Задача о двух материальных точках

[Someone]

Munin в сообщении #234375 писал(а):

Это Эйхенвальд 32-го года общеизвестный? Нет, я понимаю, что первое издание ЛЛ-1 тоже 40-й...

Ну, в Интернете его найти можно (вот второе издание 1934 года). Я же нашёл.

anik в сообщении #234843 писал(а):

Меня бы никак не смутил однократный переворот гайки. Твердое тело начав вращаться вокруг одной из главных центральных осей инерции min или max, не меняет периодически ось своего вращения, если на него не действуют внешние силы и внешние моменты сил.

Ну прочтите же, наконец, учебник. У Эйхенвальда это Глава V.

[Munin]

Someone в сообщении #234856 писал(а):

Ну, в Интернете его найти можно

Я не спорю, но общеизвестный ли он после этого?

[PapaKarlo]

anik в сообщении #234843 писал(а):

Гайка всё время падает на пол. Я бы не стал так уверенно утверждать, что гайка никак не взаимодействует с кораблём.

О, я гляжу, в отличие от меня, Вы изучили динамику в дополнение к кинематике...

[anik]

Munin в сообщении #234837 писал(а):

В механике нет понятия "собственной оси вращения". В ней есть просто понятие оси вращения. И я её вам указал. Не нравится - ваши проблемы, а не гантели и не механики.

Вы правы, я ошибочно переставил слова. Нужно было написать: "оси собственного вращения". Понятия: "собственное вращение" и "ось собственного вращения" есть в гироскопии.
По поводу: "В ней есть просто понятие оси вращения. И я её вам указал."
Что-то не припомню, где вы указали мне эту ось. Я помню, что вы видели проблему в том, чтобы её найти.

[Nemorozov]

Я знаю почему вращается гайка Джанибекова, но никому не скажу!

-- Чт авг 13, 2009 22:05:28 --

Интересно, это почему я не имею право считать, что "гантеля" вращается с постоянной угловой скоростью, если в процессе своего вращения она в течение неопроделенно длительного промежутка времени регулярно поворачивается одной из масс к некоторой произвольной звезде S через каждые равные промежутки времени Т?

Нам, как я полагаю, необходимо найти точку в плоскости окружности, описываемой массами, вокруг которой совершается вращение.

Для чего в этом случае обязательно привязываться к какой-то искусственной СО, если известен сам факт вращательного движения "гантели"?

[anik]

Munin в сообщении #234837 писал(а):

Это не ось вращения. Вы путаете математическое понятие оси (это линия) и техническое (это деталь). Технической оси у вашей гантели вообще нет.

Мне как-то советовали взять чугунную гантель, просверлить в ней дыру и вставить туда спицу. Как вы думаете, начнет ли вращаться гантель вокруг геометрической оси, являющейся продолжением этой спицы? Я думаю, что она будет вращаться вокруг главной центральной оси инерции, которая не обязана совпадать с осью спицы. Главная центральная ось инерции для гантели может быть однозначно определена через геометрию распределения масс гантели.
Я понимаю, что вы хотите сказать, что гантель будет так вращаться в ИСО, связанной с центром масс гантели. Но давайте рассмотрим вращение этой гантели с точки зрения наблюдателя который катается на качелях. Даже в этом есть какой-то смысл. Но какой смысл рассматривать вращение гантели относительно другой ИСО, которая связана с чем? С эфиром что-ли? Но его нет. Объясните мне наконец, с чем связана изначально ИСО, или ось, по отношению к которой мы должны начать рассмотрение движения гантели. С этим вопросом у меня пробел в понимании.

[Munin]

anik в сообщении #234896 писал(а):

Понятия: "собственное вращение" и "ось собственного вращения" есть в гироскопии.

Ну, в первом сообщении вы про них ни слова не говорили, а говорили просто про ось вращения.

anik в сообщении #234896 писал(а):

Что-то не припомню, где вы указали мне эту ось. Я помню, что вы видели проблему в том, чтобы её найти.

Я не видел в этом проблемы. Я видел проблему в том, что вы задаёте вопрос, не задав все необходимые данные для ответа на этот вопрос. А указал я её здесь: post234622.html#p234622 .

anik в сообщении #234907 писал(а):

Мне как-то советовали взять чугунную гантель, просверлить в ней дыру и вставить туда спицу.

