Магические кубы

[Nataly-Mak]

whitefox
осталось мне как следует продумать ваше доказательство, которое идентично доказательству Лина, которое мне тоже не мешало бы продумать

[Nataly-Mak]

Информация

Наконец-то в OEIS появилась последовательность магических констант магических кубов 3-го порядка из простых чисел
A239671.

Готовлю новую последовательность - магических констант ассоциативных кубов 4-го порядка из простых чисел.
Наименьший ассоциативный куб 4-го порядка из простых чисел с магической константой $S=1260$ я уже выкладывала.
Это первый член последовательности $a(1)=1260$.
Следующий в последовательности куб:

173  409  509  229 
 479  41  523  277 
 571  239  7  503 
 97  631  281  311 

 197  419  643  61 
 617  13  83  607 
 313  367  47  593 
 193  521  547  59 

 601  113  139  467 
 67  613  293  347 
 53  577  647  43 
 599  17  241  463 

 349  379  29  563 
 157  653  421  89 
 383  137  619  181 
 431  151  251  487 

K=660, S=1320

$a(2)=1320$.
На данный момент нашла 7 членов последовательности.

[Nataly-Mak]

Информация (битая ссылка)

Я тут давала ссылку на страницу "Prime Number Magic Cubes" на сайте Harvey Heinz (Канада).
В процессе подготовки описания конкурса "Магические кубы из простых чисел" обнаружила, что страница по этой ссылке не открывается.
Очень огорчилась: такая важная страница!
Подумала, что сайт Harvey Heinz удалён или закрыт.
Написала C. Boyer.
Он ответил, что сайт Harvey Heinz в порядке, просто у меня устаревшая ссылка. Прислал новую ссылку:
http://www.magic-squares.net/c-t-htm/c_prime.htm

По этой ссылке страница открывается.

Сайт у Harvey Heinz огромный и очень насыщенный. Я только недавно узнала от C. Boyer, что Harvey Heinz умер в прошлом году. А я ему два письма написала; не знала, что его уже нет в живых. Потом спросила C. Boyer, и он мне ответил.
Чтобы посмотреть биографию Harvey Heinz, зайдите на страницу
http://www.multimagie.com/
и кликните в левом верхнем углу --- Site's news, August.

[Nataly-Mak]

Информация

Уважаемые форумчане и гости форума!

Стартовал конкурс программистов "Магические кубы из простых чисел"
topic83021.html

Прошу всех принять участие в конкурсе.

Магический куб 5-го порядка из различных простых чисел должен быть найден
Ну, о кубе 7-го порядка с такой уверенностью не говорю

[Nataly-Mak]

Кстати, вот такое было мнение о кубах 5-го порядка из простых чисел

tatkuz1990 в сообщении #827422 писал(а):

Никак не поверю, что магический куб порядка всего 5 не может быть построен из простых чисел. Видимо, слабо копали.

[Nataly-Mak]

Информация

Пытаюсь внести своё оригинальное решение в The Magic Encyclopedia

Адрес автора этой Энциклопедии мне прислал Christian Boyer (я его спросила, не знает ли он, как можно добавить свой результат в Энциклопедию).
Автором оказался Aale de Winkel (Нидерланды). Если кому вдруг понадобится, адрес могу прислать (может, его и на сайте просто найти, кто знает английский).

Ну, отправила ему письмо со своим кубиком (наименьший ассоциативный куб 4-го порядка из простых чисел). Вот фрагмент его ответа:

Цитата:

Probably I’ll paste your cube into an order 4 cube sheet shortly though for a test, but trust it’ll be ok.

Насколько поняла, он собирается мой куб протестировать (проверить)
а потом, возможно, добавить в Энциклопедию.

[Nataly-Mak]

Итак, пока решений конкурсной задачи мне никто не прислал и проверять нечего, надо поработать

Общая формула ассоциативного магического куба 4-го порядка мной получена и по этой формуле найдено наименьшее решение из различных простых чисел с магической константой $S=1260$.

Теперь меня интересует вопрос построения не ассоциативного куба 4-го порядка. Известное решение этой задачи в Интернете имеет магическоую константу $S=4020$. Минимальное ли это решение? Мне думается, что нет, но могу ошибаться.

