Магические кубы

[Nataly-Mak]

Попыталась начать построение совершенного куба 5-го порядка из различных простых чисел по предложенному выше алгоритму.
Всё очень сложно, по крайней мере для меня.
Вот это получилось мгновенно, а дальше уже застряла.

 11519  8719  8737  10949  14591 
 8731  10837  10663  0  0 
 0  0  0  0  0 
 0  8753  0  0  0 
 0  0  0  0  0 
 
 8761  9067  10891  11059  14737 
 10831  8747  12203  7883  14851 
 0  0  12527  10979  0 
 0  10867  0  9767  0 
 8501  0  0  14827  14713 
 
 0  0  0  0  0 
 14843  10729  0  0  0 
 0  0  10903  13469  0 
 0  9337  0  14869  0 
 0  0  0  0  0 
 
 0  0  0  0  0 
 8741  14879  0  0  0 
 0  0  0  0  0 
 0  14867  0  0  0 
 0  0  0  0  0 
 
 0  0  0  0  0 
 11369  9323  0  10687  0 
 0  0  0  0  0 
 0  10691  0  0  0 
 0  0  0  0  0 

$S=54515$

Если бы надо было построить из произвольных натуральных чисел, то никаких проблем. А из простых чисел построить сложно. Да и алгоритм совсем не простенький. И похоже, не самый эффективный. Но лучше пока ничего не придумывается.
Всё-таки склоняюсь к мысли, что надо сгенерировать случайным образом хотя бы один слой куба. И лучше всего для этого подходит второй слой (считая сверху).
Попробую реализовать эту идею.

[Nataly-Mak]

Нет, пока не сдаюсь
Удалось всё-таки сверстать полностью второй слой искомого совершенного куба 5-го порядка из различных простых чисел!

11519 0 0 10949 0 
9587 10837 10663 0 0 
0 0 0 0 0 
0 9613 0 0 0 
0 0 0 0 0 

9619 9629 10891 9677 14699 
10831 9929 12653 9631 11471 
10487 19219 10457 10979 3373 
14717 10867 3391 12539 13001 
8861 4871 17123 11689 11971 

0 0 0 0 0 
14657 10729 0 0 0 
0 0 10903 12289 0 
0 10007 0 7129 0 
0 0 0 0 0
 
0 0 0 0 0 
9601 13397 0 0 0 
0 0 0 0 0 
0 13337 0 0 0 
0 0 0 0 0 

0 0 0 0 0 
9839 9623 0 10687 0 
0 0 0 0 0 
0 10691 0 0 0 
0 0 0 0 0

$S=54515$

Конечно, можно было просто построить магический квадрат 5-го порядка с магической константой 54515, и взять этот магический квадрат в качестве второго слоя куба. Но! Дело в том, что все слои куба связаны между собой. А вот сейчас у меня второй слой получился по формуле, следовательно все связи между элементами, которые уже есть в других слоях куба, соблюдены. Теперь можно продолжать дальше.

Разумеется, рано радоваться, до конца ещё ох как далеко. И перебор выполняется с большим скрипом. Но что-то же надо делать. Сам собой куб не построится.

[Nataly-Mak]

Сначала покажу два магических куба 5-го порядка из различных простых чисел, которые были построены мной в рамках конкурса о магических кубах из простых чисел. До конкурса я не нашла в интернете ни одного магического куба 5-го порядка из различных простых чисел. Теперь их известно несколько, и у dmd есть такие кубы.

Это ассоциативный магический куб:

14347 21163 9349 4099 5557 
3793 9883 20899 9463 10477 
6379 15739 12919 10369 9109 
13627 3673 3019 21397 12799 
16369 4057 8329 9187 16573 

5113 11149 9397 19087 9769 
17443 4603 283 18307 13879 
16183 3847 17359 1483 15643 
14563 13933 9043 2539 14437 
1213 20983 18433 13099 787 

8803 877 18919 12757 13159 
16903 20353 1783 739 14737 
13093 3169 10903 18637 8713 
7069 21067 20023 1453 4903 
8647 9049 2887 20929 13003 

21019 8707 3373 823 20593 
7369 19267 12763 7873 7243 
6163 20323 4447 17959 5623 
7927 3499 21523 17203 4363 
12037 2719 12409 10657 16693 

5233 12619 13477 17749 5437 
9007 409 18787 18133 8179 
12697 11437 8887 6067 15427 
11329 12343 907 11923 18013 
16249 17707 12457 643 7459

$K= 21806, S= 54515$

Концентрический (окаймлённый) куб:

14347 21163 9349 4099 5557
3793 9883 20899 9463 10477
6379 15739 12919 10369 9109
13627 3673 3019 21397 12799
16369 4057 8329 9187 16573
 
4639 7 6607 21523 21739
7723 9769 21613 1327 14083
21727 20107 229 12373 79
20359 2833 10867 19009 1447
67 21799 15199 283 17167
 
8803 523 18919 12757 13513
13177 20143 157 12409 8629
13093 3169 10903 18637 8713
11149 9397 21649 1663 10657
8293 21283 2887 9049 13003
 
