Основания математики - элементарное рассмотрение

[tatle11be]

Очень жаль, что интересное обсуждение угасло. Хочется оживить его.
Прошу не воспринимать все нижеизложенное как то, в чем я нисколько не сомневаюсь; я сомневаюсь во многом, поэтому ко всему надо добавить: «По-моему» или «я думаю» или ИМХО; даже там, где я этого не сделал. Поэтому меня больше будет интересовать то, что скажете вы (участники) и ваше мнение, чтобы понять, где я делаю не правильные выводы и заблуждаюсь.

1.По-моему, это типичная дисскусия между теоретиком и практиком. Создал бы Кулибин что-нибудь, если б до него не было Ньютона, Галилея, Аристотеля, Платона и всех остальных? Мне кажется, «что-нибудь» он создать мог бы – он был практиком и так или иначе реализовал бы свой опыт и навыки при создании каких-нибудь материальных объектов. Вопрос: мог ли Андрей Рублев создать свои произведения без «работы» в предыдущих столетиях «теоретиков» и «практиков» православия? Думаю, что этих, которые известны, нет.
Предыдущие теоретики и практики делают и верные шаг и ошибки. Теоретики делают обобщения. Создается невидимый «бульон» из идей. Когда он попадает в благодатную «почву» – Кулибин, Рублев – произрастают шедевры. На Марс полетят в том, что создаст инженер-конструктор «материальных объектов», а не инженер-конструктор «идей», «идеальных объектов». ИИ создатут (если создадут когда-нибудь) тоже практики, посылка к этому - «по определению», т.е. кого можно назвать практиком (а кого – нет). Вывод: по-моему они необходимы друг другу, дополняя друг друга. А вы как считаете?

2. Основания математики – злободневная, важная проблема. Считаете ли вы, что между ней и мат. логикой нужно ставить знак тождества? Если да, то почему? Если нет, то идем дальше.
3. Вполне вероятно, что используя закон тяготения Ньютона и факт, что человек тяжелее воздуха, можно сделать «логический» вывод: человек никогда не будет летать. Следуя только логике и этим двум посылкам, человек не должен был даже и помышлять о своих полетах. Из «реалий» нынешних следует, что пока этот «логический» вывод не нарушен – человек еще не летает непосредственно, тем не менее человек летает-таки. Летает он опосредованно(с помощью приспособлений , аппаратов и т.д.). Провожу параллель: для «идеального»(во всех смыслах) обоснования математики (как и для обоснования возможных полетов человека) одной только логики (в том числе и математической) не хватает; необходимо искать «что-то» за пределами логики.
4. Возникает вопрос: где искать? Ответ: по-моему - в Природе, в окружающих «реалиях» и в, том числе в человеческих отношениях (взаимодействии, коммуникации).
5. В их число входит и хорошо известный факт (предшествующий опыт), который затронут участниками данной дисскусии.
DDuMoH: «не существует методов проверки аксиоматики на абсолютную (выделено мной) непротиворечивость либо неполноту»
[кстати, последнее слово цитаты, мне кажется, должно быть – «полноту»???. Это не придирка; мне, не профессионалу в вашей области, было бы легче понять эту фразу в такой формулировке. Вспомните математика1 и математика2: один что-то думает, другой никогда не узнает это «что-то», пока первый не объяснит ему так, чтобы он понял(это закон – не так ли??? И не только для математики и математиков)]
До сих пор испольовались только способы проверки одной ОТНОСИТЕЛЬНО другой. Может вообще не существует абсолютных способов.
DDuMoH: «Разрешением данного вопроса будет являться создание абсолютного метода проверки аксиоматики средствами самой аксиоматики(возможность создания такого метода отрицается математиками)» (подчеркнуто мной)
6. Скажите пожалуйста: вы можете объяснить ребенку, что вы, например, папа, чтобы он усвоил это и не использовал «этот предикат» в отношении другого человека? Скорее всего вы должны предьявить хотя бы другого человека и пояснить: а это - не папа.
7. Мне кажется, что существует закон – нельзя выделить что-то, приписывая ему определенный предикат, не рассматривая его относительно другого, имеющего «не-предикат» - метод введения предикатов. Как минимум, это диалектический метод.
8. Мне кажется, что кроме диалектики (двухзначных предикатов) мы используем и «мультилектику» (многозначные: например, цвета – красный, зеленый и т.д).
9. Попытайтесь объяснить ребенку, что такое волна на море, если их тысячи («тьма темная») и все в движении, чтобы он понял «логически»: это – одна волна, это – другая и т.д. Мне кажется, что это можно сделать только на фоне «множества» волн, выделив (относительное) «не множество» (единичное, притом весьма условно – где его четкие границы объяснить невозможно).
10. Вопрос к квалифицированным формалистам: можно формализовать цифру или букву (симвоол)? Можно формализовать геометрический объект? В обоих случаях – сделать это безотносительно к чему- нибудь еще (абсолютно)