Не я советовал.

anik в сообщении #234907 писал(а):

Как вы думаете, начнет ли вращаться гантель вокруг геометрической оси, являющейся продолжением этой спицы?

Разумеется, нет: мгновенная ось вращения не сохраняет своего положения относительно точек тела. Вам пришлось бы сверлить новую дырочку в каждый следующий момент времени.

anik в сообщении #234907 писал(а):

Но давайте рассмотрим вращение этой гантели с точки зрения наблюдателя который катается на качелях. Даже в этом есть какой-то смысл. Но какой смысл рассматривать вращение гантели относительно другой ИСО, которая связана с чем? С эфиром что-ли? Но его нет.

А что, наблюдателя, который движется равномерно и прямолинейно, вы представить себе не можете? Только такого, который катается на качелях?

[anik]

Munin в сообщении #234921 писал(а):

anik в сообщении #234896 писал(а):
Что-то не припомню, где вы указали мне эту ось. Я помню, что вы видели проблему в том, чтобы её найти.

Я не видел в этом проблемы. Я видел проблему в том, что вы задаёте вопрос, не задав все необходимые данные для ответа на этот вопрос. А указал я её здесь: post234622.html#p234622 .

Давайте рассмотрим ваше сообщение, где вы указали ось вращения. Там написано:
"Поле скоростей вращающегося твёрдого тела задаётся"
$v=V+ [\Omega r]$
(ЛЛ - 1 §38) где $V$ - скорость центра масс, а $r$ - радиус-вектор из центра масс.
А что это за вектор $\Omega$? Чтобы найти ось вращения "на которую вы указали", нужно уже знать вектор $\Omega$.
Как он называется, и как его найти?

-- Сб авг 15, 2009 16:48:55 --

Munin в сообщении #234921 писал(а):

anik в сообщении #234907 писал(а):
Но давайте рассмотрим вращение этой гантели с точки зрения наблюдателя который катается на качелях. Даже в этом есть какой-то смысл. Но какой смысл рассматривать вращение гантели относительно другой ИСО, которая связана с чем? С эфиром что-ли? Но его нет.

А что, наблюдателя, который движется равномерно и прямолинейно, вы представить себе не можете? Только такого, который катается на качелях?

Я могу представить наблюдателя, который движется равномерно и прямолинейно на поезде, на автомобиле, на корабле (пусть даже космическом). Но этот наблюдатель в моём представлении должен быть конкретно, физически существовать. Если есть желание рассмотреть движение гантели относительно наблюдателя находящегося на космическом корабле, движущемся равномерно и прямолинейно, то нужно связать систему отсчёта с наблюдателем на космическом корабле и задать координаты гантели и направление вектора кинетического момента гантели относительно этой системы координат.
Допустим, один из таких наблюдателей видит плоскость вращения гантели "с ребра", а другой наблюдатель видит эту плоскость нормално. Для одного наблюдателя материальные точки $m_1$ и $m_2$ движутся прямолинейно по отрезку, для другого наблюдателя это окружности, дли третьего - эллипсы. Это субъективная оценка движения. Как же в действительности движется гантель? Какие существуют объективные параметры движения гантели, инвариантные относително всевозможных наблюдателей?
Это: массы материальных точек гантели, расстояние между этими точками, положение центра масс системы двух материальных точек, вектор собственного кинетического момента, момент инерции этой системы точек и т.п. Если эти параметры движения гантели найдены, то движение гантели задано объективно. Вот теперь мы можем уже рассматривать это движение по отношению к каким-нибудь наблюдателям, но взаимное расположение систем отчёта, связанных с наблюдателем и гантелей, придётся всё равно задать.

[Munin]

anik в сообщении #235276 писал(а):

А что это за вектор $\Omega$?

Это вектор угловой скорости. Там же в ЛЛ-1 показано, что он в разных инерциальных системах отсчёта один и тот же. Найти его можно, измерив смещения одних точек тела относительно других его точек.

anik в сообщении #235276 писал(а):

Я могу представить наблюдателя, который движется равномерно и прямолинейно на поезде, на автомобиле, на корабле (пусть даже космическом).

Виват! Для такого наблюдателя ось будет в другом месте.

anik в сообщении #235276 писал(а):

то нужно связать систему отсчёта с наблюдателем на космическом корабле и задать координаты гантели и направление вектора кинетического момента гантели относительно этой системы координат.