Один из методов решения этой задачи - тоже общая формула, как и для ассоциативного куба. Правда, в этом случае переменных будет больше и это усложняет решение задачи.
Но можно попробовать.

Составляем схему магического куба 4-го порядка:

x1 x2 x3 y1
x4 x5 x6 y2
x7 x8 x9 y3
y4 y5 y6 y7

x10 x11 x12 y8
x13 x14 x15 y9
x16 x17 x18 y10
y11 y12 y13 y14

x19 x20 x21 y15
x22 x23 x24 y16
x25 x26 x27 y17
y18 y19 y20 y21

x28 x29 x30 y22
x31 x32 x33 y23
x34 x35 x36 y24
y25 y26 y27 y28

Здесь переменные $x_i$ ($i=1,2,3,...,36$) я называю переменными второго уровня, а переменные $y_i$ ($i=1,2,3,...,28$) - переменными первого уровня, эти переменные зависимые (все переменные первого уровня определяются переменными второго уровня).
Сколько будет свободных и зависимых переменных среди переменных второго уровня $x_i$, покажет решение системы уравнений, описывающих данный магический куб.
Одна свободная переменная известна заранее - это магическая константа куба $S$.
Теперь надо написать систему уравнений и решить её.
Таким образом, получим общую формулу простого магического куба 4-го порядка (магический куб называется простым, если он не обладает никакими дополнительными свойствами).

-- Пн апр 14, 2014 12:55:17 --

Заходим на страницу с магическими кубами из простых чисел:
http://www.magic-squares.net/c-t-htm/c_prime.htm

Вот что там написано об известном магическом кубе 4-го порядка из простых чисел:

Цитата:

Gakuho Abe Order-4 Prime Cube

Constructed by Gakuho Abe in 1977 [1], this magic cube is not associated.
It is simple magic with no extra features (except that it uses prime numbers). The magic constant, S = 4020. Prime numbers used range from 7 to 2003.

Ничего не сказано о минимальности решения. Может, минимальное, а может, и нет (?)

Куб с этой страницы можно взять для тестирования искомой общей формулы магического куба 4-го порядка, а потом и тестирования программы, реализующей эту формулу.

[Nataly-Mak]

Система уравнений написана, и любезно помогли её решить тут.

Итак, общая формула простого магического куба 4-го порядка получена:

x23 -> 2 s + x10 - x18 + x19 - x2 - x3 - x4 - x5 - x6 - x7 - x8 - x9,
x24 -> 2 s - x10 - x11 - x12 - x17 - x19 - x2 - x20 - x21 - x3 + x4 + x7,
x26 -> 2 s - x10 - x13 - x15 - x16 - x19 + x2 - x22 - x25 + x3 - x4 - x7,
x28 -> s - x1 - x10 - x19,
x29 -> s - x11 - x2 - x20,
x30 -> s - x12 - x21 - x3,
x31 -> s - x13 - x22 - x4,
x32 -> -s - x10 - x14 + x18 - x19 + x2 + x3 + x4 + x6 + x7 + x8 + x9,
x33 -> -s + x10 + x11 + x12 - x15 + x17 + x19 + x2 + x20 + x21 + x3 - x4 - x6 - x7, 
x34 -> s - x16 - x25 - x7,
x35 -> -s + x10 + x13 + x15 + x16 - x17 + x19 - x2 + x22 + x25 - x3 + x4 + x7 - x8, 
x36 -> s - x18 - x27 - x9

Всего имеем 65 переменных: 64 элемента куба плюс магическая константа.
Из них свободные переменных: 24 элемента куба плюс магическая константа. Остальные переменные зависимые (12 зависимых переменных второго уровня и 28 зависимых переменных первого уровня).

Формулу проверила на двух известных магических кубах 4-го порядка, всё получилось.
Теперь надо программно реализовать формулу.

Напомню: стоит задача - доказать минимальность известного (интернетовского) магического куба 4-го порядка из простых чисел с магической константой $S=4020$.

Почему у меня есть сомнения в минимальности этого решения? Потому что мне удалось построить ассоциативный куб 4-го порядка из (различных) простых чисел с магической константой $S=1260$.