Что вы скажете по поводу этого?

[mserg]

Насколько я могу судить, возможность создавать парадоксы не является «блокирующим фактором» в области создании/понимании интеллекта.

Одно время я исследовал тему «синтеза интеллекта». Для этого рассматривались конечные дискретные задачи, которые, гипотетически, можно решить перебором. Задача этого класса представляет собой:
* множество дискретных переменных,
* множество ограничений с фиксированным набором функций (логические, арифметические, кванторы, суммы и некоторые другие),
* и, иногда, критерий.
Для обучения и тестирования решателей дискретных проблем нужно уметь оценивать, какой из «алгоритмов» интеллектуальнее. Для этого для i-ой задачи использовалась оценка
$k_{i,j}=1-\frac {ln(F_{i,j})} {ln(E_i)}$
Она отражает интеллектуальность решения задачи i некоторым имеющимся решателем j. Здесь для определенности можно считать, то $F_{i,j}$ – число совершенных шагов при решении задачи i при использовании решателя j; $E_i$ – число шагов при решении задачи полным перебором.
Простейший анализ этой формулы говорит о том, что для «эффективных» алгоритмов $k_{i,j}$ есть полиномиальная доля трудоемкости решения задачи (оставшаяся часть – это экспоненциально-переборная). Т.е., в первом приближении, наиболее эффективным будет тот решатель, который за полиномиальное число шагов экспоненциально снизит общее количество шагов.
Для синтеза интеллекта берется значительное множество задач, которым мы относим к «обучающим». В зависимости от сложности и важности в практической области, присваиваем каждой задаче i вес (сумма весов по всем задачам равна 1). Составляем общий критерий для оценки «интеллекта» решателя j:
$z_j=\sum\limits_i{w_i k_{i,j}}$
Теперь «генерируя» решатели, можно найти наиболее интеллектуальный «алгоритм» решения множества задач. При этом надеяться, если подсунуть «алгоритму» задачу не из обучающего множества, то он решит ее эффективно.
Генерация решателей (алгоритмов) возможна с помощью формальных систем. Применение правил должно привести от условий задачи к ее решению (здесь будут найдены значения переменных). Построение «алгоритма» состоит в том, чтобы указать, в каком порядке будут применяться аксиомы и создаваемые «теоремы». Оставим пока в стороне практическую реализуемость такой системы, проблемы зависания, эффективности и т.п.
Пытаясь представить, что будет представлять из себя самый эффективный алгоритм, можно прийти к выводу – это алгоритм, который заранее «знает» ответ. Т.е. во время обучения ответы задач будут найдены и сохранены. Если предложить «эффективному» алгоритму решить задачу, то он просто найдет по условиям задачу и ее ответ и выдаст его. Если предложить такому алгоритму задачу не из списка обучающих, то, скорее всего алгоритм «зависнет», либо будет заниматься тупым перебором.
Проблема, конечно, кроется в нашем критерии. Он учитывает только число шагов. Чтобы избежать данной проблемы, нужно ограничить память решателя (алгоритма). Тогда нельзя запомнить условия задачи и ответ целиком. В этом случае наиболее «эффективный» алгоритм будет более абстрактным, т.е. в меньшей степени зависящим от конкретных задач. В силу этой особенности, более абстрактные (общие) алгоритмы могут эффективнее решать большее множество задач, нежели менее абстрактные. С другой стороны, менее абстрактные алгоритмы лучше решают задачи, близкие к обучающему множеству.
Таким образом, в критерий оптимального алгоритма должно быть встроено требование минимальности «длины» записи алгоритма. Нет времени описывать все исследование, но могу лишь сказать (конечно, не со 100% уверенностью), что эффективный алгоритм может быть построен с высокой эффективностью.

