ser писал(а):
Почти закончил отладку и оформление программы Krivoship1 для численного решения методом Рунге-Кутта дифференциальных уравнений, описывающих работу кривошипно-шатунного механизма и полученных различными методами. Привожу внешний вид программы (размер уменьшил в 1,5 раза, чтобы картинка занимала меньше места). Если Вы заметили, в верхнем левом углу третьим пунктом стоит метод которым получали уравнения Вы, по этому я с нетерпением жду когда у Вас появиться время, чтобы Вы довели свое решение до конца. Когда получу от Вас решение, то добавлю его в программу и протестирую. После проверки Вашего решения, я Вам вышлю программу, чтобы Вы сами смогли в этом убедиться, а также посмотреть, что нам дают различные методы получения уравнений, и тогда уже перейдем к проблемам создания действительных, а не фиктивных математических моделей физических систем для их реализации на компьютерах.
Вчера, как и обещал, выложил на своей домашней странице
http://ser.t-k.ru (зеркало
http://modsys.narod.ru ) программу Krivoship1, но без уравнений полученных с помощью принципа возможных перемещений, т.к. Highwind не сдержал своего слова и не довел свое решение до конца, но, видя какой интерес вызвала эта тема, я постараюсь в будущем довести до ума не только его уравнения, но и получить описание работы КШМ с помощью уравнений Лагранжа 1-го рода и добавить эти уравнения в свою программу, которая позволяет продемонстрировать на конкретном примере возможности различных методов (методик) получения дифференциальных уравнений описывающих с математической точки зрения поведение различных физических систем, т.е. получения различных математических моделей (ММ) этих систем, которые затем решаются на компьютере численными методами, а конкретно в этой программе методом Рунге-Кутта по 4-м коэффициентам. И сравнивать возможности различных ММ я буду с ММ полученной с помощью предлагаемого мною метода, который в своей основе содержит идею, высказанную Даламбером в его споре о двух мерах механической формы движения материи, но этот метод значительно отличается от всем известного принципа Даламбера.
В современных учебниках принцип Даламбера искажен и низводится до уравнения сил, но в моем прочтение он мне видится как уравнение мощностей (хотя в то время, когда он был сформулирован Даламбером, еще не существовало таких понятий как мощность или энергия). И, хотя 99% систем можно описать используя уравнения сил, всегда надо помнить, что такое преобразование уравнения мощностей в уравнение сил происходит только в том случае, когда у нас в системе строго задано кинематическое согласование скоростей отдельных элементов системы. А, например, при работе клиноременной передачи или при качение колеса автомобиля такое строгое кинематическое согласование скоростей не может быть задано, т.к. наблюдается упругая пробуксовка (не говоря уже о неупругой) и по этому необходимо обязательно использовать только уравнение мощностей.
Другим отличием предлагаемой мною методики от существующих, т.к. она сразу создавалась под компьютерную реализацию созданных ММ, является то, что для определения усилий не все элементы системы при ее описание принимаются абсолютно жесткими, а часть из них, как и реальные элементы, принимаются обладающими упруго-диссипативными свойствами. При этом как упругие так диссипативные свойства этих элементов могут быть самыми разнообразными и определяются исходя из конкретной конструкции механизма и отдельных его элементов. В результате у меня получаются дифференциальные уравнения в виде уравнений Лагранжа 1-го рода, но при этом отсутствуют неопределенные множители Лагранжа и, скажем так, возможные перемещения элементов системы определяются исходя из упруго-диссипативных свойств элементов конструкций. А решение полученных уравнений численными методами позволяет не производить отдельный расчет для определения реакций связей, а просто вычислять эти реакции исходя из координат и скоростей элементов системы на предыдущем шаге решения. Учитывая то, что все решение обычно выполняется за несколько тысяч или миллионов шагов решения, запаздывание на один шаг при определение этих реакций практически не дает никакой ошибки. А, учитывая то, что при решение дифференциальных уравнений, например, методом Рунге-Кутта по 4-м коэффициентам, когда эти коэффициенты несколько раз корректируются на каждом шаге решения, можно сказать, что такой сдвиг на один шаг при расчете реакций повлияет на точность решения только гипотетически.
