369416968706183789,382499730037853819,395582491369523849,408665252701193879,421748014032863909,434830775364533939,447913536696203969,460996298027873999
325435306756257757,338518068087927787,351600829419597817,364683590751267847,377766352082937877,390849113414607907,403931874746277937,417014636077947967,430097397409617997,443180158741288027,456262920072958057,469345681404628087,482428442736298117,495511204067968147,508593965399638177,521676726731308207,534759488062978237
333012166298058323,346094927629728353,359177688961398383,372260450293068413,385343211624738443,398425972956408473,411508734288078503,424591495619748533,437674256951418563,450757018283088593,463839779614758623,476922540946428653,490005302278098683,503088063609768713,516170824941438743,529253586273108773,542336347604778803
338275337330536643,351358098662206673,364440859993876703,377523621325546733,390606382657216763,403689143988886793,416771905320556823,429854666652226853,442937427983896883,456020189315566913,469102950647236943,482185711978906973,495268473310577003,508351234642247033,521433995973917063,534516757305587093,547599518637257123
381336957506808803,394419718838478833,407502480170148863,420585241501818893,433668002833488923,446750764165158953,459833525496828983,472916286828499013,485999048160169043,499081809491839073,512164570823509103,525247332155179133,538330093486849163,551412854818519193,564495616150189223,577578377481859253,590661138813529283
485191591159166291,498274352490836321,511357113822506351,524439875154176381,537522636485846411,550605397817516441,563688159149186471,576770920480856501,589853681812526531,602936443144196561,616019204475866591,629101965807536621,642184727139206651,655267488470876681,668350249802546711,681433011134216741,694515772465886771
493052729074838717,506135490406508747,519218251738178777,532301013069848807,545383774401518837,558466535733188867,571549297064858897,584632058396528927,597714819728198957,610797581059868987,623880342391539017,636963103723209047,650045865054879077,663128626386549107,676211387718219137,689294149049889167,702376910381559197

17! (семнадцать факториал) одинаковых сумм из 17 чисел!

Квадрат построен на основе арифметических прогрессий Я. Вроблевского из простых чисел, которые он прислал мне сразу же,
как была опубликована моя головоломка о квадратах Стенли из простых чисел:
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_681.htm

Арифметические прогрессии Я. Вроблевского вы найдёте тут.

Обалдеть! Вот это мистика

Я посчитала индекс приведённого квадрата Стенли, у меня получилось 5675102246930958811.

Просьба: проверить, правильно ли я посчитала индекс. С такими огромными числами и обращаться не умею
Индекс равен сумме всех чисел, расположенных на главной диагонали квадрата (любой).

Из этих прогрессий можно построить квадрат Стенли максимального порядка 20 (есть 20 прогрессий длины 20 с одинаковой разностью).

[Nataly-Mak]

Просьба о проверке индекса отменяется.
Уже проверили
Кстати, в 9-ой строке квадрата я потеряла запятую перед последним числом; мне сказали, но исправить здесь уже нельзя.

[nnosipov]

VAL в сообщении #702014 писал(а):

Ну, про "мистическую мистику" я бы писать не стал

Настоящая мистика в том, что у Вас там опечатка во втором равенстве Я сердцем чувствовал, что должна быть эллиптическая кривая, но вместо неё вылезало что-то непонятное большого рода. Указанные пары чисел действительно производили впечатление чего-то мистического. И только после этого

VAL в сообщении #702014 писал(а):

пары $a, b$, такие что $a+b=u^2, a^2+b^2=v^2$ и $a^3+b^3=w^2$

всё более-менее разъяснилось: мы, скорее всего, имеем дело с удвоением точек.

-- Ср мар 27, 2013 18:18:58 --

VAL в сообщении #702014 писал(а):

Кстати, интересно, что все известные примитивные (т.е. не полученные из других умножением на квадрат) пары $a, b$, такие что $a+b=u^2, a^2+b^2=v^2$ и $a^3+b^3=w^2$, имеют схожее строение: $a, b, v$ обязательно кратны $u$, а $w$ кратно даже $u^2$. Наверное, можно показать, что это необходимое условие.

Вот это интересно.

[Коровьев]

$\left\{ \begin{array}{l} x + y = m^2 \\ x^2 + y^2 = n^2 \\ x^3 + y^3 = p^2 \\ \end{array} \right.$
Данная система уравнений легко сводится к эллиптической кривой четвёртого порядка.
$$x=2ak,y=a(k^2-1)$
$$a = \frac{{m^2 }}{{k^2 + 2k - 1}}$
Из первого и третьего исходных уравнений следует, что и ($x^2-xy+y^2$) есть квадрат рац.числа.
$$x^2 - xy + y^2 = a^2 \left( {k^4 - 2k^3 + 2k^2 + 2k + 1} \right)$
Отсюда получаем эллиптическую кривую четвёртого порядка.
$$z^2=k^4 - 2k^3 + 2k^2 + 2k + 1$
Нахождение решений которой, чисто техническая задача.
К примеру, есть решение $$k=4$. Тогда
$$a = \frac{{m^2 }}{{23}},x = \frac{{8m^2 }}{{23}},y = \frac{{15m^2 }}{{23}}$
Выберем $$m=23$
x=184,y=345
Вот если бы к системе уравнений добавит четвёртое $x^4+y^4=q^2$ и найти решение, тогда бы это было бы очень уникально.