Возвращаясь к теме основ математики, в моем понимании, они ведут нас к самым абстрактным (общим) способам решения задач. Но, как было показано выше, для интеллекта этого мало, т.к. важна еще эффективность. А связь способности «думать» с парадоксами видится мне несколько искусственной...

[vek88]

Уважаемый tatle11be

Вот уже месяц посматриваю на Ваше сообщение post395804.html#p395804. Поскольку я топикстартер, должен по правилам форума что-то Вам ответить. Но Ваши вопросы столь общие, что при всем желании ответить так и не смог.

С уважением,
vek88

[vek88]

mserg в сообщении #399119 писал(а):

Насколько я могу судить, возможность создавать парадоксы не является «блокирующим фактором» в области создании/понимании интеллекта.

ИМХО здесь все проще: парадоксы и создание/понимание интеллекта - это две большие разницы, почти никак не связанные друг с другом. Разве что энтузазисты Пролога попотели в связи с его семантикой как раз в связи с парадоксами.

mserg в сообщении #399119 писал(а):

(1) Возвращаясь к теме основ математики, в моем понимании, они ведут нас к самым абстрактным (общим) способам решения задач. (2) Но, как было показано выше, для интеллекта этого мало, т.к. важна еще эффективность. (3) А связь способности «думать» с парадоксами видится мне несколько искусственной...

1. ИМХО основания математики никак не коррелируют с самыми абстрактными (общими) способами решения задач.

2. А кто-нибудь спорит с этим?

3. Повторюсь - а где ж Вы увидели эту связь? Я, в определенном смысле, пытался сказать, что парадоксы "не имеют отношения к математике". См., например,

vek88 в сообщении #379225 писал(а):

В этом смысле ИМХО теория К-систем и пытается объяснить, что происходит в наших мофгах в связи с математикой. В этой связи, не берусь утверждать, что мои мысли важны для математики - она живет by herself и ходит where she wants (как у Киплинга кошка, которая сама по себе). Но лично для меня это интересно - в рамках К-систем я понимаю беспочвенность парадокса Рассела и торжество нашей любимой интуитивной теории множеств нашего любимого Кантора.

Ну, кто еще посмеет поднять руку на нас с Кантором?

Это все, что я могу сказать по поводу post399119.html#p399119

С уважением,
vek88

[tatle11be]

