2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение19.02.2021, 21:30 


20/03/14
12041
 i  mathpath
Формулы нужно заключать в знаки долларов с обеих сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение05.03.2021, 19:52 


16/08/19
103
Полином Эйлера
$n^2 - n+41$
генерирует 40 подряд простых чисел.
В диапазоне от нуля до миллиона он в сумме производит 261082 простых чисел, т.е. практически каждое четвертое число.
Не располагая вычислительными мощностями, я потратил на обычном десктопе неделю, и все, что я смог найти - это полином 3-й степени, который генерит 20 простых чисел подряд, а в том же диапазоне всего 170000 простых чисел.
После чего я стал смотреть, а как же другие, и оказалось, что рекорд Эйлера побит, например вот так
$45n^4 - 3416n^3 + 96738n^2 - 1212769n + 5692031$
Этот полином генерит подряд 42 простых числа, самое маленькое из которых - 257, а самое большое - 10310189
Всего же в диапазоне от нуля до миллиона он производит 151480 простых чисел

Полином
$3n^3 -183n^2 + 3318n - 18757$
генерит всего 18 простых подряд, но зато в том же диапазоне генерит 266450 простых
С увеличением старшей степени полинома плотность генерации вроде как должна падать

Полином
$8n^2 - 488n - 7243$
генерит всего 26 простых подряд, в том же диапазоне генерит 266270 простых



Подробнее тут:
http://www.mathpuzzle.com/MAA/48-Prime% ... 17_06.html
Там есть и другие варианты, но-по-моему, половина из них левые

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение12.03.2021, 04:58 


16/08/19
103
Я обнаружил класс полиномов, которые назвал генераторами
Они обладают свойством генерировать все более длинные цепочки из простых чисел
В качестве примера рассмотрим полином
$6n^4 +1$
Он генерирует цепочку из 11 простых чисел
Рассмотрим следующую цепочку полиномов
$6n^4 -2n^2 +1$
6n^4 -4n^2 +1
6n^4 -6n^2 +1
...
Если в таких полиномах увеличивать свободный коэффициент, то обнаружится,
что такие полиномы будут производить похожие цепочки простых чисел:
$6n^4 -6n^2 +8501$ : 12 чисел
$6n^4 -6n^2 +17419$ : 11
$6n^4 -6n^2 +33457$ : 12
$6n^4 -6n^2 +39119$ : 11
$6n^4 -6n^2 +94441$ : 11
$6n^4 -6n^2 +139537$ : 13
...
Далее, если уменьшить на 2 коэффициент при второй степени, а затем наращивать свободный коэффициент, начиная с 1, то довольно быстро находится цепочка из 23 простых чисел:
$6n^4 -36n^2 +182519$ : 15
$6n^4 -62n^2 +619$ : 16
$6n^4 -260n^2 +14407$ : 18
$6n^4 -284n^2 +70507$ : 19
$6n^4 -820n^2 +139537$ : 23
$6n^4 -2422n^2 +529973$ : 23
...
Я не знаю, как долго это продолжается
Очевидно, что существуют другие генераторы с похожими свойствами и с коэффициентвми при старших степенях полинома, отличными от 4.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение12.03.2021, 07:16 
Аватара пользователя


20/01/21
40
mathpath в сообщении #1508778 писал(а):
Я не знаю, как долго это продолжается

До бесконечности. Разве это не очевидно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение12.03.2021, 08:52 
Заслуженный участник


20/08/14
11073
Россия, Москва
mathpath в сообщении #1508778 писал(а):
Далее, если уменьшить на 2 коэффициент при второй степени, а затем наращивать свободный коэффициент, начиная с 1,
Пара простых предложений по улучшению поиска:
1) Начинать с 1 излишне, можно начинать с $|\min(6n^4-Kn^2)|$ (можно и явно выписать значение в вершине), ведь это парабола и ниже вершины она не уйдёт никогда.
2) Перебирать можно лишь простые свободные члены, ведь возможно $n=0$.
3) Для исключения повторов в числах достаточно исключить $K$ кратные $12$ (удвоенному коэффициенту перед четвёртой степенью), так как в этом случае вершина параболы придётся на целое число и генерируемые числа станут симметричными.