Этого недостаточно. Нужно задать ещё и импульс гантели, или начальные скорости материальных точек. И вам об этом было сказано с самого начала.

anik в сообщении #235276 писал(а):

Допустим, один из таких наблюдателей видит плоскость вращения гантели "с ребра", а другой наблюдатель видит эту плоскость нормално. Для одного наблюдателя материальные точки $m_1$ и $m_2$ движутся прямолинейно по отрезку, для другого наблюдателя это окружности, дли третьего - эллипсы.

У вас путаница в голове, вы путаете изображение и наблюдение. Система координат наблюдателя, к которому привязана система отсчёта, трёхмерна, и разные наблюдатели будут наблюдать разное трёхмерное движение: один по окружностям (в пространственной плоскости, ориентированной как угодно), другой по пространственным спиральным линиям, третий - по сдвинутым спиральным линиям.

[anik]

Munin в сообщении #235316 писал(а):

anik в сообщении #235276 писал(а):

А что это за вектор $\Omega$?

Это вектор угловой скорости. Там же в ЛЛ-1 показано, что он в разных инерциальных системах отсчёта один и тот же. Найти его можно, измерив смещения одних точек тела относительно других его точек.

anik в сообщении #235276 писал(а):

Я могу представить наблюдателя, который движется равномерно и прямолинейно на поезде, на автомобиле, на корабле (пусть даже космическом).

Виват! Для такого наблюдателя ось будет в другом месте.

anik в сообщении #235276 писал(а):

то нужно связать систему отсчёта с наблюдателем на космическом корабле и задать координаты гантели и направление вектора кинетического момента гантели относительно этой системы координат.

Этого недостаточно. Нужно задать ещё и импульс гантели, или начальные скорости материальных точек. И вам об этом было сказано с самого начала.

anik в сообщении #235276 писал(а):

Допустим, один из таких наблюдателей видит плоскость вращения гантели "с ребра", а другой наблюдатель видит эту плоскость нормално. Для одного наблюдателя материальные точки $m_1$ и $m_2$ движутся прямолинейно по отрезку, для другого наблюдателя это окружности, дли третьего - эллипсы.

У вас путаница в голове, вы путаете изображение и наблюдение. Система координат наблюдателя, к которому привязана система отсчёта, трёхмерна, и разные наблюдатели будут наблюдать разное трёхмерное движение: один по окружностям (в пространственной плоскости, ориентированной как угодно), другой по пространственным спиральным линиям, третий - по сдвинутым спиральным линиям.

Jnrty:

!

1. Чтобы диалог был предметным, нельзя ли по подробнее: что такое ЛЛ-1?

2. Вы у меня спросили: могу ли я представить себе наблюдателя движущегося прямолинейно и равномерно? Я вам ответил, причём, в ответе на этот вопрос я ничего не говорил о положении оси вращения. Это что, приём НЛП?

3. Если вам так хочется знать импульс гантели, то скажу, главный вектор количества движения гантели считается равным нулю. Вместо того чтобы задать начальные скорости точек, по которым можно было бы вычислить модуль и направление вектора скорости, я сразу задал значение модуля вектора угловой скорости.
Представьте себе, что мы наблюдаем в телескоп двойную звезду. Зная период обращения, мы можем вычислить модуль угловой скорости вращения этой пары. Мы наблюдаем, что звёзды вращаются вокруг общего центра масс пары. Нас, разумеется, не интересует куда в космосе движется сама двойная звезда. В этом случае система отсчёта связана с центром масс этой пары звёзд. Эта система отсчёта настолько инерциальна, на сколько её можно считать изолированной. Например, это должна быть двойная звезда, а не пара звезд, "выхваченных" из какой-нибудь системы тройной звезды.

4. Различные двойные системы звёзд наблюдаются под различными углами. Если мы видим что траектории наблюдаемых звезд есть окружности, то стало быть мы смотрим на плоскость вращения под прямым углом к этой плоскости, Если мы наблюдаем эллиптические траектории, то нельзя с уверенностью утверждать, что орбиты звёзд эллиптические, может быть орбиты на самом деле круговые, только мы смотрим на плоскость движения под прямым углом. Для двойных звёзд возможны, в принципе, эллиптические орбиты, а для двух точечных масс, связанных жесткой связью, эллиптических орбит быт не может, т.к. расстояния между двумя точками не изменяется.

[Munin]

anik в сообщении #235357 писал(а):

1. Чтобы диалог был предметным, нельзя ли по подробнее: что такое ЛЛ-1?