Уважаемый VEK88!
Спасибо, что откликнулись.
Сразу хочу извиниться за откровенно провакационные вопросы в конце моего предыдущего сообщения (о цифре, символе).
Хотелось бы услышать Ваши ответы на несколько конкретных вопросов.
1. Как я понял, продуктивные системы с исключениями(ПСИ), точнее К-системы - это формализованные системы, о принципе построения которых можно сказать, что они подобны принципам построения теории множеств Кантора.
Дано множество слов языка. Оно может быть конечным или бесконечным. Но это множество - актуально "завершенный" объект. И Вы своими исключениями "вырезаете" в нем подмножества до тех пор, пока самым общим правилом из очередного подмножества (подпод...подмножества) не выделите конечный результат - (единичное) слово. Плюс к этому, наращивание исключений идет не произвольно (палочка к палочке как у Робинзона зарубки на дереве), а по определенному закону.
Иными словами ПСИ - это конструктивный аналог выражения концепции Кантора. Именно поэтому он уживается с наивной теорией множеств, и, кроме того, не воспринимает (отторгает) парадоксы
Или я не правильно понял?
2. О Геделе.
Если не возможно создать язык полный и непротиворечивый безотносительно к чему бы то ни было. Может есть резон создавать изначально два языка, которые изначально были бы таковыми друг относительно друга (наподобие спинора, бита, пятака с орлом и решкой).
Ведь мы можем упорядочить натуральные числа относительно натуральных;
пару целых чисел относительно целых;
дробные положительные числа меньше единицы относительно натуральных;
да и вообще человек по своей природе, мне кажется, только и умеет, что сравнивать одно относительно другого.
Констрктивно бы было идти к основаниям математики от способа человека мыслить - только сравнивая одно с другим или относительно другого.
Почему этим не пользоваться в основаниях математики?
Я писал ранее: если не может человек летать непосредственно ("безотносительно"), стоит подумать об опосредованном (относительно чего-то вспомогательного) способе.

С уважением,
tatle11be.

[vek88]

tatle11be в сообщении #407965 писал(а):

1. Как я понял, продуктивные системы с исключениями(ПСИ), точнее К-системы - это формализованные системы, о принципе построения которых можно сказать, что они подобны принципам построения теории множеств Кантора.

Уважаемый tatle11be!

Продукционные системы с исключениями возникли по аналогии с существовавшими ранее продукционными системами. Принципиально новым было понятие исключения из правила. При этом возникла проблема формализации семантики в таких системах. Эта проблема оказалась того же плана, что и в модном тогда языке программирования ПРОЛОГ.

Так что в процессе построения теории К-систем никакой связи с теорией множеств ИМХО не просматривалось. Эта теория шла "от практики" программирования специфических задач, в частности, задач обработки естественного языка.

А уж потом возник интерес рассмотреть свойства К-систем в сравнении с финитными формальными системами типа канонических исчислений Поста.

tatle11be в сообщении #407965 писал(а):

2. О Геделе.
Если не возможно создать язык полный и непротиворечивый безотносительно к чему бы то ни было. Может есть резон создавать изначально два языка, которые изначально были бы таковыми друг относительно друга (наподобие спинора, бита, пятака с орлом и решкой).

К-системы более выразительны в том смысле, что всякое рекурсивно перечислимое (РП) множество является К-множеством, но не всякое К-множество является РП множеством.

Но при всем при этом теория К-систем ничего принципиально нового в смысл теоремы Геделя не вносит. Да, в К-системе имеет место полнота арифметики. Но вместо арифметики мы можем указать другие объекты, для которых в К-системе снова имеет место теорема Геделя.

Таким образом, необходимо понимать, что в общем случае можно вместо арифметических множеств рассматривать другие объекты из (например, аналитической) иерархии множеств. См. в этой связи post402651.html#p402651

По этой причине я не вижу возможности "обойти Геделя" в принципиальном плане.

С уважением,
vek88

[age]

(Оффтоп)

похоже без андрагогики здесь не обойтись

[mserg]

vek88,
судя по Вашему ответу, первое сообщение в теме писано кем-то еще. Но, не суть.

Цитата:

1. ИМХО основания математики никак не коррелируют с самыми абстрактными (общими) способами решения задач.

Каким образом Вы пришли к такому заключению? Зачем тогда, по Вашему мнению, вообще создавались основания математики?

[vek88]

mserg в сообщении #408225 писал(а):

Цитата:

1. ИМХО основания математики никак не коррелируют с самыми абстрактными (общими) способами решения задач.

Каким образом Вы пришли к такому заключению? Зачем тогда, по Вашему мнению, вообще создавались основания математики?