 Профиль  
                  
 
 Степени двойки
Сообщение13.03.2021, 15:01 
Аватара пользователя


10/10/18
739
At Home
$(7\cdot7)\cdot2\cdot1.0204081632...=100$

1) Две семёрки (два мистических числа).
2) Двойка (так как семёрок – две).
3) Последовательные степени оной двойки: до точки – нулевая, после – остальные.
4) $100$ – и красивое (круглое) число и квадрат нашей обычной системы счисления.

После $64$ будут наложения: $6400+128=6528$
Для $1024$ множитель (учитывая наложения) уже будет $1.02040816326530612224$

Big Number Calculator: множитель и результат для $16384$, проверка множителя.

P.S. Подобную структуру дробной части $100/(100-x)$ видно и при других $x$ (примеры: для тройки, для полутора).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение21.03.2021, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
$$\sqrt{2\phi+2\sqrt{\phi}}\cdot e^{i\cdot atan(\phi+\sqrt{\phi})}=2i+\cfrac{2i}{2i+\cfrac{2i}{2i+\cfrac{2i}{2i+\ldots}}}}}$$
$$\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \text{ - золотое сечение}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение22.03.2021, 00:38 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
juna в сообщении #1510425 писал(а):
$$\sqrt{2\phi+2\sqrt{\phi}}\cdot e^{i\cdot atan(\phi+\sqrt{\phi})}=2i+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{2i+\ldots}}}}}$$
$$\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \text{ - золотое сечение}$$
:mrgreen:

$x = 2 i + \frac 1 x \Longleftrightarrow x = i$, так что вы с тотальным грохотом провалили все усложняющие преобразования. В текущем виде получается нонсенс. Из условия на единичность модуля $i$ мы получаем $\phi = \frac 5 4$, из условия на аргумент получаем $\phi + \sqrt \phi = \infty$ (если позволить себе писать $=$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение22.03.2021, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Исправил опечатку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение22.03.2021, 00:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Я убедился, что дробь равна $i$, это несомненно, тут очень даже хорошо, что это кратный корень соответствующего квадратного уравнения — даже выбирать не из чего. Но вот с $\phi$ вы где-то ошиблись в выкладках как минимум. Арктангенс ничего не может получиться равным $\frac \pi 2$, а тот корень слева не получается равным единице.

-- Пн мар 22, 2021 02:56:34 --

Ну и надо добавить, что смех смехом, а ситуация грустная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение22.03.2021, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Да, Вы правы, была опечатка. В каждом числителе цепной дроби тоже $2i$, на которую можно сократить, но через раз :-)
$$2i+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2i+\ldots}}}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение24.03.2021, 07:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Еще:

$$\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2i+\ldots}}}-\cfrac{1}{2i-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{2i-\ldots}}}=\sqrt{\phi}-1$$
$$\left (\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2i+\ldots}}}\right)\cdot\left (\cfrac{1}{2i-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{2i-\ldots}}}\right )=\frac{\phi-\sqrt{\phi}}{2}$$

(Оффтоп)

В принципе примитивно, но красиво.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение25.03.2021, 08:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Если рассматривать общий вид:
$$h(x)=\cfrac{1}{xi+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{xi+\ldots}}}-\cfrac{1}{xi-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{xi-\ldots}}}$$
то оказывается справедливо:
$$g(x)=\sqrt[4]{\frac{16}{x^2}+1}\cdot \cos\left (\frac{\arctan\left( \frac{4}{x}\right )}{2}\right )-1$$
$$\forall x\in\mathbb{C}: h(x)=g(x)$$
$$\forall x\in \mathbb{R}_{+}:g(x)=\frac{\sqrt{2}\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+16}}{x}+1}-2}{2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение22.05.2021, 21:21 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
$$(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3 = 42$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мистика чисел
Сообщение29.12.2021, 21:22 


18/10/21
48
Поздравления А. Цельсия и К. Линнея с Новым годом

$$
366 \approx 36,6
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 189 ]  На страницу Пред.  1 ... 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group