21493 15073 6163 3517 8269
18493 2797 10939 18973 3313
619 9433 21577 1699 21187
373 20479 193 12037 21433
13537 6733 15643 18289 313
 
5233 17749 13477 12619 5437
11329 11923 907 12343 18013
12697 6067 8887 11437 15427
9007 18133 18787 409 8179
16249 643 12457 17707 7459

$S= 54515$

Замечу, что сначала был построен концентрический куб, а из него уже получен ассоциативный.
И ещё: концентрический куб 5-го порядка очень хорошо вписался в концентрический куб 7-го порядка.
Смотрите матрёшки

(Оффтоп)

Ну, а теперь показываю совершенный куб 5-го порядка с такой же магической константой и с таким же центральным элементом, но, увы, пока не из простых чисел. Ибо получить совершенный куб из простых чисел очень трудно.
Сделала я следующее: с показанного выше момента отпустила все зависимые элементы, то есть разрешила им принимать любые значения, проверяла только, чтобы не было одинаковых элементов.
И вот что у меня получилось:



В решении почти половина элементов не являются простыми числами (59 из 125), есть даже два отрицательных элемента. Но куб совершенный! И получен он по программе, реализующей общую формулу в целых числах.

На иллюстрации в жёлтых ячейках находятся элементы, которые зафиксированы (это все свободные элементы, просто им присвоены конкретные значения, которые я взяла из приведённого выше образца). Этих элементов 13 штук. В зелёных ячейках находятся остальные 23 свободных элемента, эти элементы перебираются в программе. Всего свободных элементов 36 плюс параметр $Z(37)$
(в приведённом примере $Z(37)=-75467$).
А все остальные элементы зависимые, то есть они вычисляются по общей формуле. Но вот попадание этих элементов в массив простых чисел ужасно плохое! Поэтому и пришлось многие элементы отпустить, чтобы до конца проверить работу предложенного алгоритма. Худо-бедно алгоритм работает. Однако вряд ли возможно по данному алгоритму получить решение в простых числах, ну разве что на кластере.
Поэтому нужно думать дальше над совершенствованием алгоритма.

Очень даже возможно существование совершенного куба 5-го порядка из различных простых чисел с магической константой 54515 и соответственно с центральным элементом 10903.
Это была бы великолепная троица магических кубов: ассоциативный, концентрический и совершенный!

[Nataly-Mak]

dmd в сообщении #856598 писал(а):

Метод поиска у меня пока такой. Беру насквозь дырявый куб, состоящий целиком из дырок.

(Например)

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111
1111 1111 1111 1111

и в цикле складываю его со всеми возможными вариантами базисных нулевых кубиков, содержащих четыре 1 и четыре -1.

(Например)

1 0 -1 0
0 0 0 0
-1 0 1 0
0 0 0 0

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

-1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 -1 0
0 0 0 0

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

пытаясь уменьшить количество дырок.

dmd
не могли бы вы попробовать ваш метод, чтобы из полученного мной дырявого совершенного куба 5-го порядка получить нормальное решение, полностью состоящее из простых чисел?

Давно думаю над этим методом. Только тут нужны такие кубики с нулевой магической константой, которые при добавлении к исходному кубу не нарушат его совершенность. Иными словами, эти "нулевые кубики" должны быть тоже совершенными. Правильно?
Много надо найти таких совершенных "нулевых кубиков" и попробовать прибавлять их к полученному мной полуфабрикату.
Пожалуйста, попробуйте!
Здесь магическая константа большая, массив простых чисел, задействованных для построения, огромный; вероятность "убить" все дырки приличная.

Просьба адресуется не только dmd.
С программой борьбы с дырками немного знаком whitefox.
Думаю, что задача заинтересует и других коллег: maxal, Pavlovsky, svb, 12d3, Progger.

[Nataly-Mak]

Весьма интересный нулевой совершенный куб (то есть с магической константой равной нулю) я сочинила.
Положила в общей формуле все свободные элементыми равными нулю, а параметр $Z(37)=1$.



Берём теперь образец совершенного куба, показанный выше, и прибавляем к нему этот совершенный нулевой кубик. В результате мы должны получить новый совершенный куб, в котором возможно уменьшение количества дырок.
Напомню, что образец я строила так, что все свободные элементы простые числа. Это очень хорошо, так как нулевой кубик не изменяет свободные элементы, они так и будут оставаться простыми числами.

К тому же, можно все элементы нулевого куба умножить на некоторое целое число k, и это даст множество новых нулевых кубов.
А ещё можно взять другое значение для параметра $Z(37)$, и это даст другой нулевой куб.

Замечу, что полученное по программе решение не очень годится для преобразований: сильно будут мешать отрицательные элементы. А может и не будут мешать, пока толком не сообразила. В этом решении, кстати, тоже все свободные элементы являются простыми числами.
Ну, от отрицательных элементов легко избавиться, увеличив все элементы куба на одно и то же число. Однако тогда, во-первых, изменится магическая константа куба (а этого не хотелось бы, хочется найти соверешнный куб с магической константой 54515), а во-вторых, уже не все свободные элементы будут простыми числами.