Относительно целей создания "оснований математики" см., например, в Википедии

Цитата:

Метаматематика — метатеория математики, предметом исследования которой являются логические основания математики.

Термин "метаматематика" буквально означает "за пределами математики".

Предметом метаматематики являются логические основания математики, а методом является математическая логика.

mserg в сообщении #408225 писал(а):

vek88,
судя по Вашему ответу, первое сообщение в теме писано кем-то еще. Но, не суть.

А то, что началась тема с предложения поговорить о парадоксах, вовсе не означает, что парадоксы - это причина возникновения оснований математики. Парадоксы - в лучшем случае, один из поводов для возникновения оснований, но не причина.

А если просто, то парадоксы - это "заблуждения" человеков-математиков. И создавать основания математики для рассмотрения заблуждений ИМХО было бы не очень разумно. И тема была начата именно для рассмотрения заблуждений. Это уж потом, где-то в середине темы, мы перешли к рассмотрению оснований математики.

[mserg]

Да бог с ними, с парадоксами, – для «народного хозяйства» это не проблема.

И все же, почему Вы считаете, что «основания математики никак не коррелируют с самыми абстрактными (общими) способами решения задач.»?

Для меня это непонятно. На инженерном уровне идея представляется так: есть формальная основа (основания математики), а почти все остальное выводимо с помощью формальных правил. Только нужно бы в правильном порядке применить аксиомы и теоремы. Неявно можно полагать, что для решения какой-либо задачи используется поиск в ширину. Неявно получаем «общий способ» (уже формализованный!) решения почти любых математических задач. Или я что-то не понимаю?

[vek88]

mserg в сообщении #408365 писал(а):

И все же, почему Вы считаете, что «основания математики никак не коррелируют с самыми абстрактными (общими) способами решения задач.»?

Для меня это непонятно. На инженерном уровне идея представляется так: есть формальная основа (основания математики), а почти все остальное выводимо с помощью формальных правил. Только нужно бы в правильном порядке применить аксиомы и теоремы. Неявно можно полагать, что для решения какой-либо задачи используется поиск в ширину. Неявно получаем «общий способ» (уже формализованный!) решения почти любых математических задач. Или я что-то не понимаю?

Теперь уже можно уточнять наше взаимопонимание. Итак, для примера берем книгу Смальян Р. Теория формальных систем (легко найти в Яндексе). Смотрим на суперобложку - там написано название серии Математическая логика и основания математики. Задаемся вопросом - а как это связано с законами мышления и решением задач?

Ясно, что математическая логика - это и законы мышления в наиболее общей формальной форме, и методы решения задач (то бишь методы доказательства теорем и формального вывода/поиска решения задач).

А вот основания математики ИМХО - это нечто другое - это применение математической логики для обоснования самой математики.

Если Вы, говоря об основаниях математики, имели в виду именно математическую логику, то у нас с Вами нет разногласий. В частности уже упоминавшийся язык программирования ПРОЛОГ возник в попытках автоматизации поиска решения задач, а в формальном плане основан на понятии формальной системы. К-система - того же поля ягода.

Итак, если мы применяем математическую логику для построения решателя задач, то ИМХО мы занимаемся искусственным интеллектом.

А если мы применяем математическую логику для обоснования математики, то мы ИМХО занимемся основаниями математики.

mserg, так лучше?

[epros]

vek88 в сообщении #408386 писал(а):

А вот основания математики ИМХО - это нечто другое - это применение математической логики для обоснования самой математики

Это всё равно что себя за волосы из болота вытаскивать, как барон Мюнхгаузен. Матлогика - сама лежит в основаниях математики, причём довольно глубоко, так что при таком подходе ей придётся обосновывать саму себя, что есть абсурд. По моим понятиям основания математики обосновываются не матлогикой, а ... гхм ... практикой и здравым смыслом. Т.е., по большому счёту, формально они никак не обосновываются, а просто "закладываются".