В данном абстрактном КШМ я наделил податливостью, величина которой задается в программе как жесткость kF (величина обратная податливости, т.е. коэффициенту пропорциональности деформации приложенной силе), соединения элементов КШМ (шарниры). А для того, чтобы повысить устойчивость решения и сгладить колебания в системе в начале эксперимента, когда не все начальные параметры заданы точно, я наделил соединения еще и свойством демпфировать колебания, т.е. принял, что при деформации элементов соединения будет возникать не только сила упругости, но и сила жидкостного трения пропорциональная скорости деформации элементов соединения и коэффициенту жидкостного трения kj, хотя на самом деле трение будет более сложным. При этом, если упруго-демпфирующие свойства конкретного элемента конструкции заданы в ММ как фиктивные, то надо стремиться подобрать эти параметры так, чтобы энергия рассеянная при трение была минимальна и не превышала за время проведения вычислительного эксперимента нескольких процентов от общей энергии системы (хотя в реальных элементах систем рассеивание энергии может быть гораздо больше).
Я уже писал выше о том, что метод уравнений Лагранжа 2-го рода для создания математичиских моделей хоть и является формальным, т.е. не надо думать при выводе уравнений о физической сущности описываемых процессов, но очень сложен с математической точки зрения, хотя и позволяет получить минимальное количество дифференциальных уравнений. Но я также писал, что это не самое главное и пусть он сложнее других методов с математической точки зрения, но если он позволяет получить то, чего не дают другие методы, то ему можно простить сложную математику. Но ведь это не так. Этот метод вообще нам ничего не дает о внутренней сущности происходящих в объекте явлений, кроме его инерционных свойств, и более того не позволяет логически усовершенствовать модель, добавив в нее новые элементы или изменив конструкцию существующих (надо все делать заново, т.е. явный признак имитаторов, а не моделей). Впрочем, и другие существующие методы для описания механических систем (принцип возможных перемещений и уравнения Лагранжа 1-го рода) не менее сложны. А к полученным с помощью этих методов дифференциальным уравнениям просто не знаешь с какой стороны подступится, чтобы их использовать. Вот, например, дифференциальное уравнение полученное мною при точном выводе с использованием математического пакета Maple 9.5 (смотрите файл Krivo1.mws)
> du:=diff(pv,t)-px-Q=0;
Полученное мною дифференциальное уравнение в файле Krivo2.mws, где я воспроизвел методику вывода использованную в учебнике Бать М.И., Джанилидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. т.2. М. Наука, 1972 г. немного поменьше приведенного выше, т.к. при выводе сделаны некоторые математические допущения, но и оно слишком громоздко, чтобы им пользоваться практически. Правда, после некоторых математических преобразований его удается привести в более-менее читабельный вид и в таком виде я его и использовал в программе Krivoship1
![$$ \frac { \cos^2 \varphi_1} { ( 1 - 0.25 K_l^2 + 0.25 K_l^2 \cos 2 \varphi_1 )^2} ] + 12 P_3 (\sin \varphi_1 + 0.5 K_l \sin 2 \varphi_1)^2 \} $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/e/c5e5bc695c0655c8b27288b43a8fc84782.png "$$ \frac { \cos^2 \varphi_1} { ( 1 - 0.25 K_l^2 + 0.25 K_l^2 \cos 2 \varphi_1 )^2} ] + 12 P_3 (\sin \varphi_1 + 0.5 K_l \sin 2 \varphi_1)^2 \} $$")
![$$ \frac { \sin 2 \varphi_1 (1 - 0.75 K_l^2 - 0.25 K_l^2 cos 2 \varphi_1} {(1- 0.25 K_l^2 + 0.25 K_l^2 \cos 2 \varphi_1)^3 } ] + 24 P_3 (\sin \varphi_1 + 0.5 K_l \sin 2 \varphi_1) (\cos \varphi_1 + K_l \cos 2 \varphi_1) \} $$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/8/4c8367189229348efd9d025a3baf958282.png "$$ \frac { \sin 2 \varphi_1 (1 - 0.75 K_l^2 - 0.25 K_l^2 cos 2 \varphi_1} {(1- 0.25 K_l^2 + 0.25 K_l^2 \cos 2 \varphi_1)^3 } ] + 24 P_3 (\sin \varphi_1 + 0.5 K_l \sin 2 \varphi_1) (\cos \varphi_1 + K_l \cos 2 \varphi_1) \} $$")
где : Jp - приведенный момент инерции системы; Kl, Kj - коэффициенты ( Kl = R / L ); R - радиус кривошипа; L - длина шатуна; Ms - момент сопротивления приложенный к кривошипу (маховику); P1 , P2 , P3 - соответственно вес кривошипа, шатуна и поршня; g - ускорение свободного падения.
