2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 13  След.
 
 
Сообщение04.08.2008, 02:08 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
juna, повторяетесь: http://dxdy.ru/topic13593.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.08.2008, 06:14 


23/01/07
3415
Новосибирск
juna писал(а):
Батороев писал(а):
$ 1^3+2^3+3^3+4^3+... + n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2 $

Это слишком тривиально, вернее общеизвестно.

Я привел это тождество, как "порождающее не аналогичные группы равенств", а не как мистическое. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.08.2008, 06:34 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
juna писал(а):
Батороев писал(а):
$ 1^3+2^3+3^3+4^3+... + n^3 = (1+2+3+4+...+n)^2 $

Это слишком тривиально, вернее общеизвестно. Предлагаю обобщить: найти произвольные целые $a_1,a_2,a_3...$, сумма кубов которых равнялась бы квадрату их суммы.
Например, $1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+4^3+6^3+8^3=(1+2+2+3+4+4+6+8)^2$.
Привести другие подобные примеры, указать регулярный алгоритм получения таких равенств.

В приведённом вами примере числа повторяются. Составив простенькую программку, я нашла сразу 10 решений (прервав программу), в которых тоже числа повторяются. Вот эти решения (чтобы не выписывать кубы и квадраты, пишу просто набор чисел):
1  2  2  4

1  2  2  3  5

1  1  1  4  4  5

1  1  2  4  5  5

1  1  1  2  2  5

1  2  2  3  4  6

1  1  2  2  5  5  6

1  1  1  1  2  2  5  6

1  1  1  1  2  3  3  6  7

1  2  3  3  3  3  4  5  9  9

1  1  1  1  2  2  2  3  5  5  6  10
Предлагаю поставить условие, что все числа должны быть различны (как в исходном тождестве). Есть ли решение с таким условием?
Понятно, что мой алгоритм поиска таких чисел нельзя назвать регулярным (он основан на функции случайных чисел). Интересно было бы посмотреть на регулярный алгоритм решения этой задачи (при условии различности чисел).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.08.2008, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
maxal писал(а):
juna, повторяетесь: http://dxdy.ru/topic13593.html

Нет, это другая задача. Во-первых, там последовательные квадраты, во-вторых, $b$ - любое число.
Nataly-Mak писал(а):
Предлагаю поставить условие, что все числа должны быть различны (как в исходном тождестве). Есть ли решение с таким условием?

Скорее всего, в такой постановке решений нет, кроме последовательных чисел.
Nataly-Mak писал(а):
Понятно, что мой алгоритм поиска таких чисел нельзя назвать регулярным (он основан на функции случайных чисел).

Да, это нерегулярный алгоритм. Что если Вас попросят построить такую последовательность из 100 чисел. :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.08.2008, 13:40 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
juna писал(а):
Скорее всего, в такой постановке решений нет, кроме последовательных чисел.

Вы уверены, что нет?
А вот если рассматривать не только натуральные числа, а любые целые (как вы, впрочем, и написали), тогда будут решения, кроме этого тривиального: (?)
$n^3 + (-n)^3 + (n+1)^3 + (-(n+1))^3 + ... +(n+k)^3 +(-(n+k))^3 = [n + (-n) + (n+1) + (-(n+1)) + ... + (n+k) + (-(n+k))]^2$
Мой алгоритм нерегулярный, но дело совсем не в количестве чисел в последовательности. Погоняв программу 3 минуты, я получила последовательность из 39 чисел:
1  1  1  1  2  2  3  3  4  4  4  4  5  5  5  5  7  7  7  8  12  12  12  12  12  13  13  13  13  15  16  16  17  17  22  25  30  32  36
Если расширить диапазон чисел в моей программе и погонять её подольше, можно и из 100 чисел последовательность получить. Нерегулярный он именно из-за случайности чисел в последовательности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.08.2008, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Вот пример такой последовательности (найденной на листочке бумаги):
$\{1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,6,6,6,7,8,8,8,9,9,10,10,10,11,12,12,12,12,13,14,14,15,15,15,16,$
$16,16,17,18,18,18,19,20,20,20,20,21,22,24,24,24,25,26,27,28,28,30,30,30,32,32,33,34,$
$35,36,36,36,38,39,40,40,40,42,44,45,45,48,48,50,51,52,54,55,56,57,60,60,60,64,65,$
$68,70,72,75,76,80,80,85,90,95,100\}$

Добавлено спустя 3 минуты 35 секунд:

Nataly-Mak писал(а):
Вы уверены, что нет?

