Мистика чисел

[nnosipov]

SergeCpp
Малая теорема Ферма сама по себе мистика.

[ishhan]

nnosipov в сообщении #1436999 писал(а):

Малая теорема Ферма сама по себе мистика.

Не такая уж и мистика:-).
Если придать геометрический смысл числу $a^p-a$ , где $p$-простое число,то это будет $p$-мерный куб с ребром $a$ у которого удалены $a$ единичных кубиков лежащих на главной диагонали и поскольку главная диагональ является поворотной осью симметрии $p$-го порядка, то $a^p-a$ должно делится на $p$, так как при повороте на $1/p$ оборота вокруг главной диагонали фигура с объёмом $V=a^p-a$ переходит в себя и при этом ни один элементарный кубик не переходит сам в себя, так как все такие кубики лежат на оси симметрии, а мы их удалили. По моему скромному мнению, это самое простое объяснение МТФ и оно почему-то не встречается в популярной литературе по теории чисел.

[nnosipov]

ishhan в сообщении #1437141 писал(а):

По моему скромному мнению, это самое простое объяснение МТФ и оно почему-то не встречается в популярной литературе по теории чисел.

Теорема Ферма передоказана вдоль и поперек, достаточно заглянуть в википедию (англоязычную). Есть там и рассуждение с орбитами, причем в разных вариантах. На русском языке это можно прочитать в книжке Спивака "Арифметика-1" (вып. 102 "Библиотечки Квант"). Почему-то комбинаторные доказательства считаются наиболее простыми, но для меня, например, это не так --- скорее, дело вкуса.

[PhisicBGA]

nnosipov писал(а):

Теорема Ферма передоказана вдоль и поперек

Так в чём тогда мистика?

[vxv]

У Ферма:
Каждое простое число «измеряет» одну из степеней любой прогрессии минус 1, для которой показатель степени является делителем данного простого числа минус 1; …
У других же:
Понятие 'единицы измерения чисел' отсутствует.
Чудеса!?

[Lia]

Оффтоп отделен.

[VAL]

VAL в сообщении #1436987 писал(а):

Чем интересна тройка чисел 5186, 5187, 5188 и уникальна ли она?

Прошло 11 месяцев с того момента, как я это спрашивал. Наверное поря ответить.
У трех данных чисел равны значения функции Эйлера.
Существуют ли другие подобные тройки (или более чем тройки) - неизвестно.

Рискуя вновь сотрясти пустоту, задам таки новый вопрос.

Чем замечательно на сегодняшний день число 8100239725694207838698666538353341829610974940,
и почему оно перестанет быть замечательным через некоторое время?

[mathpath]

VAL в сообщении #1497663 писал(а):

VAL в сообщении #1436987 писал(а):

Чем интересна тройка чисел 5186, 5187, 5188 и уникальна ли она?

Прошло 11 месяцев с того момента, как я это спрашивал. Наверное поря ответить.
У трех данных чисел равны значения функции Эйлера.

У первых двух чисел функция Эйлера равна 2592, а у третьего вроде как 1296
В пределах до первого миллиона троек вообще нет, двоек - штук 20
Как правило, среди двоек есть число - или оба- в разложении которых есть простой делитель, меньший 10, в степени, бОльшей единицы

[mihaild]

mathpath в сообщении #1504634 писал(а):

а у третьего вроде как 1296

$5188 = 2^2 \cdot 1297$, $1297$ простое, $\varphi(5188) = \varphi(4) \cdot \varphi(1297) = 2 \cdot 1296 = 2592$.

[VAL]

mathpath в сообщении #1504634 писал(а):

В пределах до первого миллиона троек вообще нет, двоек - штук 20

Ну, если не считать этой (которая, все же, есть) то троек нет в пределах первых нескольких триллионов.

[mathpath]

А я считал так - и зря :

mihaild в сообщении #1504636 писал(а):

$5188 = 2\cdot2 \cdot 1297$, $1297$ простое, $\varphi(5188) = \varphi(2) \cdot \varphi(2) \cdot \varphi(1297) = 1 \cdot 1 \cdot 1296 = 1296$.

[mathpath]

У Эйлера есть известная формула для нахождения простых чисел
n^2 - n + 41

Она справедлива для n в диапазоне 0 ... 40

Есть еще формула, которая возможно давно известна, дающая 48 простых чисел
n^2 + 15n + 97

[Dmitriy40]

mathpath в сообщении #1505719 писал(а):

Есть еще формула, которая возможно давно известна, дающая 48 простых чисел
n^2 + 15n + 97

Неправда, $n=33,34,37,42$ дают не простые числа. Например $n=33$ даёт число $1681=41^2$, его даже калькулятором можно проверить. А $n=34$ даёт $1763=41\cdot43$.

Вот $n^2-15n+97$ действительно даёт 48 частично повторяющихся простых чисел для $n=0..47$.

[mathpath]

Я извиняюсь, ошибка, там минус должен быть вместо плюса
n^2 - 15n + 97

Да, генерятся все те же самые 40 уникальных простых

[Dmitriy40]

Вот только полином $(n-40)^2+(n-40)+41=n^2-79n+1601$, полученный из полинома Эйлера банальным смещением нуля из-за симметричности параболы, даёт простые числа для $n=0..79$. Но не 80, а лишь 40, остальные это повторы. Вы же сместили ноль не на 40, а всего лишь на 8, но это всё тот же полином Эйлера.