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Учебное пособие в 10 томах. Том 1. Механика. Издания многочисленны.

anik в сообщении #235357 писал(а):

2. Вы у меня спросили: могу ли я представить себе наблюдателя движущегося прямолинейно и равномерно? Я вам ответил, причём, в ответе на этот вопрос я ничего не говорил о положении оси вращения. Это что, приём НЛП?

Что - приём? Что я задал вопрос, а вы ответили?

anik в сообщении #235357 писал(а):

3. Если вам так хочется знать импульс гантели

Мне его знать не хочется. Он просто нужен для ответа на ваш вопрос.

anik в сообщении #235357 писал(а):

Вместо того чтобы задать начальные скорости точек, по которым можно было бы вычислить модуль и направление вектора скорости, я сразу задал значение модуля вектора угловой скорости.

Только по ним ещё можно было бы вычислить импульс, или скорость центра масс, а её вы задать не пожелали.

anik в сообщении #235357 писал(а):

Представьте себе, что мы наблюдаем в телескоп двойную звезду. Зная период обращения, мы можем вычислить модуль угловой скорости вращения этой пары.

Верно.

anik в сообщении #235357 писал(а):

Мы наблюдаем, что звёзды вращаются вокруг общего центра масс пары.

Неверно. Они могут ещё и смещаться по небосводу.

anik в сообщении #235357 писал(а):

Нас, разумеется, не интересует куда в космосе движется сама двойная звезда.

Вас, может быть, и не интересует, но тогда вы не имеете права говорить об оси вращения.

anik в сообщении #235357 писал(а):

В этом случае система отсчёта связана с центром масс этой пары звёзд.

Нет. Система отсчёта связана с тем, с чем она связана по явно оговорённому указанию. Если указания не было, то и система отсчёта не указана.

anik в сообщении #235357 писал(а):

Эта система отсчёта настолько инерциальна, на сколько её можно считать изолированной. Например, это должна быть двойная звезда, а не пара звезд, "выхваченных" из какой-нибудь системы тройной звезды.

Зато вращение и ось вращения можно указать для любой пары вращающихся звёзд, а не только изолированной. (Ещё надо, чтобы расстояние между звёздами имело нулевую производную.)

anik в сообщении #235357 писал(а):

Различные двойные системы звёзд наблюдаются под различными углами.

Ещё раз: вы путаете изображение с системой отсчёта. Подробнее - читайте учебники.

[anik]

Уважаемый Munin.
Я благодарен вам за то, что вы терпеливо и оперативно отвечаете на мои вопросы. Я согласен с тем, что задача была поставлена некорректно. Для меня главное, всё-таки, решение задачи.
Попробую сформулировать задачу точнее.
Дана изолированная система двух материальных точек с известными массами $m_1$ и $m_2$, связанных жёсткой связью, массой которой по сравнению с массами точек, можно пренебречь. Расстояние $S_{12}$ между точками известно.
Известен также собственный кинетический момент $\mathbf{H}$ этой системы точек. Данную систему точек для краткости в дальнейшем будем называть гантелью.
Требуется определить движение этой гантели в системе отсчёта, связанной с её центром масс.
Может быть я ещё чего-нибудь не учёл?

[Munin]

anik в сообщении #235408 писал(а):

Я согласен с тем, что задача была поставлена некорректно. Для меня главное, всё-таки, решение задачи.

Ну, для этого надо её всё-таки поставить. А то непонятно, что считать решением.

anik в сообщении #235408 писал(а):

Требуется определить движение этой гантели в системе отсчёта, связанной с её центром масс.
Может быть я ещё чего-нибудь не учёл?

При такой постановке я бы ещё подумал насчёт указания начальных положений. Из перечисленных данных не найти начальный угол поворота, который войдёт как константа интегрирования в движение.