Если предположить, что магический куб составлен из первых 64 простых чисел (начиная с простого числа 3), то его магическая константа была бы равна 575,25.
Отсюда делаем вывод: минимально возможная магическая константа магического куба 4-го порядка из различных простых чисел равна 576. Магическая константа наименьшего ассоциативного куба - 1260 - не очень далеко от минимально возможного значения магической константы. А вот магическая константа 4020 подальше будет.
Но мои сомнения требуют строгого доказательства.

-- Вт апр 15, 2014 05:21:59 --

Ещё раз об известном магическом кубе 4-го порядка (автор Gakuho Abe, куб построен в 1977 г.):



Удивительное в том, что этот куб составлен из 32 комплементарных пар простых чисел (из комплементарных пар чисел составляются ассоциативные кубы)! Только они расположены не так, как должно быть в ассоциативном кубе по определению.

Смотрите:

7+2003=2010
1753+257=2010
1999+11=2010
733+1277=2010

и т.д. в каждом столбце всех слоёв куба.

Хитро построен куб :) Но вот является ли он минимальным в данном классе магических кубов

Как уже сказано, я построила ассоциативный куб с такой же магической константой. Он у меня получился составленным из других комплементарных пар простых чисел.
Попробовала ввести в программу точно такой массив, как в кубе Gakuho Abe, программа не нашла решение (ассоциативный куб) из чисел этого массива.

[Nataly-Mak]

Программу по найденной общей формуле написала; использовала ещё шаблон из вычетов по модулю 3.

Nataly-Mak в сообщении #850012 писал(а):

Одна из самых сильных эвристик - построение магических квадратов и кубов по шаблону.
При построении магических квадратов этот алгоритм был опробован много раз, начиная с maxal и заканчивая Jarek (включая и вашу покорную слугу).

Рекомендую попробовать этот алгоритм всем, кто будет решать конкурсную задачу.

Сама хочу попробовать это на примере магического куба 4-го порядка.
Один из возможных шаблонов из вычетов по модулю 3 для такого куба:

1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 1 1
2 2 1 1

1 1 2 2
2 1 2 1
1 2 1 2
2 2 1 1

2 2 1 1
1 2 1 2
2 1 2 1
1 1 2 2

2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2

Нашла по программе решение - магический куб 4-го порядка (не ассоциативный) из различных прстых чисел с магической константой $S=4020$ - не эквивалентное известному решению. Ну, таких решение вагон и маленькая тележка
Выкладывать решение пока не буду, хотя оно считается известным решением (для конкурса).
Теперь буду пытаться найти решение с меньшей магической константой.
Поскольку найденный мной ассоциативный куб 4-го порядка из различных простых чисел с магической константой $S=1260$ - это ведь тоже магический куб, просто обладающий дополнительно свойством ассоциативности, то меньшее решение для не ассоциативного магического куба надо искать для магических констант в интервале [576, 1260).

[Nataly-Mak]

Итак, для $n=4$ конкурсную задачу решить не так и трудно, по крайней мере не оптимальным образом.
Для остальных порядков сложнее. Для порядков 5 и 7 неизвестно ни одного магического куба из простых чисел.
Интересно - почему
Для порядков 6 и 8 решения ведь найдены.

Ну, что у нас имеется для порядка $n=5$ ?
Есть различные классические кубы. Самый лучший из них (совершенный куб) был построен только в 2003 г. (Walter Trump and Christian Boyer, 2003-11-13). Много лет считалось, что совершенного классического куба 5-го порядка не существует. И вдруг... его нашли
http://www.trump.de/magic-squares/magic ... bes-1.html

На основе этого куба я построила классический совершенный куб 25-го порядка методом составных кубов; отправила этот куб Christian Boyer, он ему понравился

Ещё классические магические кубы 5-го порядка смотрите тут.

С классическими кубами всё ясно. Но нам нужен нетрадиционный магический куб да ещё из различных простых чисел
Из произвольных (различных) натуральных чисел построить магический куб 5-порядка просто, я его построила.
Да, на мой взгляд, построить намного проще ассоциативный куб 5-го порядка. Я такие и строила, и формула общая у меня получена для ассоциативного куба.

Шаблон для магического куба 5-го порядка тоже можно составить.
Кстати, я пока в своих экспериментах для кубов 5-го порядка шаблонами не пользовалась, надо будет попробовать.

