2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение28.10.2009, 17:38 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
victor_sorokin в сообщении #255758 писал(а):
На данный момент интересных мыслей, заслуживающих публикации, не имею.
А когда-нибудь были?

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение28.10.2009, 22:51 
Заблокирован


01/08/09

194
venco в сообщении #255994 писал(а):
victor_sorokin в сообщении #255758 писал(а):
На данный момент интересных мыслей, заслуживающих публикации, не имею.
А когда-нибудь были?

За других не решаю.
==================

Свято место оставалось вакантным недолго: сегодня родилось сказочное представление равенства Ферма, устраняющее сразу множество препятствий на пути анализа равенства.

Итак, пусть
1°) $A^3+B^3-C^3=0$, где простое $3>2$, $C>A>B>U$,
2°) $A+B-C=U  [=3^ku$ или, при другом подходе, $2^ku]$.

Сделаем в 1° подстановку:
3°) $A=a+U, B=b+U, C=c+U$:

4°) $(a+U)^3+(b+U)^3-(c+U)^3=$
$=(a^3+b^3-c^3)+3U(a^2+b^2-c^2)+3U^2(a+b-c)+U^3=$
$=3abc+3U(-2ab)+0+U^3=0$, где

5°) $a+b-c=0$ (!!!).

Теперь после раскрытия биномов Ньютона в 4° и группировки членов по степеням поразрядный цифровой анализ становится просто наглядным, особенно, если учесть, что предпоследний член в разложении равен нулю. Легко вычисляется и третий от конца член.
Однако из-за самообрезания – сведения общего случая к кубу – консервативной части читателей увидеть все возможности формулы 4° не дано…

Подробности вычисления будут представлены в следующий раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение29.10.2009, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
При подстановке $A=a+U, B=b+U, C=c+U$ в равенство $A+B-C=U$ у меня получилось $a+b-c=U$, а у Вас $a+b-c=0$, иначе говоря Ваша подстановка - это $A=a,\ B=b, C=c$, при которой из $4^\circ$ и в самом деле получается без всякого цифрового анализа, что одно из $A,\ B,\ C$ нулевое. Вот только откуда взялось $4^\circ$? Первое равенство в нём тривиально, а второе откуда?

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение29.10.2009, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
bot в сообщении #256160 писал(а):
у меня получилось $a+b-c=U$, а у Вас $a+b-c=0$

При всем почтении, автор здесь не проврался.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение29.10.2009, 13:38 


23/01/07
3497
Новосибирск
Т.к. $ c=2C-A-B= (C-A)+(C-B)=a+b$,
согласен с
$ a^2+b^2-c^2=(a^2+b^2)-(a+b)^2=-2ab$,
но возражу против первого члена 4° в отношении знака :) :
$ a^3+b^3-c^3=(a^3+b^3)-(a+b)^3=-3ab(a+b)=- 3abc$.



Немного далее преобразовав свое выражение, Вы прийдете к известному тождеству для ВТФ в третьей степени:

$ 3(A+B)(C-A)(C-B)=(A+B-C)^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение29.10.2009, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
shwedka в сообщении #256178 писал(а):
bot в сообщении #256160 писал(а):
у меня получилось $a+b-c=U$, а у Вас $a+b-c=0$

При всем почтении, автор здесь не проврался.

А и в самом деле - как это у меня получилось? Видно день сегодня не тот, на лекции на ровном месте не раз споткнулся.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение29.10.2009, 19:22 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
bot в сообщении #256375 писал(а):
Видно день сегодня не тот, на лекции на ровном месте спотыкался.

Если не ошибаюсь, раньше 29 октября был праздник ВЛКСМ.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение29.10.2009, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5931
Новосибирск
А ведь точно - 91 год исполнился бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение29.10.2009, 19:39 
Заблокирован


14/02/09

1545
город Курганинск
bot в сообщении #256381 писал(а):
А ведь точно - 91 год исполнился бы.

Значит есть повод винчика попить.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение29.10.2009, 19:46 
Основатель
Аватара пользователя


11/05/05
4312
Виктор Ширшов в сообщении #256394 писал(а):
Значит есть повод винчика попить.

 !  Есть повод закончить флуд

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение30.10.2009, 00:13 
Заблокирован


01/08/09

194
bot в сообщении #256375 писал(а):
А и в самом деле - как это у меня получилось?

Здесь я на Вашей стороне – ошибка свидетельствует о неформальном мышлении.
=============
Однако, прежде чем перейти к обещанным количественным расчетам, совершим еще один ЛОГИЧНЫЙ переход. А заодно вернемся и к старым значения букв $a, b, c, p, q, r$ – оказывается, они нужны. Идея оказывается намного могущественней, если равенстство Ферма рассмореть в базе $U$.

Итак, пусть
1°) $A^n+B^n-C^n=0$, где простое $n>2$, $C>A>B>U$, $A, B, C$ взаимнопростые,
$A^n+B^n=C^n=(A+B)R=c^nr^n$ либо $=(c^n/n)(r^nn)$,
2°) $A+B-C=U=n^kcu$, где $u$ не кратно $c$. Из этого, в частности, следует:
3°) $A+B-C=c^n-cr=n^kcu$ и $c^{n-1}-r=n^ku$, где $c$ и $r$, следовательно и $c^{n-1}$ и $n^ku$ [или $u$ – при $C$ кратном $n$] взаимнопростые.