Уверен настолько, насколько мой регулярный алгоритм не позволяет их построить. Но я не знаю, можно ли доказать его достаточность и необходимость.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2008, 05:11 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
А позволяет ли ваш регулярный алгоритм построить такую последовательность чисел, в которой числа, хотя и повторяются, но следуют по порядку? То есть вот так:
$\(1,...1, 2,...2, 3,...3, 4,...4, ... n-1,...n-1, n,...n$
Моя программа не нашла ни одного такого решения. Существует ли оно вообще?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2008, 09:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Пришло время показать этот алгоритм. Его придумал Лиувилль, и рассказывается о нем в книге Кордемского.
Возьмем например число $2^2\cdot 3$. Оно имеет $3\cdot 2=6$ делителей, это $1,2,3,2^2,2\cdot 3,2^2\cdot 3 $. Найдем количество делителей у этих делителей, это $1,2,2,3,4,6$. Полученные числа удовлетворяют соотношению: $1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3=(1+2+2+3+4+6)^2$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 14:54 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Я думала, вы действительно сами алгоритм сочинили! :lol: Если вам алгоритм был уже известен, зачем было ставить эту задачу.
А меня вот восхищает последовательность чисел Фибоначчи.
Легенду про Фибоначчи знаете? Вот она:
Прослышав о необыкновенных способностях Леонардо, в 1225 году в Пизу прибыл государь Римской империи Фридрих II в сопровождении группы математиков. желающих публично испытать Фибоначчи. Одна из задач, предложенных на турнире, имела следующее содержание: "Найти полный квадрат, остающийся полным квадратом как после уменьшения, так и после увеличения его на 5 (полным квадратом называется число, из которого точно извлекается квадратный корень)".
Фибоначчи после некоторых размышлений нашёл это число. А вы можете найти его так, как нашёл Фибоначчи, то есть "после некоторых размышлений"?
Вот последовательность чисел Фибоначчи:
1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144 ...
В этой последовательности каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов. Двенадцатый член последовательности Фибоначчи равен квадрату своего номера. Существуют ли ещё такие члены в последовательности Фибоначчи? Ответ отрицательный. Вы можете это доказать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 15:25 


28/05/08
284
Трантор
Nataly-Mak в сообщении #139946 писал(а):
Двенадцатый член последовательности Фибоначчи равен квадрату своего номера. Существуют ли ещё такие члены в последовательности Фибоначчи? Ответ отрицательный. Вы можете это доказать?


Можем :). Следует сразу из формулы для чисел Фибоначчи (растут-то они примерно как геометричекая прогрессия).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 16:00 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Не совсем понятное доказательство :( Нельзя ли подробнее?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.08.2008, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Например, вот здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%A4%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%87%D1%87%D0%B8 приведены ф-лы Бине, которые позволяют оценить снизу скорость роста чисел Фибоначчи. Эта оценка показывает, что последовательность Фибоначчи растет быстрее последовательности квадратов номеров этих чисел. Поэтому встретиться более одного раза эти последовательности не могут.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.08.2008, 03:41 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Вот теперь понятно :)
А существует ли такой член последовательности Фибоначчи, который равен кубу своего номера (кроме, конечно, первого члена)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.08.2008, 05:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Nataly-Mak в сообщении #140035 писал(а):
А существует ли такой член последовательности Фибоначчи, который равен кубу своего номера (кроме, конечно, первого члена)?
Нетрудно найти номер, начиная с которого число Фибоначчи становится больше куба своего номера. Затем останется перебрать числа Фибоначчи с меньшими номерами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.08.2008, 07:30 
Заблокирован
Аватара пользователя


22/03/08

7154
Саратов
Да алгоритм-то понятен. Много ли чисел перебирать придётся? :)
Я не находила тот номер, с которого число из последовательности Фибоначчи будет больше куба своего номера, а просто перебрала по программе первые 170 членов последовательности. Среди них не нашлось такого, который равен кубу своего номера. А после 170-ого члена мой Бейсик не хочет работать - преполнение (слишком большое число получается).
На форум моего сайта как-то прислали ссылку: ‹…›
Я подумала, что там что-то о магических квадратах (это моя любимая тема) и пошла посмотреть. Ну, не знаю, есть ли тут мистика? Но как символ этот отгадывается? Я проделала это раз семь, и каждый раз символ был угадан правильно. Потом я взяла и просто щёлкнула по чёрному квадрату, не задумывая никакое число, символ появился и в этом случае.

ссылка удалена // нг

Добавлено спустя 26 минут 58 секунд:

А-а-а! Кажется, нашла ответ. :? Уже с 21-ого члена числа последовательности Фибоначчи больше куба их номера. А среди первых 20 членов нет такого, который равен кубу своего номера. Значит, задача решена?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 189 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 13  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group