Если бы были известны 25 арифметических прогрессий (из простых чисел) длины 5 с одинаковой разностью, первые члены которых тоже составляют арифметическую прогрессию, то построить магический куб 5-го порядка не составило бы никакого труда.

-- Ср апр 16, 2014 11:16:44 --

Сейчас попробовала составить шаблоны (из вычетов по модулю 3) для магических кубов 5-го порядка.
Сначала по двум своим ассоциативным кубам из различных натуральных чисел.
Очень интересно: для одного куба шаблон состоит из одних единиц, а для второго - из одних двоек.

Тогда составила шаблон для совершенного классического куба, о котором рассказано выше:

 1  1  2  2  0 
 1  2  1  1  1 
 0  0  1  2  0 
 0  0  0  0  0 
 1  0  2  1  2
  
 1  2  2  0  1 
 1  1  0  0  1 
 0  1  0  0  2 
 2  0  2  2  0 
 2  2  2  1  2 
 
 2  1  0  1  2 
 2  1  2  0  1 
 2  2  0  1  1 
 2  0  1  2  1 
 1  2  0  2  1
  
 1  2  1  1  1 
 0  1  1  0  1 
 1  0  0  2  0 
 2  0  0  2  2 
 2  0  1  1  2
  
 1  0  1  2  2 
 2  1  2  2  2 
 0  0  2  1  0 
 0  0  0  0  0 
 0  2  1  1  2 

Этот шаблон не годится для построения куба из простых чисел.
Так что, шаблона у меня пока нет для куба 5-го порядка, чтобы составлять по шаблону куб из простых чисел.

[Nataly-Mak]

Ввела в свою программу (для магического куба 4-го порядка) массив из 64 простых чисел из интернетовского куба ($S=4020$).

Вот это решение с очень красиво расположенными "дырками" программа нашла за пару минут:

7  823  1283  1907 
 1783  0  461  0 
 251  947  829  1993 
 1979  0  1447  0 

 13  1129  977  1901 
 257  0  1013  0 
 1777  941  991  311 
 1973  0  1039  0 

 1997  881  1033  109 
 1753  0  997  0 
 233  1069  1019  1699 
 37  0  971  0 

 2003  1187  727  103 
 227  0  1549  0 
 1759  1063  1181  17 
 31  0  563  0 

Когда убираю этот промежуточный выход и предлагаю программе отработать до конца, она "задумывается"
Даже для такого маленького массива (всего 64 числа) полный перебор очень тяжёл (это притом, что я использую шаблон).

[Nataly-Mak]

Начала поиск не ассоциативного куба 4-го порядка из простых чисел по своей программе.

Сначала решила найти куб с магической константой $S=1260$ (такую константу имеет наименьший ассоциативнй куб 4-го порядка из простых чисел).
Это решение программа нашла за 3 минуты.
Итак, теперь надо искать не ассоциативный куб с магической константой $S<1260$.

Для сравнения - магические квадраты 4-го порядка

а) наименьший магический квадрат из простых чисел имеет магическую константу $S=120$
(см. A164843)
б) наименьший ассоциативный квадрат из простых чисел имеет магическую константу $S=240$
(см. A179440; в этой последовательности приведены минимальные магические константы пандиагональных квадратов, но для квадратов порядка 4 существует взаимно-однозначное соответствие между ассоциативными и пандиагональными квадратами).

[Nataly-Mak]

Есть магический куб 4-го порядка из простых чисел с магической константой $S=1200$

Да, используемый мной шаблон позволяет находить решения только с магической константой кратной 3.

Кто меньше? Теперь уже надо искать решения с константой $S<1200$.

Похоже, я одна буду в конкурсе участвовать
Сама организовала, сама и поучаствую.
Впрочем, поучаствовать не возбраняется, только приз, конечно, мне не присуждается (если вдруг я займу первое место).

Найдено решение с магической константой $S=1020$

[Nataly-Mak]

Ещё есть решение $S=990$

Интервал для потенциальных магических констант уменьшился до такого (576, 990).
Прикинула: константа 576 вроде невозможна. Ну и понятно, что константы могут быть только чётными.

[Nataly-Mak]

Решение $S=930$ программа искала долго (часа 2 или 3), но нашла!
Чем меньше магическая константа, тем труднее поиск.
Такая вот закономерность - очень неудобная для поиска.