[VAL]

Коровьев в сообщении #702354 писал(а):

$\left\{ \begin{array}{l} x + y = m^2 \\ x^2 + y^2 = n^2 \\ x^3 + y^3 = p^2 \\ \end{array} \right.$
Данная система уравнений легко сводится к эллиптической кривой четвёртого порядка.
$$x=2ak,y=a(k^2-1)$
$$a = \frac{{m^2 }}{{k^2 + 2k - 1}}$
Из первого и третьего исходных уравнений следует, что и ($x^2-xy+y^2$) есть квадрат рац.числа.
$$x^2 - xy + y^2 = a^2 \left( {k^4 - 2k^3 + 2k^2 + 2k + 1} \right)$
Отсюда получаем эллиптическую кривую четвёртого порядка.
$$z^2=k^4 - 2k^3 + 2k^2 + 2k + 1$
Нахождение решений которой, чисто техническая задача.
К примеру, есть решение $$k=4$. Тогда
$$a = \frac{{m^2 }}{{23}},x = \frac{{8m^2 }}{{23}},y = \frac{{15m^2 }}{{23}}$
Выберем $$m=23$
x=184,y=345
Вот если бы к системе уравнений добавит четвёртое $x^4+y^4=q^2$ и найти решение, тогда бы это было бы очень уникально.

Вы все очень хорошо расписали...
Но все испортили
Я этот разговор исподволь завел, собираясь через несколько дней торжественно объявить, что я нашел пару, удовлетворяющую и последнему условию

[Коровьев]

VAL в сообщении #702364 писал(а):

Я этот разговор исподволь завел, собираясь через несколько дней торжественно объявить, что я нашел пару, удовлетворяющую и последнему условию

Это будет сверхсенсация! Ферма очень расстроится

[VAL]

Коровьев в сообщении #702376 писал(а):

VAL в сообщении #702364 писал(а):

Я этот разговор исподволь завел, собираясь через несколько дней торжественно объявить, что я нашел пару, удовлетворяющую и последнему условию

Это будет сверхсенсация! Ферма очень расстроится

Я в курсе.
Ключевое место в предыдущем сообщении "через несколько дней".

[VAL]

15 последовательных чисел, имеющих по 24 делителя:

$$1956636199634182220409498715768827417=3^2\cdot 83 \cdot 83790829471 \cdot 31260289282125663864341$$

$$1956636199634182220409498715768827418=2\cdot 19^2\cdot 10962727 \cdot 247203313296632979092540147$$

$$1956636199634182220409498715768827419=7^2\cdot 7229 \cdot 395172780387953 \cdot 13978119749768663$$

$$1956636199634182220409498715768827420=2^2\cdot 3 \cdot 5 \cdot 32610603327236370340158311929480457$$

$$1956636199634182220409498715768827421=11^2\cdot 162964027 \cdot 466912585873 \cdot 212518814751631$$

$$1956636199634182220409498715768827422=2\cdot 23^2 \cdot 33730507 \cdot 54827891838278535057773437$$

$$1956636199634182220409498715768827423=3\cdot 29^2 \cdot 26029 \cdot 29794448446974944428953100769$$

$$1956636199634182220409498715768827424=2^5 \cdot 53 \cdot 1153677004501286686562204431467469$$

$$1956636199634182220409498715768827425=5^2\cdot 390043 \cdot 2701693 \cdot 74271396480909793415303$$

$$1956636199634182220409498715768827426=2\cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 15528858727255414447694434252133551$$

$$1956636199634182220409498715768827427=13^2\cdot 4277639 \cdot 110527 \cdot 24487861855950911311811$$

$$1956636199634182220409498715768827428=2^2\cdot 79 \cdot 1789 \cdot 3461088154110177916397497215347$$

$$1956636199634182220409498715768827429=3\cdot 31^2 \cdot 89681 \cdot 7567719030210541335929790023$$

$$1956636199634182220409498715768827430=2\cdot 5 \cdot 37^2 \cdot 142924484998844574171621527813647$$

$$1956636199634182220409498715768827431=17^2\cdot 41 \cdot 643 \cdot 256813241011365832449391850533$$

[kalin]

Меня такое удивило

$\sqrt [3]{57+30\,\sqrt {3}+9\,\sqrt [3]{9}+36\,\sqrt [3]{3}+9\,\sqrt [ 6]{3}+18\,\sqrt [6]{243}}=\sqrt [3]{3}+\sqrt {3}+3$

[Mikhail_K]

kalin в сообщении #1212116 писал(а):

Меня такое удивило

Стесняюсь спросить, а что же тут удивительного?
Взяли $\sqrt[3]{3}+\sqrt{3}+3$, возвели в куб.
Этак и я могу.

[kalin]

Mikhail_K, удивило то, что открыто было в 1170 г. в Индии.

[VAL]

Чем интересна тройка чисел 5186, 5187, 5188 и уникальна ли она?

[SergeCpp]

$1^5+5^1$ заканчивается на $(1+5)\bmod 10 = 6$
$2^5+5^2$ заканчивается на $(2+5)\bmod 10 = 7$
$3^5+5^3$ заканчивается на $(3+5)\bmod 10 = 8$
$4^5+5^4$ заканчивается на $(4+5)\bmod 10 = 9$
$5^5+5^5$ заканчивается на $(5+5)\bmod 10 = 0$
$6^5+5^6$ заканчивается на $(6+5)\bmod 10 = 1$
$7^5+5^7$ заканчивается на $(7+5)\bmod 10 = 2$
$8^5+5^8$ заканчивается на $(8+5)\bmod 10 = 3$
$9^5+5^9$ заканчивается на $(9+5)\bmod 10 = 4$