В остальном движение будет совпадать с написанным вами в post234489.html#p234489 . Получить его можно, решая уравнения Лагранжа для механики со связями. У вас две связи:
1. центр масс системы неподвижен, например, его можно совместить с началом координат; это даёт три уравнения;
2. расстояние между точками фиксировано, это даёт ещё одно уравнение.
Итого, можно перейти к обобщённым координатам, которых будет всего две. Например, можно заметить, что сумма векторов $m_1\mathbf{r}_1$ и $m_2\mathbf{r}_2$ фиксирована и равна $0.$ Также фиксирована длина разности $\lvert\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\rvert=S_{12}.$ Подставляя туда $\mathbf{r}_1=\frac{m_2}{m_1}\mathbf{r}_2,$ находим, что длина $\mathbf{r}_2$ также фиксирована, и поэтому он может быть задан двумя угловыми координатами сферической системы координат. Выражая из него $\mathbf{r}_1,$ получаем, что начало координат всегда совмещено с одной и той же точкой гантели, а взяв производную по времени, получаем, что ось вращения всегда проходит через неё же. На этом, собственно, ваш вопрос решён. Потом можно всё-таки записать уравнения Лагранжа, обнаружить, что они описывают свободное движение, и выразить константы интегрирования из начальных условий.

[anik]

Уважаемый Munin
Я думаю, что "задача двух тел" важна не только для меня. Здесь она называется: "Задача о двух материальных точках". Почему точках? Потому, что в этой задаче пренебрегается моментами инерции и собственными кинетическими моментами точек $m_1$ и $m_2$. Вы мне можете сказать, что эта задача в общем решена, и отослать меня к соответствующей литературе.
Дело в том, что у меня есть некоторые сомнения по поводу правильности решения этой задачи. Думаю, что разумно поступить так: я предлагаю собственный вариант решения этой задачи, а вы указываете мне на мои возможные ошибки и заблуждения, если они есть. С другой стороны, я тоже указываю на ваши возможные (на мой взгляд) ошибки. Примерно, так:
вы пишете;
1.Центр масс системы неподвижен, например, его можно совместить с началом координат, это даёт три уравнения.
Я уточняю: центр масс изолированной системы движется равномерно и прямолинейно, либо покоится. Центр масс становится неподвижным относительно системы отсчёта если мы её туда поместим. В этом случае система отсчёта вместе с центром масс изолированной системы точек движется равномерно и прямолинейно, либо покоится, т.е. является инерциальной системой
отсчёта. Вы согласны?

[Munin]

anik в сообщении #235509 писал(а):

Я думаю, что "задача двух тел" важна не только для меня.

Верно. Ещё для многих студентов, которые, как и вы, не знают механики. Правда, они - учатся.

anik в сообщении #235509 писал(а):

Здесь она называется: "Задача о двух материальных точках". Почему точках? Потому, что в этой задаче пренебрегается моментами инерции и собственными кинетическими моментами точек $m_1$ и $m_2$.

Ну и где я нарушил это пренебрежение.

anik в сообщении #235509 писал(а):

Вы мне можете сказать, что эта задача в общем решена, и отослать меня к соответствующей литературе.

Вместо этого я изложил вам её решение.

anik в сообщении #235509 писал(а):

вы пишете;
1.Центр масс системы неподвижен, например, его можно совместить с началом координат, это даёт три уравнения.
Я уточняю: центр масс изолированной системы движется равномерно и прямолинейно, либо покоится.

Вы уже выбрали систему отсчёта центра масс, значит, в ней он неподвижен.

anik в сообщении #235509 писал(а):

Центр масс становится неподвижным относительно системы отсчёта если мы её туда поместим.

Во-первых, система отсчёта - это не предмет и не локализованный объект, чтобы её куда-то помещать. Её связывают с тем или иным телом, или задают иным образом (в начале учат делать первое, а затем, после изучения преобразований координат, второе).

Во-вторых, поскольку вы систему отсчёта уже оговорили в постановке задачи, и других систем отсчёта не упомянуто, то можно считать, что именно эта и только эта система отсчёта задана по умолчанию, и больше не оговаривать её вообще.

anik в сообщении #235509 писал(а):

В этом случае система отсчёта вместе с центром масс изолированной системы точек движется равномерно и прямолинейно, либо покоится, т.е. является инерциальной системой отсчёта.

Вам не хватило в моём решении упоминания, что указанная система отсчёта является инерциальной? Да, я забыл это оговорить, впрочем, это сразу следует из того, что система изолирована. Но это влияет на запись уравнений динамики - уравнений Лагранжа, а ваш вопрос получил решение до записи этих уравнений.

Кстати, из решения можно сделать вывод: если вы свяжете систему отсчёта не с центром масс, а с другой фиксированной точкой на стержне гантели, то в этой системе отсчёта (уже неинерциальной, в общем случае) вращение будет происходить вокруг оси, проходящей через эту точку.