Предлагаемая же мною методика получения ММ систем позволяет не только получить все показатели работы исследуемой системы, а не только кинематические, как в ММ полученной с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода, но и автоматически воспроизводит все эффекты, которые могут происходить в реальном объекте, например, явления резонанса. Так как для математического описания систем я использую Декартову систему координат, то у меня для описания КШМ получается 5 дифференциальных уравнений второго порядка, решая которые, мы можем получить кроме угла поворота кривошипа и угла поворота шатуна относительно его центра масс также перемещения центра масс шатуна по осям X и Y и перемещение центра масс поршня по оси X, а также скорости их перемещений по этим координатам. Кроме этого ММ созданная по моей методике позволяет получить все усилия возникающие в элементах конструкции и все энергетические показатели работы моделируемой системы. А само создание ММ с использованием предлагаемой мною методики не представляет никакой сложности, например, при описание движения поршня по координате X пишем обычное уравнение с использованием принципа Даламбера (в данном случае можно использовать не уравнение мощностей), а силу реакции со стороны кривошипа F23X при решение системы дифференциальных уравнений вычисляем зарание F23X=kF*(X23-X3) + kj *(VX23-VX3) из известных координат и скоростей полученных на предыдущем шаге решения и задаем силу давления газов Fg (Fr,Fs или 0)
Записывая подобные 5-ть уравнений для движения кривошипа, шатуна и поршня по 5-ти координатам мы и получаем именно математическую модель КШМ, а не квазимодель, как при использование известных в теоретической механике методов, которая создается не для решения какой-то конкретной задачи с использованием тех или иных формул теоретической механики, а для воспроизведения на языке математики явлений Природы, а в процессе воспроизведения этих явлений мы можем решить свои конкретные задачи исходя из того, что нас интересует в этом процессе, т.к. мы всегда можем в любой момент времени посмотреть любые показатели функционирования этой системы. Например, мы не можем с большой достоверностью сказать разрушится ли турбина во время ее разгона от резонанса или нет, используя только обычные расчеты и для ответа на этот вопрос надо смоделировать процесс разгона турбины. Только ММ полученные с помощью известных методов создания ММ не могут ответить на этот вопрос, т.к. никакого резонанса при моделирование наблюдаться не будет, а ММ полученная с использованием моей методики может ответить на этот вопрос и никаких дополнительных уравнений для этого в ММ вносить не надо.
Ниже представлены две осциллограммы полученные с помощью программы Krivoship1 при реализации на ней моей ММ КШМ. На первом рисунке (слева направо) мы видим гармонические колебания, на среднем явление резонанса, а на правом явление биений, т.е. когда частота вынужденных колебаний близка к резонансной или к одной из ее гармоник (синяя линия это усилия в головке кривошипа по оси X, т.е. сила F21X). В данных примерах параметры загружаемые в программе Krivoship1 по умолчанию заменены на следующие m2=10, J4=100, L1=0,02, kF=400, Mw=100, Mfi1=100, Mfi2=10. Другие параметры, отличные от загружаемые по умолчанию были - левый рисунок w10=30, MF=200, Mt=0,1, kj=0,01 и P0=0,000001 - средний рисунок w1=190,7, MF=10000, Mt=0,025, kj=0,5, kj= 0,4 и P0=0,000001 - правый рисунок w1=92, MF=1500, Mt=0,25, kj=0,01 и P0=0,0000001, где P0 - шаг решения. Как нетрудно заметить по колебаниям на левом рисуноке, частота собственных колебаний шатуна составляет 190,3 рад/с, а не 200 рад/с, как это должно быть из формулы w=sqrt(kF/m2) т.к. шатун колеблется вместе с поршнем и, если массу взять m2+m3, то мы получим 190,7 рад/с, что очень близко к частоте определенной по осциллограмме. И если мы зададим начальную скорость вращения коленвала 190,7 рад/с, то мы будем наблюдать явный резонанс, когда амплитуда колебаний будет расти до тех пор пока или не разрушится конструкция или энергия рассеянная в системе будет равна энергии подведенной к системе за тот же период времени. И при kj=0,5 (продолжительная запись) мы видим, что амплитуда колебаний (сила F21X) перестала расти, а при kj=0,4 (запись оборвана) пока продолжает в тот же момент времени расти. А на правом рисунке мы видим режим сложных биений в том случае, когда частота вынужденных колебаний (скорость вращения коленвала) близка к одной из гармоник собственной частоты колебаний шатуна w1=92 близка к 0,5*190,7.