[mserg]

vek88,
Только я так и не понял, где та самая формальная система, из которой по формальным правилам можно вывести почти все остальное... Если эта система есть, то как, для примера, вводятся функция sin, понятие интеграла, случайная величиная, комплексная переменная? У меня не получается из формальной системы, которую предложил Гилберт и Ко, сделать такой формальный вывод...

[vek88]

epros в сообщении #408503 писал(а):

vek88 в сообщении #408386 писал(а):

А вот основания математики ИМХО - это нечто другое - это применение математической логики для обоснования самой математики

Это всё равно что себя за волосы из болота вытаскивать, как барон Мюнхгаузен. Матлогика - сама лежит в основаниях математики, причём довольно глубоко, так что при таком подходе ей придётся обосновывать саму себя, что есть абсурд. По моим понятиям основания математики обосновываются не матлогикой, а ... гхм ... практикой и здравым смыслом. Т.е., по большому счёту, формально они никак не обосновываются, а просто "закладываются".

Свое мнение я уже высказал. А с Вами даже не стану спорить. По простой причине. Терминологические споры - это неблагодарное занятие, ИМХО абсолютно лишенное смысла.

mserg в сообщении #408505 писал(а):

vek88,
Только я так и не понял, где та самая формальная система, из которой по формальным правилам можно вывести почти все остальное... Если эта система есть, то как, для примера, вводятся функция sin, понятие интеграла, случайная величиная, комплексная переменная? У меня не получается из формальной системы, которую предложил Гилберт и Ко, сделать такой формальный вывод...

У меня тоже. Не то, что синус, дык я даже обычных свойств действительных чисел не могу вывести из "формальной системы, которую предложил Гилберт и Ко".

Может быть, уважаемый epros сможет это сделать?

[tatle11be]

[quote="vek88 в сообщении #408386"]
математическая логика - это и законы мышления в наиболее общей формальной форме, и методы решения задач (то бишь методы доказательства теорем и формального вывода/поиска решения задач).

quote]
По-моему, Вы сформулировали здесь одну из гипотез Оснований математики.
И выбрали ее, основываясь на общефилософских и гносеологических соображениях.
Если под "практикой и здравым смыслом" понимать оные, то epros прав.
А дальше, используя мат. логику Вы развиваете формальные системы и методы решения задач и т.д. и т.п.
С тем же успехом, наверное, можно положить и другую (другие)гипотезу (-ы),
если их найти. Но пока альтернативы, по-видимому, нет. Но , в любом случае, это вопрос принипиальный - касается понимания иерархии между Мат.лог-й и Основ. мат-ки , а не терминологии
Или я не прав?

Уважаемый age!

(Оффтоп)

Вы уж, извините, что я, от сохи, опять встрял и пользуюсь не высокого штиля, а своей сермяжной терминологией в обсуждении проблем царицы наук. Но, право, не от хорошей жизни. Поверьте. Физике, чтоб решить проблему с объединением, "позарез" нужна соответствующая математика. Такая, которая будет опираться на абстр-матем. язык с определенными свойствами: непротиворечивый, "локально"-полный и "гуттаперчиво"расширяемый до следующих уровней "локальной" полноты. Простите, но не встречал терминологию, чтобы описать подобное требование к его свойству.
Разве что в теории чисел можно найти аналогию: множество целых положительных чисел меньше 100 полно в том смысле, что состоит из всех возможных чисел, содержащих не более двух цифр, аналогично для множества чисел <1000(содержит все трех и меньше значные числа ) и т.д. Понятно, что множество чисел меньше 99 не содержит всех одно- и двухзначных чисел(целых, положительных) - в этом смысле оно не полно. Получаем набор множеств, упорядоченных, последовательно и не противоречиво расширяющихся до следующего "локального уровня" полноты. Если хотите - "квантованный" и упорядоченный набор полных множеств. При всем при этом надо "сшить" дискретную и "непрерывную" математики. Буду рад, если посоветуете почитать что-нибудь конкретное.