Рассмотрим числа $A, B, C$ в равенстве 1° в базе $U$:
3°) $A=xU+d, B=yU+e, C=zU+f$, где $d, e, f$ последние цифры.

Если $d+e-f=0$, то мы переходим к завершающей стадии доказательства ВТФ.

А если $d+e-f=U$, то возьмем число $v$ из решения линейного диофантового уравнения
4°) $vc^{n-1}-wn^ku=1$ и умножим равенство 1° на $v^n$.

В результате чего в базе $n^ku$ число $c^{n-1}$ оканчивается на цифру $1$, а в базе $U$ число $A+B$ оканчивается на цифру $c<U$ и, следовательно, при новых значениях $d+e-f=0$.

И теперь, сменив (после п.4) базу $U$ на новую базу $U$ мы получаем желаемый результат: можно считать, что в базе $U$ (сохраним прежнее обозначение) число $A+B-C$ равно
5°) $d+e-f=0$.

А теперь после подстановки 3° в 1°, затем разложения биномов Ньютона и объединения подобных членов мы видим, что последний член разложения –
6°) $(xyzUUU)^n$ оказывается и положительным, и САМЫМ длинным по числу цифр, а величины предыдущих членов оказывается недостаточными для онуления этого (последнего) члена.

При этом обнаруживаются и другие нтересные вещи. Так, похоже, $y=1, x=z$.

Таким образом, проект доказательства заслуживает тщательного рассмотрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение30.10.2009, 10:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
victor_sorokin в сообщении #256505 писал(а):
где простое $n>2$

$n=3$

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение30.10.2009, 11:38 
Заблокирован


01/08/09

194
victor_sorokin в сообщении #256505 писал(а):
А теперь после подстановки 3° в 1°, затем разложения биномов Ньютона и объединения подобных членов мы видим, что последний член разложения –
6°) $(xyzUUU)^n$ оказывается и положительным, и САМЫМ длинным по числу цифр, а величины предыдущих членов оказывается недостаточными для онуления этого (последнего) члена.

При этом обнаруживаются и другие нтересные вещи. Так, похоже, $y=1, x=z$.

Поправка:
...последний член разложения –
6°) $(xU)^n+(yU)^n-(zU)^n=(x^n+y^n-z^n)U^n$...



shwedka в сообщении #256558 писал(а):
victor_sorokin в сообщении #256505 писал(а):
где простое $n>2$

$n=3$

Специально для тех, кто хочет считать только до трех.
=============
Завершая большой материал для публикации, я обнаружил, что небольшая модификация идеи приводит, при доказанности используемых инструментов, к краткому доказательству ВТФ.

***

Рассмотрим числа $A, B, C$ в равенстве
1°) $A^3+B^3-C^3=0$,
где простое $3>2$, в базе $U-1$.

Поскольку основание $U-1$ является, как легко видеть, взаимнопростым с числами $A, B, C, U$, то в базе $U-1$ существует такая цифра $g$, что умножение числа $U=A+B-C$ на $g$ – соответственно и равенства 1° на $g^3$ – превращает последнюю цифру числа
2°) $D=(a^3+b^3-c^3)g^3$, где $a, b, c$ – последние цифры чисел $A, B, C$ в базе $U-1$, в $1$.

После этого умножим число $D$ на такое число $G^3$, что окончание числа $DG^3$ на длине, превышающей длину значимой части числа $c^3$, станет равным $1$.

И теперь на этой длине мы получаем, по-видимому, противоречивое равенство:
3°) $a^3+b^3-c^3=1$ (при положительных и не равных $a, b, c$).

Работа продолжается.



victor_sorokin в сообщении #256569 писал(а):
Работа продолжается.
Есть небольшая путаница, но она будет устранена.



ВТФ. Текст, близкий к завершению

***

Рассмотрим наименьшее (по числу $C$) равенство
1°) $A^n+B^n-C^n=0$,
где простое $n>2$ и $C>A>B>U=A+B-C>U-1$, в базе $m=U-1$:
2°) $A=a+mP, B=b+mQ, C=c+mR$.

Запишем равенство 1° (после раскрытия биномов Ньютона) в виде
3°) $(a^n+b^n-c^n)+D=0$.

А теперь с помощью умножения равенства 1° на соответствующие числа $G^n=(1+gm^t)^n$ начнем последовательно онулять цифры в числе $D$ на длину, превышающую длину числа $m^n$.

И теперь на этой длине мы получаем новое равенство Ферма
4°) $a^n+b^n-c^n=1$ с МЕНЬШИМ числом $C$,
что противоречит условию.

Покажем, что процесс онуления возможен.

(Окончание следует)



Специально для «троечников»

***

ВТФ. Текст, близкий к завершению

Рассмотрим наименьшее (по числу $C$) равенство
1°) $A^3+B^3-C^3=0$,
где простое $3>2$ и $C>A>B>U=A+B-C>U-1$, в базе $m=U-1$:
2°) $A=a+mP, B=b+mQ, C=c+mR$.