При загрузке программы Krivoship1, Вы в левом верхнем углу в рамке <Метод получения уравнений> выбираете метод с помощью которого получены дифференциальные уравнения, описывающие работу КШМ, и затем, задав параметры этого механизма и внешние воздействия на него, видите на экране монитора, то, что Вам данный метод может дать при решение численными методами уравнений, полученных с использованием этого метода. Но, прежде чем нажать кнопку <Начать> Вы, кроме задания шага решения уравнений P0, должны задать конкретные параметры КШМ, а именно массу кривошипа - m1, массу шатуна - m2, массу поршня - m3, длину кривошипа - L1 и длину шатуна - L2, начальную скорость вращения кривошипа w10 и момент инерции маховика J4 (при его наличие). Кроме этого, Вы в рамке <момент сопротивления> выбираете различные режимы изменения момента сопротивления Ms, который может быть задан в одном из двух вариантов Ms=M0*Sin(w0*T) и Ms=M0, а также уточнить различные масштабы вывода показателей работы на экран в графическом виде. А если Вы собираетесь проводить вычислительный эксперимент на математической модели КШМ, уравнения которой получены с применением предлагаемой мною методики, то Вам надо еще уточнить жесткость соединений для определения упругой силы в соединениях КШМ и коэффициент жидкостного трения для определения силы жидкостного трения в соединениях. И так как у большинства КШМ наверное ассоциируется с двигателем внутреннего сгорания, я предусмотрел и возможность задать силу давления газов на поршень при их горение Fr, т.е. при рабочем ходе поршня. При этом для простоты принято, что сила давления газов на поршень при сжатие газов Fs равна 20% от силы давления при рабочем ходе, а двигатель у нас двухтактный, т.е. весь рабочий цикл совершается за один оборот кривошипа.
При заданных в программе по умолчанию параметрах жесткости шарниров и коэффициента трения в них процент ошибки решения по энергии системы потерянной на трение в шарнирах при обычных скоростях вращения кривошипа не превысит и сотых долей процента. Но в некоторых конструкциях податливости элементов этих конструкций могут оказаться очень значительными и если коэффициент трения будет задан как фиктивный, то это может привести к значительным фиктивным потерям энергии в системе и процент ошибки (по энергии) может быть не допустимо большим, по этому внимательно следите за этим показателем на осциллограмме. Численные методы решения конечно же тоже будут вносить погрешность в решение, но при правильно заданных параметрах эта погрешность также не превысит сотых долей процента. А вот упрощение реальных систем для более удобного их математического описания может дать десятки процентов ошибки и даже незначительное с математической точки зрения допущение, которое сделано в файле Krivo2.mws при нахождение cos(fi2) при упрощенном выводе дифференциального уравнения описывающего КШМ с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода и которое используется в этой программе, приводит к ошибке +/- 1% при свободных колебаниях КШМ. Для сравнения я привожу полученные мною с использованием разных уравнений и программ данные по углу поворота кривошипа при начальной скорости вращения 200 рад/с.
Время__Krivoship1ser__ Krivoship1Lagrange__ Krivo1Lagrange__ Krivo2Lagrange
0,01_____1,403_____________1,407_____________1,403____________1,407
0,02_____2,874_____________2,877_____________2,875____________2,876
0,03_____4,561_____________4,559_____________4,562____________4,559
0,04_____5,812_____________5,815_____________5,813____________5,815
0,05_____7,385_____________7,391_____________7,387____________7,391
Поэтому мнение о том, что аналитическое решение задачи всегда точнее чем ее решение численными методами является большим заблуждением. А если к этому добавить, что практически ни одна реальная задача не может быть решена аналитически без значительных упрощений рассматривамой системы и допущений при математических выкладках, то предлагаемый мною метод математического описания механических систем является реальной альтернативой существующим методам докомпьютерной эры. Моя методика, не требующая ни упрощения систем ни допущений при математических выкладках, позволяет создать именно модель системы, а не квазимодель, пригодную только для решения простейших учебных задач. И хотя моя методика практически пригодна только для математического описания систем с последующим решением уравнений численными методами на цифровых ЭВМ это никоим образом не может быть ее недостатком, т.к. сегодня компьютеры это не экзотика. Тем более, что простейшие системы, например, удар двух шаров, могут быть не только описаны с помощью этой методики, но полученные уравнения могут быть и решены аналитически, как я это сделал в своей статье <Две меры механической формы движения материи>, где приведено аналитическое решение для упругого и неупругого удара двух шаров, которое мною получено впервые (по крайней мере я этого решения нигде не встречал), хотя сама задача давно является классической. Кого интересуют подробности, предлагаемой мною методики, могут ознакомиться с ними в моей книге по моделированию систем, а данная программа просто демонстрирует возможности различных методов математического описания физических систем. А с методикой получения дифференциального уравнения с использованием уравнений Лагранжа 2-го рода можно ознакомиться, скачав файлы Krivo1 и Krivo2 для пакета Maple9.5 там же где и программу Krivoship1 в разделе программы на моей домашней странице, а просто посмотреть эти файлы без проведения вычислений можно браузером в формате html.
С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.