-- Сб апр 11, 2015 16:39:26 --

Вот образец совершенного куба, о котором говорится выше:

Nataly-Mak в сообщении #1000795 писал(а):

11519* 10651* 10909* 10949* 10487 
10957* 10837* 10663* 11563 10495 
10883* 12035 10251 9399 11947 
9731 10789* 11495 11411 11089 
11425 10203 11197 11193 10497 

10937* 10711* 10891* 10847* 11129 
10831* 10889* 10939* 10861* 10995 
10799* 10411 10859* 10979* 11467 
11149 10867* 11699 10853* 9947 
10799 11637 10127 10975 10977 

10781* 10753* 10739* 10733* 11509 
11217 10729* 11213 10975 10381 
10115 11225 10903* 10709* 11563 
11997 10723* 10721 11057 10017 
10405 11085 10939 11041 11045 

10305 11469 11587 10655 10499 
10853* 11289 10327 10429 11617 
11059 9027 11075 13067 10287 
11231 11445 10519 10527 10793 
11067 11285 11007 9837 11319 

10973* 10931 10389 11331 10891 
10657* 10771* 11373 10687* 11027 
11659 11817 11427 10361 9251 
10407 10691* 10081 10667* 12669 
10819 10305 11245 11469 10677

$S=54515$

Звёздочкой помечены свободные элементы.

Тут у меня прокол есть: два свободных элементы задала одинаковыми, но это легко исправить и получить новый образец.
И ещё одна неточность: элемент $X(1)$ свободным не является.

Попробую сейчас этот соверешнный куб сложить с нулевым кубом, показанным выше. Что из этого получится?

[Nataly-Mak]

Преобразовала, совершенный куб получился, но вот с дырками всё очень плохо.
Было в исходном кубе 89 не простых и не уникальных элементов, в преобразованном их стало 99.
Ну, зато если теперь сделать обратное преобразование, то будет уменьшение на 10 штук

Преобразованный куб:

11537 10651 10909 10949 10469 
10957 10837 10663 11567 10491 
10883 12019 10234 9383 11996 
9682 10789 11572 11410 11062 
11456 10219 11137 11206 10497
 
10937 10711 10891 10847 11129 
10831 10889 10939 10861 10995 
10799 10407 10859 10979 11471 
11149 10867 11703 10853 9943 
10799 11641 10123 10975 10977
 
10781 10753 10739 10733 11509 
11217 10729 11217 10969 10383 
10084 11227 10903 10709 11592 
12022 10723 10719 11061 9990 
10411 11083 10937 11043 11041
 
10287 11487 11521 10670 10550 
10853 11289 10317 10431 11625 
11137 9025 11077 13071 10205 
11226 11445 10523 10524 10797 
11012 11269 11077 9819 11338 

10973 10913 10455 11316 10858 
10657 10771 11379 10687 11021 
11612 11837 11442 10373 9251 
10436 10691 9998 10667 12723 
10837 10303 11241 11472 10662

$S=54515$

Эксперимент не удался. Конечно, это надо делать не вручную и не разовым преобразованием.
Нужна программа. Сама идея хорошая и она очень может сработать.

[Nataly-Mak]

И она проснулась знаменитой...

В Англии 11 июня текущего года вышел 4 том серии книг по рекреационной математике.
Серию издаёт Charles Ashbacher.
В книгу включена моя работа "Концентрические магические кубы из простых чисел".

Русские матрёшки выступают в Англии

Дамы и господа (в России)!
Кто-нибудь может заказать книгу (её ведь можно заказать в интернете?) и прислать мне?
Все расходы я оплачу переводом. У меня нет денег в интернете.
Ну, хочется очень посмотреть книгу.
Пишите, пожалуйста, в личку.
Заранее спасибо.

P.S. Перевод работы на английский язык сделала сама. Разумеется, Чарли редактировал мой английский, а точнее - английский Гугле-переводчика
Работу можно прочитатать на моём сайте:
http://www.natalimak1.narod.ru/ConcentricMagicCubes.pdf

[Nataly-Mak]

Просьба о покупке книги отменяется.
Выпросила у Чарли pdf книги :)
Прислал сейчас.

Ну и теперь вижу внутренность книжки и все другие работы в ней.
Моя работа занимает стр. 14-81.

[DanilovV]

Поздравляю с публикацией!
Надеюсь она прибавит сил в новых поисках.

[Nataly-Mak]

DanilovV
Спасибо!

Кстати, загрузила книгу на свой сайт:
http://natalimak1.narod.ru/TRM4.pdf

В книге ведь не только моя работа, ещё несколько работ других авторов.

[Nataly-Mak]

Michael Hürter построил магический куб 70-го порядка из различных простых чисел!
http://primesmagicgames.altervista.org/ ... /#post-388

Мне прислал и сам куб, 3 Мб текстовый файл

[Nataly-Mak]

Если кому интересно посмотреть магические кубы порядков 30 и 70 из различных простых чисел, построенные Michael Hürter, можно посмотреть в этих файлах:

http://natalimak1.narod.ru/MK30cub.txt
http://natalimak1.narod.ru/magic70.rar