Запишем равенство 1° в виде
3°) $(a^3+b^3-c^3)+D=0$.

А теперь с помощью умножения равенства 1° на соответствующие числа $G^3=(1+gm^t)^3$ начнем последовательно онулять цифры в числе $D$ на длину, превышающую длину числа $m^3$.

И теперь на этой длине мы получаем новое равенство Ферма
4°) $a^3+b^3-c^3=1$ с МЕНЬШИМ числом $C$,
что противоречит условию.

=============================

Покажем, что процесс онуления возможен.

Введем обозначения:
$d_i$$i$-я цифра от конца в числе $D$;
$d_1=d$ – последняя цифра числа $D$;
$d_{i]}$$i$-значное окончание числа $D$.
$d_{[i}$ – часть числа $D$, полученная отбрасыванием $i$-значного окончания.

Нам достаточно рассмотреть преобразование лишь второй цифры $D_2=f$ числа $D$, причем учитывая лишь двузначные окончания чисел в базе $m$.

Итак, в числе $d+mf$ с помощью умножения числа $U$ на $(1+gm)^3$ требуется преобразовать цифру $f$ в $0$.

По двузначным окончаниям равенство 1° выглядит так:
5°) $[(a+(mP)_2)^3+(b+(mQ)_2)^3-(c+(mR)_2)^3]_{2]}= $
$=[(a^3+b^3-c^3)+3m(a^{3-1}P+b^{3-1}Q-c^{3-1}R)]_{2]}=$.
$=/[(a^3+b^3-c^3)]_{2]}+[3m(a^{3-1}P+b^{3-1}Q-c^{3-1}R)]_{2]}/_{2]}=0$.

Отсюда видно, что нам нужно умножить число $U$ на такое число $(1+gm)^3$, чтобы ко второй цифре в 5°, в последней строке, прибавилась цифра
$/m-[n(a^{n-1}P+b^{n-1}Q-c^{n-1}R)]_{2]}/_1=x$.

Это произойдет в том случае, если ко второй цифре $U_2$ числа $U$ прибавится число $x$ – как-угодно разбросанное по вторым цифрам чисел $A, B, C$; позже, после возведения чисел в степень и раскрытия биномов, этот разброс и должен образовать цифру $x$_1.

Такая цифра $x_1$ существует на том основании, что вторые цифры в числах $(1+gm)^3$, как и в числах $1+3gm$, составляют полное множество цифр в базе $m$. И потому существует такая цифра $g$, что $(1+gm)^3_2=x$.

Здесь важно учитывать то, что числа $a^{3-1}, b^{3-1}, c^{3-1}=$ являются константами во всех операциях пребразования цифр. И потому полное множество $M$ всех цифр $i$ в базе $m$ остается ПОЛНЫМ и во множестве последних цифр в числах $g3$ (при взаимнопростых $m$ и $3$), и в числах $g3+Const.$, и в числах $ga_2, gb_2, gc_2$.

Впрочем, все эти простейшие леммы, по-видимому, были известны математикам древнего мира, и не исключено, что в теории чисел они сформулированы более компактно.

Таким образом, последнее, что требуется для завершения доказательства ВТФ, это показать, что среди цифр-чисел $a, b, c$ нет нуля. Это удобнее всего сделать в базе $U$.
Так, число $B-U=C-A$ является либо степенью, либо делится на $3^{3-1}$. И при этом, как показывает компьтерный обсчет и анализ, $B-2U<0<B-U$. И факт $b>0$ становится очевидным. (Возможно и аналитическое доказательство этого факта.)
Числа $c$ и $a$ не могут быть одновременно равны нулю, ибо в противном случае числа $C$ и $A$ не являются взаимнопростыми.
И наконец, из равенства, например, $A=km=k(U-1)$, следует, что $A-kU=-k$
Однако, на сегодня хватит. За мной остается случай $c$ или $a$ равно нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение01.11.2009, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
victor_sorokin в сообщении #256569 писал(а):
1°) $A^3+B^3-C^3=0$

victor_sorokin в сообщении #256569 писал(а):
4°) $a^3+b^3-c^3=1$



Если хорошо протереть очки, то видно, что в одном равенстве в правой части стооит ноль, а в другом- единичка. Если где-то тут есть противоречие, то, извольте, покажите.

 Профиль  
                  
 
 Re: [Цирк] Исследование равенства Ферма
Сообщение01.11.2009, 09:53 
Заблокирован


01/08/09

194
shwedka в сообщении #257173 писал(а):
victor_sorokin в сообщении #256569 писал(а):
1°) $A^3+B^3-C^3=0$

victor_sorokin в сообщении #256569 писал(а):
4°) $a^3+b^3-c^3=1$



Если хорошо протереть очки, то видно, что в одном равенстве в правой части стооит ноль, а в другом- единичка. Если где-то тут есть противоречие, то, извольте, покажите.

Есть. Правильно будет:
4°) $a^3+b^3-c^3=0$.
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 101 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group